52，北京市东直门中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份52，北京市东直门中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间： 120分钟 总分： 100分
一、选择题(本题共16分，每小题2分)
1. 下列四个几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三视图，分别观察各选项中的几何图形主视图并作出判断，即可解题．
【详解】解：A、球的主视图为一个圆，不符合题意；
B、圆柱的主视图为一个长方形，不符合题意；
C、圆锥的主视图为一个三角形，符合题意；
D、正方体的主视图为一个正方形，不符合题意；
故选：C．
2. 年月日，国家统计局发布的《中华人民共和国年国民经济和社会发展统计公报》中报道：年全年研究与试验发展（）经费支出亿元，比上年增长，将数字用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
3. 如图，点O在直线上，，若，则的度数是（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余角和平角的定义分析得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
再根据邻补角的定义，得
．
故选C．
【点睛】此题主要考查了余角和邻补角的定义，正确把握余角和邻补角的定义是解题关键．
4. 下列图形都是轴对称图形，其中恰有4条对称轴的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义判定即可．
【详解】A、是轴对称图形，对称轴是3条，不符合题意；
B、是轴对称图形，对称轴是4条，符合题意；
C、是轴对称图形，对称轴是2条，不符合题意；
D、是轴对称图形，对称轴是5条，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠直线两旁的部分完全重合，熟练掌握轴对称图形是解题的关键．
5. 若实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则的值可能是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴上点的位置得到，再根据不等式的性质得到，由此即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴的值可能是，
故选B．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，正确推出是解题的关键．
6. 在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数 图象上，则下列关系式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
根据反比例函数中，y随x的增大而减小，点和中，，得到．
详解】∵反比例函数，
∴反比例函数图象 经过第一、三象限，在第一象限中，函数值y随x的增大而减小，
∵点和中，，
∴，
故选：A．
7. 如图，，按下列步骤作图：①在边上取一点C，以点O为圆心、长为半径画弧，交于点D，连接；②以点C为圆心、长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图步骤得到，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，，然后利用三角形外角性质可计算出的度数．
【详解】解：由作法得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了尺规作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质和尺规作图的基本原理．也考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质．
8. 为满足人民对美好生活的向往，造福子孙后代，环保部门要求相关企业加强污水治理能力，污水排放未达标的企业要限期整改．甲、乙两个企业的污水排放量W与时间t的关系如图所示，我们用表示t时刻某企业的污水排放量，用的大小评价在至这段时间内某企业污水治理能力的强弱．已知甲、乙两企业在整改期间排放的污水排放量与时间的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，乙企业的污水排放量高；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；
④在，，这三段时间中，甲企业在污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ②④D. ①③
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象位置的高低和倾斜程度，逐条判断即可．
【详解】解：①在这段时间内，甲企业的图象比乙企业的图象倾斜角度大，故①正确；
②在时刻，甲企业的污水排放量高，故②错误；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量在达标量以下，故③正确；
④在，，这三段时间中，甲企业在的图象倾斜角度最大，故④错误．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了函数图象信息，解题关键是准确从图象中获得正确信息，仔细判断．
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9. 若分式的值为0，则实数x的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分母不为0，分子为0是解题的关键．
10. 分解因式： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，熟悉相关公式是解题关键，先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解即可．
【详解】解：原式
；
故答案为：．
11. 根据下表估计_________（精确到）．
【答案】
【解析】
【分析】根据可知，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，正确根据题意得到是解题的关键．
12. 方程的解为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据解分式方程的一般步骤进行求解即可．
【详解】解：
去分母得：
移项、合并同类项得：
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键，注意结果要检验．
13. 如图，在中，E是边上的点，连接交于点F，若，则的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，三角形相似的性质，计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
14. 某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据：
估计这批产品合格的产品的概率为___________(精确到)．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可．
【详解】解：由表可知合格的产品频率都在左右浮动，所以可估计这批产品合格的产品的概率为，
故答案为：．
15. 如图，的半径为，是的内接三角形，半径于，当时，的长是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，半径于，根据等腰三角形的“三线合一”，即可求解．
【详解】解：的半径为，
∴，
∵是的内接三角形，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，，，
∵半径于，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，等腰直角三角形的性质的综合，掌握以上知识的综合运用解题的关键．
16. 尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如下表：
从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序___________（只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可）．
【答案】EBDC##ECDB
【解析】
【分析】根据题意，可先确定第二个节目为节目E，继而确定第三个节目和第五个节目的可能性，最后确定了第四个节目，即可得到答案．
【详解】由题意得，首尾两个节目分别是A，F，节目A参演演员有1、3、5、6、8，节目F参演演员有5、7，
由于从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出
故可先确定第二个节目为不含演员1、3、5、6、8的节目，即节目E；
第三个节目为不含2、7的节目，即节目B或C
第五个节目为不含5、7的节目，即节目B或C
所以，可确定第四个节目为节目D
综上，演出顺序为节目AEBDCF或AECDBF
故答案为：EBDC或ECDB（写一种即可）．
【点睛】本题考查了统计表、利用信息做出决策或方案，能够正确理解题意是解题的关键．
三、解答题(本题共68分， 17-21题、23题每题5分， 22、24-26 题每题6分，27、28题每题7分)
17. 计算．
【答案】
【解析】
【分析】先根据算术平方根、特殊角的三角函数值、零次幂、绝对值的意义逐项化简，再合并同类项或同类二次根式即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、特殊角的三角函数值、零次幂、绝对值的意义是解答本题的关键．
18. 解不等式组
【答案】
【解析】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】，
由①得：
由②得：，
所以不等式组的解集为．
【点睛】考查了求不等式组的解集，解题关键是熟练掌握求公共部分的方法：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19. 如果， 求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题的关键．根据分式的混合运算对代数式进行化简得，再把整体代入，即可求解．
【详解】解：
原式
又，
原式．
20. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的积为3，求m的值．
【答案】20. 见解析
21. 1
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式判定根的情况，一元二次方程根与系数的关系，是解决本题的关键．
（1）表示出根的判别式，根据根的判别式的值为非负数，即可得证；
（2）利用该方程的两个实数根的积为3，根据一元二次方程根与系数的关系列方程，即可求出m的值．
【小问1详解】
∵，，，
∴，
∴无论m取何值时，，
即，
故原方程总有两个实数根；
【小问2详解】
∵，
∴，，
∵两个实数根的积为3，
∴，
∴，
∵，
．
21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）一次函数的解析式；
（2）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列出关于m的不等式即可求解．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象过点，
∴把代入得：，
解得：，
∴一次函数的解析式；
【小问2详解】
解：由（1）得：一次函数的解析式，
当时，，
当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于一次函数的值，
把代入得：，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，灵活掌握所学知识是解题关键．
22. 某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙、丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图：
b．丙家民宿“综合满意度”评分：
c．甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中的值是__________，的值是__________；
（2）设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，直接写出之间的大小关系；
（3）根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由（至少从两个方面说明）．
【答案】（1），
（2）
（3）推荐乙，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据折线统计图得出甲家民宿“综合满意度”评分，求得平均数，将丙甲家民宿“综合满意度”评分，重新排序，求得中位数即可求解；
（2）根据数据的波动范围即可求解；
（3）根据平均数与方差两方面分析即可求解．
小问1详解】
解：甲家民宿“综合满意度”评分：
∴，
丙家民宿“综合满意度”评分：
从小到大排列为：
∴中位数
故答案为：，．
【小问2详解】
根据折线统计图可知，乙的评分数据在分与分之间波动，甲的数据在分和分之间波动，
根据丙的数据可以在至分之间波动，
∴
【小问3详解】
推荐乙，理由：乙的方差最小，数据稳定，平均分比丙高，
答案不唯一，合理即可．
【点睛】本题考查了折线统计图，求一组数据的平均数，中位数，方差的意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23. 如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
【答案】700元
【解析】
【分析】本题可设无盖长方体箱子宽为x米，则长为（x＋2）米，根据刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，结合图形可列出方程，求出答案．
【详解】设长方体箱子宽为x米，则长为（x＋2）米．
依题意，有x（x＋2）×1＝15．
整理，得x2＋2x﹣15＝0，
解得x1＝﹣5（舍去），x2＝3，
∴这种运动箱底部长为5米，宽为3米．
由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为
（5＋2）×（3＋2）＝35
∴做一个这样的运动箱要花35×20＝700（元）．
答：张大叔购回这张矩形铁皮共花了700元．
故答案为：张大叔购回这张矩形铁皮共花了700元．
【点睛】题目考查的知识点比较多，但难度不大，同学应注意的是所求问题用到的是长方体的表面积，即表面展开图的面积，并非体积．
24. 如图，为的直径，C为上一点，D为弧的中点，交的延长线于点E．

（1）求证：直线为的切线；
（2）延长交于点F．若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连，，证明，由垂径定理得出，得出，由切线的判定可得出答案；
（2）根据锐角三角函数求出，根据平行线的性质得出，根据锐角三角函数求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，，

∵为的直径，
∴，即
∵，
∴，
∵D为弧的中点，
∴，
∴，
∵是半径，
∴直线为的切线；
【小问2详解】
：如图，

由（1）得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、解直角三角形是解题的关键．
25. 电动汽车的续航里程也可以称作续航能力，是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程，它是电动汽车重要的经济性指标.高速路况状态下，电动车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关.某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究：
下面是他们的探究过程，请补充完整：
（1）他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程与速度的有关数据：
则设______为，______为，是的函数；
（2）建立平面直角坐标系，在给出的格点图中描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，下列说法正确的有______：
①随的增大面减小；
②当汽车的速度在60千米/小时左右时，汽车的续航里程度大；
③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小．
（4）若想要该车辆的续航里程保持在500千米以上，该车的车速大约控制在______至______千米/小时范围内．
【答案】（1）续航里程，速度
（2）见解析 （3）②③
（4）40，100
【解析】
【分析】本题考查列表法表示函数关系，熟练掌握自变量、因变量的定义．
（1）根据表格，由函数定义求解即可；
（2）利用表格数据，描点法画函数图象即可；
（3）由函数图象即可得出结果；
（4）由函数图象即可得出结果．
【小问1详解】
解：由表格可设续航里程，速度为，
故答案为：续航里程，速度；
【小问2详解】
解：函数图象如图所示：
【小问3详解】
解：根据函数图象得：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
当汽车的速度在60千米/小时左右时，汽车的续航里程度大；
汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小；
正确的有：②③，
故答案为：②③；
【小问4详解】
解：根据函数图象得：想要该车辆的续航里程保持在500千米以上，该车的车速大约控制在40至100千米/小时范围内，
故答案为：40，100．
26. 已知抛物线．
（1）求该抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）当时，抛物线上有两点，，若时，直接写出k的取值范围；
（3）若，，都在抛物线上，是否存在实数m，使得恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先将抛物线的一般式化为顶点式，得出顶点坐标即可；
（2）根据时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线，离对称轴越远函数值越大，据此求解即可；
（3）由可得抛物线开口向下时，才可能存在符合条件的m值存在，根据抛物线的对称轴为直线，离对称轴越远函数值越小进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴该抛物线的顶点坐标为：．
【小问2详解】
解：时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越大，
∴要使，则，
∴此时k的取值范围是；
综上分析可知，k的取值范围是．
【小问3详解】
解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，抛物线开口向上，则抛物线此时有最小值，不可能满足；
当时，则离对称轴越远函数值越小，
∵，
∴，即,
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
27. 在中，D为上一动点，连结，将绕点A逆时针旋转得到线段，连接，取中点G．
（1）如图1，点D不与B、C重合，用等式表示线段与的数量关系，并证明；
（2）若，且，连接，．
①依题意补全图2：
②直接写出的值．
【答案】（1），见详解
（2）①见详解，②
【解析】
【分析】（1）延长到F，连接，使，根据三角形中位线的性质可得，由旋转的性质可得，从而可得，从而可证，可得，即可得出结论；
（2）连接，与交于点P，连接，可得是等边三角形，则是的垂直平分线，有，，，，进一步求得，，，，证得点A、B、C、E四点共圆，从而求得，则有，由（1）可得，则，设，则和，结合即可．
【小问1详解】
解：线段与的数量关系：，理由如下：
延长到F，连接，使，如图，
∵G为的中点，
，
绕点A逆时针旋转得到线段，
，
，
，
，
又，
，
，
．
【小问2详解】
①依题意补全图2如图：
②连接，与交于点P，连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点A、B、C、E四点共圆，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得，，
∴，
设，则，，，
∴．
【点睛】本题考查三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的性质、四点共圆、同弧所对圆周角相等、勾股定理、含角的直角三角形性质，熟练掌握相关性质，判断点A、B、C、E四点共圆是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：若点关于直线的对称点为点，点与点关于直线对称，则称点是点关于点的“对应点”．

（1）已知点，点，点是点关于点的“对应点”，
①如图1，当时，点的坐标为______；
②若的长度不超过4，求的取值范围；
（2）已知点在直线上，如图2，直线与轴，轴分别交于点，对于线段上（包括端点）任意一点，若以1为半径的上总存在一点，使得点关于点的“对应点”在轴的负半轴上，直接写出符合条件的的值．
【答案】（1）①；②或
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据题意得出关于的对称点为，为关于轴（）的对称点即；
②先得出，勾股定理得出，进而根据，即可求解；
（2）依题意得出，又直线的解析式可得，直线与轴的夹角为，同理可得与轴的夹角为，根据当点与点重合时，与相切， 符合题意，当与点重合时，的长度最大，此时能与轴的负半轴相切，则当在上运动时，与轴的负半轴相交，即可得出．
【小问1详解】
解：①当时，则
∵，则关于的对称点为，
∴为关于轴（）的对称点即，
故答案为：．

②若的长度不超过4，求的取值范围
解：∵，则
∴
∴
∵即
∴
∴或
【小问2详解】
解：∵点在直线上，
∴，
∵点关于点的“对应点”在轴的负半轴上，
∴
∵直线与轴，轴分别交于点，
当时，，当时，
∴，
∴
∴
∴，则，
∴直线与轴的夹角为，
同理可得与轴的夹角为，
如图所示，当点与点重合时，关于的对称点，关于的对称点为，

∵，
∴
∴直线的解析式为，
∴当点与点重合时，与相切，

则等边三角形，关于对称，
与和轴的正半轴相切，
与轴的负半轴以及相切，
又∵是线段上的点，当与点重合时，的长度最大，此时能与轴的负半轴相切，则当在上运动时，与轴的负半轴相交，
即当时，以1为半径的上总存在一点，使得点关于点的“对应点”在轴的负半轴上．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形，勾股定理，直线与圆的位置关系，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键x
抽取的产品数
合格的产品数
合格的产品频率
演员1
演员2
演员3
演员4
演员5
演员6
演员7
演员8
节目A
√
√
√
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节目B
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节目C
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节目D
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节目E
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节目F
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甲
乙
丙
平均数
中位数
速度（千米/小时）
10
20
30
40
60
80
100
120
140
160
续航里程（千米）
100
340
460
530
580
560
500
430
380
310