60，黑龙江省绥化市绥棱县第六中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份60，黑龙江省绥化市绥棱县第六中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共31页。试卷主要包含了单项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（每小题3分，满分36分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
2. 下列各式中，运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是同底数幂的除法、幂的乘法、积的乘方以及二次根式的性质．熟知二次根式的性质及幂的运算法则是解答此题的关键．
根据二次根式的性质及幂的运算法则对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A. 被开方数不能是负数，故本选项不符合题意；
B. ，故本选项不符合题意；您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高C ，故本选项符合题意；
D. ，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
3. 一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何体三视图的画法解答．
【详解】解：该几何体的俯视图是 ，
故选：A．
【点睛】此题考查了判断几何体的三视图，正确掌握三视图的画法是解题的关键．
4. 将一把直尺和一块含角的直角三角板按如图所示摆放，则和的数量关系一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质，对顶角相等和三角形外角性质，由平行线的性质得出，再根据三角形外角性质和对顶角相等可得出，解题的关键是熟练掌握平行线性质和三角形外角性质及其应用．
【详解】如图，由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
故选：．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 垂直于弦的直径平分弦，平分弦的直径垂直于弦；
B. 任意画一个三角形，其外角和是是必然事件；
C. 数据4，9，5，7中位数是6；
D. 甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定．
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了垂径定理及其推论，多边形的外角和，中位数，方差的意义．熟练掌握相关知识是解题的关键．
根据垂径定理及其推论，多边形的外角和性质，中位数判定计算，方差的意义，分别进行判断即可．
【详解】A．垂直于弦的直径平分弦，平分非直径的弦的直径垂直于弦，故此选项错误，不符合题意；
B．任意画一个三角形，其外角和是是必然事件，故此选项错误，不符合题意；
C．数据4，9，5，7的中位数是6，故此选项正确，符合题意；
D．甲、乙两组数据的方差分别是，，则甲组数据比乙组数据稳定，故此选项错误，不符合题意．
故选：C．
6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根分别为，，则m的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的取值范围；，由一元二次方程有两个相等的实数根，可得即可求解；掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
即： ，
解得：，
，
且；
故选：B ．
7. 为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图，若我校共有2000名学生，则下列说法正确的是（ ）
A. 本次接受调查的学生人数为400
B. 扇形统计图中的
C. 所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为7
D. 学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，估计我校获“志愿者勋章”的学生人数为700人
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
由两个统计图可得样本参加志愿服务为5次的有4人，占调查人数的10%，由频率可求出调查人数，可以判断A，进而求出参加志愿服务为8次所占的百分比，得出m的值，即可判断B；根据平均数公式进行计算即可判断C；用样本中的“参加志愿服务7次”的学生所占的百分比去估计全校2000名学生“参加志愿服务7次”所占的百分比，再根据频率进行计算即可判断D．
【详解】解：A． 本次接受调查的学生人数为（人），此选项不正确；
B． 参加志愿服务为8次有10人，所占的百分比为，所以，此选项不正确；
C． 所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为（次），此选项正确；
D．我校获“志愿者勋章”的学生人数大约有（名），此选项不正确；
故选C．
8. 甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物．设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，列出方程即可．
【详解】解：设甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输kg货物，由题意，得：
；
故选A．
【点睛】本题考查根据实际问题列分式方程．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程．
9. 如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由正方形的性质得，可设，，根据可求出的值．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∵
∵点为的中点，
∴
设点C的坐标为，则,
∴，
∵点C，E在反比例函数的图象上，
∴，
解得，，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．
10. 如图，是的内接三角形，，，D是边上一点，连接并延长交于点E．若，，则的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形 的判定和性质是解题的关键．
连接，，，根据等腰三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：连接，，，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，

即的半径为，
故选：A．
11. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，与y轴的交点B在和之间（包括这两点），下列结论：①当时，；②；③；④；⑤（m为任意实数）．其中正确的结论是（ ）
A. ①②③B. ①③⑤C. ①②④D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、b、c之间的关系是解题的关键．
①先由抛物线的对称性求得抛物线与x轴另一个交点的坐标为，从而可知当时，；
②由抛物线开口向下可知，然后根据，可知：，从而可知；
③设抛物线的解析式为，则，令得：．由抛物线与y轴的交点B在和之间，可知；
④由，可得正确；
⑤结合图像及不等式的性质可判断出此结论正确．
【详解】解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴另一个交点的坐标为，当时，，故①正确；
②抛物线开口向下，故，
，
．
，故②正确；
③设抛物线的解析式为，
则，
令得：．
∵抛物线与y轴的交点B在和之间，
∴．
解得：，故③正确；
④，，
，故④错误；
⑤当时，，当时，
∵，
∴二次函数有最大值，为，
，
，
，故⑤不正确．
故答案为：A．
12. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△ABP沿直线AP折叠，使点B落到点B′处；作∠B′PC的角平分线交CD于点E．设BP＝x，CE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据折叠可证明△ABP∽△PCE，得，进而可得函数解析式y＝x（4﹣x）＝﹣x2+2x，即可判断函数图象．
【详解】∵△ABP沿直线AP折叠得到△AB′P，
∴∠APB＝∠APB′，
∵PE平分∠B′PC，
∴∠B′PE＝∠CPE，
∴∠APB′+∠EPB′＝×180°＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠CPE+∠CEP＝90°，
∴∠APB＝∠CEP，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴，
∵BP＝x，CE＝y，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，
∴PC＝4﹣x，
∴
∴y＝x（4﹣x）＝﹣x2+2x．
∴该函数图象是抛物线，开口向下．
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质，是解决本题的关键
二、填空题（每题3分，满分30分）
13. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．先分组，再提出公因式，即可求解．
【详解】解：
故答案为：
14. 生物学家发现了一种病毒，其长度约为，把用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：，
故答案为：．
15. 函数y=中，自变量x的取值范围是_____________．
【答案】x≥－3且x≠1
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知：x+3≥且x-1≠0，解得自变量x的取值范围．
详解】解：根据题意得：x+3≥0且x-1≠0，
解得：x≥-3且x≠1．
故答案为：x≥-3且x≠1
【点睛】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
16. 圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是________度，该圆锥的侧面积是________（结果用含的式子表示）．
【答案】 ①. 120 ②.
【解析】
【分析】根据勾股定理，先求出圆锥底面半径，进而得出底面周长，即圆锥展开图的弧长，根据圆锥母线为圆锥的侧面展开图的半径，结合扇形弧长公式和面积公式，即可求解．
【详解】解：根据勾股定理可得：圆锥底面半径，
∴该圆锥底面周长，
∵圆锥母线长为3，
∴该圆锥的侧面展开图的半径为3，
∴，解得：，
即展开图（扇形）的圆心角是120度，
圆锥的侧面积，
故答案为：120，．
【点睛】本题主要考查了求圆锥地面半径，扇形面积公式和弧长公式，解题的关键是掌握弧长，扇形面积．
17. 某校为了解九年级男生中考体育项目的训练情况，决定让每名九年级男生通过抽签的方式从掷实心球、足球、1000米跑、1分钟跳绳四个项目中随机选择一项进行测试，则甲、乙两名男生抽到同一个项目的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设掷实心球、足球、1000米跑、1分钟跳绳四个项目分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格，可得一共有16种等可能结果，其中甲、乙两名男生抽到同一个项目的有4种，再由概率公式计算，即可求解．
【详解】解：设掷实心球、足球、1000米跑、1分钟跳绳四个项目分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格如下：
一共有16种等可能结果，其中甲、乙两名男生抽到同一个项目的有4种，
∴甲、乙两名男生抽到同一个项目的概率为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
18. 已知一元二次方程的两根分别为m、n，则________．
【答案】．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则
直接根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程可化为，
这个方程的两根分别为m，n，
∴，，
，
故答案为：．
19. 化简求值：________．其中．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点，灵活运用分式混合运算法则化简分式是解答本题的关键．
先根据分式的混合运算法则化简，再根据特殊角的三角函数值求得x，最后代入计算即可．
【详解】解：
．
当时
原式．
故答案为：．
20. 如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为_______．
【答案】(，0)
【解析】
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A的坐标，进而求得A＇的坐标，从而可以求得直线A＇B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，从而可以解答本题
【详解】解：作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y=ax2-4x+c(a0)与反比例函数y= 的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0,6），
∴点B（3,3），
∴
解得，
∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2
∴点A的坐标为（2,2），
∴点A＇的坐标为（2，-2），
设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n
∴
∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12,
令y=0,则0=5x-12得x=,
故答案为（）
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21. 数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，，其中，2，3，，，，且，是整数．记，如，即，，即，，即，⋯，以此类推．则_______．

【答案】42
【解析】
【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可．
【详解】解：第1圈有1个点，即，这时；
第2圈有8个点，即到，这时；
第3圈有16个点，即到，这时；
，
依次类推，第圈，；
由规律可知：是在第23圈上，且，则，即，
故答案为：42．
【点睛】本题考查了图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．
22. Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30°，则PB的长为_______．
【答案】4或或．
【解析】
【分析】分两种情况考虑：当∠ABC=60°时，如图所示，由∠ABC=60°，利用直角三角形的两锐角互余求出∠CAB=30°，又∠PCA=30°，由∠PCA+∠ACB求出∠PCB为60°，可得出三角形PCB为等边三角形，根据等边三角形的三边相等，由BC的长即可求出PB的长；当∠ABC=30°时，再分两种情况进行求解即可.
【详解】分两种情况考虑：
当∠ABC=60°时，如图所示：
∵∠CAB=90°，
∴∠BCA=30°．
又∵∠PCA=30°，
∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°．
又∵∠ABC=60°，
∴△PCB为等边三角形．
又∵BC=4，
∴PB=4．
当∠ABC=30°时，
（i）当P在A的右边时，如图所示：
∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，
∴∠PCB=90°．
又∠B=30°，BC=4，
∴，
即 ．
（ii）当P在A的左边时，如图所示：
∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，
∴∠BCP=30°．
又∠B=30°，
∴∠BCP=∠B．
∴CP=BP．
在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4，
∴AC=BC=2．
根据勾股定理得：，
∴AP=AB－PB=－PB．
在Rt△APC中，根据勾股定理得：AC2＋AP2=CP2=BP2，
即22+（－PB）2=BP2，
解得：BP=．
综上所述，BP的长为4或或．
【点睛】此题考查了含30°直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，利用了转化及分类讨论的数学思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
三．解答题（共54分）
23. 尺规作图：
如图，已知，在中，，
（1）已知点O在边上，请用圆规和直尺作出，使经过点C，且与相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）若与切于点D，与的另一个交点为E，若，的半径为2，求劣弧与线段所围成的图形的面积．（结果保留）
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题是一道圆的知识的综合题，考查了切线的判定和性质、尺规作图、勾股定理等知识：
（1）作的平分线与的交点即为圆心O，然后以点O为圆心，以的长为半径作圆O即可；
（2）连接，根据切线的性质可得，可得，从而得到，再由劣弧与线段所围成的图形的面积为，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵是圆O的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的半径为2，
∴，
∴，
∴，
∴劣弧与线段所围成的图形的面积为
．
24. 如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物，两点处测得该塔顶端的仰角分别为和，矩形建筑物宽度，高度．计算该信号发射塔顶端到地面的高度(结果精确到)．
参考数据：．
【答案】信号发射塔顶端到地面的高度约为
【解析】
【分析】延长交于点，根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：延长交于点，
由题意得：，，，
设
在中，，
，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
，
信号发射塔顶端到地面的高度约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25. 已知A、B两地相距，一辆货车从A地前往B地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中m的值是__________；轿车的速度是________；
（2）求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离与行驶时间之间的函数关系式；
（3）直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距？
【答案】（1）5；120；（2）；（3）或．
【解析】
【分析】（1）由图象可知轿车从B到A所用时间为2h，即可得出从A到B的时间，进而可得m的值，根据速度=距离÷时间即可得轿车速度；
（2）由图象可知货车在2.5h~3.5h时装载货物停留1h，分1≤x