97，河南省郑州市西斯达城市森林学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

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1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，即可．
【详解】A、，是一元一次方程，不符合题意；
B、，是一元二次方程，符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、是二元一次方程，不符合题意；
故选：B．
2. 已知四边形中，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．
【详解】解：由可判定四边形为矩形，
因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形为正方形，
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的判定．正方形的判定方法有：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．
3. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A. B. C. D. 您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程完全平方公式配方，即可得出选项．
【详解】∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解本题的关键．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是．
B. 某种彩票中奖的概率是，那么买10000张这种彩票一定会中奖．
C. 掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率与“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率相同．
D. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率．
【答案】D
【解析】
【分析】利用随机事件的性质，等可能事件的概率，判断即可．
【详解】A、掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是，故错误；
B、某种彩票中奖的概率是，即中奖的可能性为，因此买10000张这种彩票也不一定会中奖，故错误；
C、连续掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率是，“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率是，故错误；
D、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确．
故选择：D
【点睛】本题考查概率的意义，理解概率的意义是正确判断的前提．
5. 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则△ABO的周长为（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB=OA=OB=4，即可求出△ABO的周长．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC＝4，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝4，
∴△ABO的周长＝OA+OB+AB＝12；
故选A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
6. 若关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值等于（ ）
A. 1B. 0C. 1或0D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和方程的解的定义列出不等式和等式即可求出结论．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为0，
∴
解①，得
解②，得，或1
∴
故选：B．
【点睛】此题考查的是根据一元二次方程的根，求方程中的参数，掌握一元二次方程的定义和方程的解的定义是解决此题的关键．
7. 在一个不透明的口袋中有红球、黄球和绿球共个，它们除颜色外，其余完全相同．搅匀从中随机摸出一个球记下颜色再放回，同学们通过大些的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在，和．由此，推测口袋中黄球的个数可能有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，用频率估计概率可知黄色球的数量为总数乘以其所占百分比．
【详解】解：推测口袋中黄色球个数是（个），
故选：C．
【点睛】本题主要考查频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
8. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，下列结论中不一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的性质即可一一判断
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
故A、B、C正确，
故选D
【点睛】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
9. 如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分) ，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，则设道路的宽为xm，根据题意，列方程( ) .

A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】设道路的宽为x，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程（32-x）（20-x）=540．
【详解】解：设道路的宽为x，根据题意得（32-x）（20-x）=540．
故选C．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
10. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM＝AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利用面积相等求出AP的长，即可得AM．
【详解】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴，
∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，
又∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF为矩形，
∵M 为 EF 中点，
∴M 也是 AP中点，即AM＝AP，
故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小，
由，可得AP＝，
AM＝AP＝；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是____________．
【答案】20．
【解析】
【详解】试题分析：因为菱形的对角线垂直平分，对角线AC，BD的长分别是6和8，
所以一半长是3和4，
所以菱形的边长是5，
所以周长是5×4=20．
故答案为：20．
考点：菱形的性质．
12. 设，是一元二次方程的两个根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据根与系数的关系写出，再将变形，代入计算即可．
【详解】，是一元二次方程的两个根
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
13. 现有四张完全相同的刮刮卡，涂层下面的文字分别是“我”、“爱”、“学”、“习”．小光从中随机抽取两张并刮开，则这两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列举法的知识，解题的关键是根据题意，画出树状图或者列表法，求出所有等结果，再利用概率公式求解即可．
【详解】树状图如下：
∴共种结果，其中这两张刮刮卡上的文字刚好是“我”和“学”共种等可能的结果，
∴这两张刮刮卡上的文字刚好是“我”和“学”的概率为：，
故答案为：．
14. 关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x十1 =0无实数根，则m的取值范围是_________________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式即可求解．
【详解】解：由题意得：且，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式：当时，方程无实根是解题的关键．
15. 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________．
【答案】16或4##或16
【解析】
【分析】根据翻折的性质，可得BE的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．
【详解】（1）当B′D=B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°，
当B′C=B′D时，AG=DH=DC=8，由AE=3，AB=16，得BE=13．
由翻折的性质，得B′E=BE=13，
∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5，
∴B′G===12，
∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4，
∴DB′===；
（2）当DB′=CD时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）；
（3）当CB′=CD时，
∵EB=EB′，CB=CB′，
∴点E、C在BB′的垂直平分线上，
∴EC垂直平分BB′，
由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．
综上所述，DB′长为16或．
故答案为：16或．
【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的判定，分类讨论是解题的关键．
三、解答题（共75分）
16. 选用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
【小问1详解】
解：
∴，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：
∴，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17. 苏州市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的统计图．
（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 人，m＝ ；
（2）补全条形统计图，若该小区有居民1500人，试估计去C景区旅游的居民约有多少人？
（3）甲、乙两人暑假打算游玩，甲从B、C两个景点中任意选择一个游玩，乙从B、C、E三个景点中任意选择一个游玩，用列表法或树状图法求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．
【答案】（1）200；35；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）先由D景区人数及其所占百分比求出总人数，再根据百分比的概念和各景区人数之和等于总人数求解可得；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）画树状图得出所有等可能结果，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是20÷10%=200（人），
则m%=×100%=35%，即m=35，
故答案为：200；35
（2）C景区人数为200-（20+70+20+50）=40（人）
估计去C景区旅游的居民约有(人)
（3）画树状图如下：
共有6种等可能的结果数，其中甲、乙恰好游玩同一景点的结果数为2，
所以甲、乙恰好游玩同一景点的概率＝＝．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识，用样本估计总体，注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系是解题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）已知方程一个根为2，求k的值．
【答案】18. 见解析
19. ，或
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式判定根的情况，一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．
（1）根据一元二次方程写出根的判别式，根据根的判别式的值为正数即可证明方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一根为α，根据根与系数的关系列方程组，消去a，得到k的一元二次方程，解方程即得．
【小问1详解】
解：∵，
故方程有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
设方程的另一根为a，
则，
∴，
∴，
∴，或，
解得，，或．
19. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）OE=2．
【解析】
【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB//CD，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，，，
∴，
在Rt△AOB中，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AEC中，，为中点，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
20. 小明和小亮用如图所示的两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，同时随机转动两个转盘，若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗?请用列表法或画树状图法说明理由.
【答案】不公平.理由见解析
【解析】
【分析】将A盘中蓝色划分为两部分，将B盘中红色也划分为两部分，画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求出两人获胜的概率即可判断．
【详解】解：不公平.理由如下：
将A盘中蓝色部分记为蓝a、蓝b，B盘中红色部分记为红1、红2，
画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中能配成紫色的结果有5种，
∴小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为.
，
∴这个游戏对双方不公平.
【点睛】本题考查是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 如图，在中，点是的中点，点是线段延长线上一动点，连接，过点作的平行线，与线段的延长线交于点，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，则在点的运动过程中：
①当 时，四边形是矩形；
②当 时，四边形是菱形．
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）证，得，再由，即可得出结论；
（2）①由矩形的性质得，再求出，则；②由菱形的性质得，再证是等边三角形，即可得出．
【小问1详解】
证明：，
，，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：①．
四边形是矩形，
，
，
，
，
，即当时，四边形是矩形；
②．
四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
，即当时，四边形是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形、矩形和菱形的判定与性质是解决问题的关键．
22. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次．
（1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
【答案】（1）
（2）元
【解析】
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次．列出方程求解即可；
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可．
【小问1详解】
解：设年平均增长率为x，由题意得：
，
解得：，（舍）．
答：年平均增长率为．
小问2详解】
解：设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：
，
整理得：，
解得：，．
∵售价不超过20元，
∴．
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．
23. 已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边做正方形ADEF，连接CF．
（1）如图①，当点D在线段BC上时，直接写出线段CF、BC、CD之间的数量关系 ．
（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其他件不变，则（1）中的三条线段之间的数量关系还成立吗？如成立，请予以证明，如不成立，请说明理由；
（3）如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC两侧，其他条件不变；若正方形ADEF的边长为4，对角线AE、DF相交于点O，连接OC，请直接写出OC的长度．

【答案】（1）CF+CD＝BC；（2）CF+CD＝BC不成立，存在CF﹣CD＝BC，证明详见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF＝BD，据此即可证得；
（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD＝CF，即可得到CF﹣CD＝BC；
（3）先证明△BAD≌△CAF，进而得出△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到OC的长．
【详解】（1）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AB＝AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，
∵BD+CD＝BC，
∴CF+CD＝BC；
故答案为：CF+CD＝BC；
（2）CF+CD＝BC不成立，存在CF﹣CD＝BC；
理由：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AB＝AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴BD＝CF
∴BC+CD＝CF，
∴CF﹣CD＝BC；
（3）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AB＝AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAD＝90°﹣∠BAF，∠CAF＝90°﹣∠BAF，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝135°，
∴∠ACF＝∠ABD＝135°，
∴∠FCD＝135°﹣45°＝90°，
∴△FCD是直角三角形．
∵正方形ADEF的边长4且对角线AE、DF相交于点O．
∴DF＝AD＝4，O为DF中点．
∴Rt△CDF中，OC＝DF＝×＝．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，判断出△BAD≌△CAF是解本题的关键．