124，北京市三帆中学2023-2024学年八年级下学期开学考数学试题

这是一份124，北京市三帆中学2023-2024学年八年级下学期开学考数学试题，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. “”表示此类型的口罩能过滤空气中的粒径约为的非油性颗粒．其中，用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故选B．
2. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．由此逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、的被开放数中含有分数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、的被开方数中在分母中，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. x+x2＝x3B. x2•x3＝x6C. x9÷x3＝x3D. （x3）2＝x6您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项法则及幂运算等相关知识进行计算即可得解．
【详解】选项A，与不是同类项，不可以合并，A选项错误；
选项B，，B选项错误；
选项C，，C选项错误；
选项D，，D选项正确，
故选D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项法则及幂运算的相关内容，熟练掌握幂运算的四种运算方法以及合并同类项的相关知识是解决本题的关键．
4. 如图，，点D，E分别在上，补充下列一个条件后，不能判断的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据三角形全等的判定方法一一判断即可．
【详解】解：A、∵，，，根据即可证明．
B、∵，，，根据即可证明．
C、∵，∴，∵，，根据即可证明．
D、∵，，，不能判定．
故选：D．
5. 以下列各组数为边长，不能组成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，3B. 1，1，C. 1，2，D. 30，60，90
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，只要验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可作出判断，从而得到答案．
【详解】解：A、，该三角形符合勾股定理逆定理，故是直角三角形，不符合题意；
B、，该三角形符合勾股定理逆定理，故是直角三角形，不符合题意；
C、，该三角形符合勾股定理逆定理，故是直角三角形，不符合题意；
D、，该三角形不符合勾股定理逆定理，故不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
6. 如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.
【详解】
由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故选A.
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.
7. 寒风乍起，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，找出题目中的关键语，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意工作时间=工作总量÷工作效率．利用“两队同时开工且恰好同时完工”，可得等量关系为：甲队所用时间=乙队所用时间．再列方程即可．
【详解】解：乙队每天安装x台，则甲队每天安装台，
甲队用的天数为：天，乙队用的天数为：天，
则列方程为：，
故选D．
8. 如图，点是线段上一点，，，，．给出下面四个结论：
①；
②；
③；
④若，则．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）

A. ②③B. ①③C. ①③④D. ①④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，利用所给条件证明，，，可得①②③，再利用等腰直角三角形的性质，进行角度转换，判断④，根据选项作出正确的辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，，，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，，，
，
，
，
，故②错误，
，
，
，
，
，
，
根据勾股定理，可得，故③正确；
同理可得为等腰直角三角形，
，
，
，
即，
，故④正确，
故选：C．

二、填空题（本题共16分，每题2分）
9. 点关于轴的对称点坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于轴的对称点坐标的特征，根据关于轴的对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可得出答案．
【详解】解：点关于轴的对称点坐标为，
故答案为：．
10. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．
【详解】解：∵实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
11. 分解因式： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．原式利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：原式．
故答案为：
12 计算：________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，根据同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算法则把所求式子变形为，据此计算求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
13. 如图，锐角三角形中，直线为的中垂线，直线为的角平分线，与相交于点．若，，则的度数为________．
【答案】##64度
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等角对等边、角平分线的定义、三角形内角和定理，由线段垂直平分线的性质得出，由等角对等边得出，由角平分线的定义得出，从而得出，由三角形内角和定理求出，即可得解．
【详解】解：直线为的中垂线，
，
，
直线为的角平分线，
，
，
，，，
，
，
，
故答案为：．
14. 直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边上的高为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形面积公式，根据勾股定理得出斜边长为，再根据面积相等，即可得出斜边上的高．
【详解】解：根据勾股定理可得：斜边长为，
根据面积相等，设斜边上的高为，则，
解得：，
故答案为：．
15. 已知分式方程＝1的解为非负数，则a的取值范围是_____．
【答案】a≤﹣1且a≠﹣2
【解析】
【分析】先把分式方程转化为整式方程求出用含有a的代数式表示的x，根据x的取值求a的范围．
【详解】解：分式方程转化为整式方程得，2x+a＝x﹣1
移项得，x＝﹣a﹣1，
解为非负数则﹣a﹣1≥0，
又∵x≠1，
∴a≠﹣2
∴a≤﹣1且a≠﹣2，
故答案为：a≤﹣1且a≠﹣2．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解答本题的关键是先把分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再按要求列不等式，解不等式．
16. 我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，它的发现比欧洲早五百年左右．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．人们发现，当是大于6的自然数时，这个规律依然成立．
（1）当时，按以上规律的展开式中第5项的系数是________；
（2）的展开式中各项的系数的和为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了数字类规律探索，得出规律当时，展开式中各项的系数的和为是解此题的关键．
（1）由图可得：当时，的展开式对应的系数为，，，，，，，即可得出答案；
（2）分别计算出当、、、时，展开式中各项的系数的和，从而得出当时，展开式中各项的系数的和为，由此即可得出答案．
【详解】解：（1）由图可得：当时，的展开式对应的系数为，，，，，，，
故的展开式中第项的系数为，
故答案为：；
（2）由图可得：
当时，的展开式对应的系数为，，故展开式中各项的系数的和为，
当时，的展开式对应的系数为，，，故展开式中各项的系数的和为，
当时，的展开式对应的系数为，，，，故展开式中各项的系数的和为，
当时，的展开式对应的系数为，，，，，故展开式中各项的系数的和为，
…，
当时，展开式中各项的系数的和为，
当，的展开式中各项的系数的和为，
故答案为：．
三、解答题（本题共60分，第17题16分，第18-22题，每题7分，第23题9分）
17. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，异分母分式加法计算，多项式乘以多项式和整式的加减等计算：
（1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案；
（2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可；
（3）根据异分母分式加法计算法则求解即可；
（4）根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
18. 已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】先利用分式的减法计算括号内的减法运算，再计算分式的乘法即可得到化简结果，再求出，整体代入化简结果即可得到答案，此题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式
19. 如图，电信部门要在公路，之间的区域修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到区域内的两个城镇，的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，在图中标出发射塔的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的实际应用，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，发射塔到区域内的两个城镇，的距离必须相等，则点P在线段的垂直平分线上，到两条公路，的距离也必须相等，则点P在直线m和直线n所夹的锐角的角平分线，据此作图即可．
【详解】解：如图所示，作线段的垂直平分线，作直线m和直线n所夹的锐角的角平分线，二者的交点P即为所求．
20. 如图，，于，于，、交于，连接，求证：．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】先根据三角形全等的判定定理（定理）证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差即可得证．
【详解】证明：于，于，
，
在和中，，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
21. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】去分母化为整式方程，然后求解方程并检验即可．
【详解】解：分式两边同乘得：，
整理化简得：，
解得：，
检验，当，．
是原分式方程的解．
【点睛】本题主要是考查了解分式方程，正确地去分母，把分式方程化成整式方程，是求解的关键．
22. 已知，，是的三边长，是整数且满足，求的值．
【答案】5或6或7
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，因式分解的应用，非负数的性质，利用完全平方公式把已知条件式变形为，则由非负数的性质可得，再由三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出c的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，是的三边长，
∴，
∴，即，
∵是整数，
∴的值为5或6或7．
23. 已知等腰中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作于，连接．
（1）如图1，当时，连接，判断的形状为 ；
（2）如图2，当时，求的度数；
（3）当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，直接用等式表示线段，，之间的数量关系．
【答案】（1）等边三角形
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到的度数，和，结合的度数，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可求解，
（2）在和中，根据三角形内角和是，得到，进而确定是等腰直角三角形，由，得到，即可求解，
（3）当时，作，通过证明等腰直角三角形，得到，通过证明，得到，即可求解，当时，过点作，通过证明是等腰直角三角形，得到，由，得到，由是等腰直角三角形，得到，，由，得到，即可求解；
本题考查了等边三角形的判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，梯形的中位线，解题的关键是：通过几何变换，将所求线段拼接成一条线段．
【小问1详解】
解：由旋转可知，，，
是等腰三角形，
又，
，
是等边三角形，
故答案为：等边三角形，
【小问2详解】
解：连接，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：，
【小问3详解】
当时，连接，过点作，交于点，连接，

，，
，
，
等腰直角三角形，
，，
，，
是正方形，
，，
，即：，
，
，
，
当时，连接，过点作，交延长线于点，连接，
，，
，，
， ，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
是正方形，
，，
，即：，
，
，
，
故答案为：或．
四、附加题（本题共20分，第24题6分，第25题8分，第26题6分）
24. 阅读材料1：对于两个正实数，，由于，所以，即，所以得到，并且当时，．
阅读材料2：若，则，因为，，所以由阅读材料1可得，，即的最小值是2，只有时，即时取得最小值．
根据以上阅读材料，请回答以下问题：
（1）比较大小： （其中）； （其中）．
（2）求代数式的最小值，并指出此时的值为多少．
【答案】（1），
（2）当时，有最小值为
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算、配方法的应用，读懂材料并加以运用是解此题的关键．
（1）根据求出法比较大小，由材料1进行比较即可得出答案；
（2）先将变形为，由阅读材料2可得当时，有最小值，即可得解．
【小问1详解】
解：，
，
当时，由阅读材料1可得：，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：，
，
，即当时，有最小值，
当时，有最小值为．
25. 为等腰直角三角形，，点是直线上一动点（不与点重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图1，当点在线段上时．
①求证：；
②延长交于点，求证：为的中点．
（2）若，直接写出的最大值和最小值．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）的最小值为，最大值为
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）①由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得：，，证明，即可得出；②作交的延长线于，则，由等腰直角三角形的性质结合得出，再证明，得出即可得证；
（2）由题意得，由（1）②知，取的中点，连接、，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，由两点之间线段最短可得：，，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：①：为等腰直角三角形，，
，
由旋转的性质可得：，，
，即，
在和中，
，
，
；
②如图，作交的延长线于，
，
则，
由旋转的性质可得：，，
，
，
，
，
，
由①得：，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
为中点；
【小问2详解】
解：，为等腰直角三角形，
，
由（1）②知，
如图，取的中点，连接、，
，
，
，
，
由两点之间线段最短可得：，，
即，
的最小值为，最大值为．
26. 在平面直角坐标系中，直线过原点且经过第三、第一象限，与轴所夹锐角为．对于点和轴上的两点，，给出如下定义：记点关于直线的对称点为，若为等边三角形，则称点为，的点．
（1）如图1，若点，，点为，的点，连接，．
① ；
②点的坐标为 ．
（2）已知点，，且点的横坐标为2．
①当时，点为，的点，则 ；
②当时，点为，的点，则 ．
【答案】（1）①；②
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）①过点作轴于，过作轴于，由等边三角形的性质可得，，，从而得出，，由题意得出与轴所夹锐角为，再由点关于直线的对称点为即可得出答案；②证明，得出，，即可得出答案；
（2）①由题意得当时，，过点作于，过点作轴于，作轴交直线于，交轴于，连接交轴于，连接交直线于，由等边三角形的性质可得，，，表示出，，由题中的定义得出与轴所夹锐角为，由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的判定与性质得出，表示出，再由直角三角形的性质，结合勾股定理求出，建立方程，求解即可；②由题意得，，从而得出，分两种情况：当时，点在的左侧；当时，点在的右侧；结合等边三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形的性质，建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：①如图，过点作轴于，过作轴于，
，
，，
，
为等边三角形，，
，，，
，，
，
，
，
，
点为，的点，
与轴所夹锐角为，
点关于直线对称点为，
，，，
故答案为：；
②在和中，
，
，
，，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①，，
，
当时，，
如图，过点作于，过点作轴于，作轴交直线于，交轴于，连接交轴于，连接交直线于，
，
为等边三角形，，
，，，
，
，，
，，
点为，的点，
与轴所夹锐角为，
，，
点的横坐标为2，
，
，
点关于直线的对称点为，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
解得：，
故答案为：；
②，
，，
，
如图，令直线交于，交轴于，令直线关于对称的直线交轴于，则点在直线上，当时，点在的左侧，
，
点为，的点，
与轴所夹锐角为，
直线与直线夹角为，即，
直线关于对称的直线与的夹角也为，即，
，
，
，
，
，点的横坐标为2，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，，
，，
，
解得：；
如图，当时，点在的右侧，
，
同理可得，
，，
，，
，
综上所述，当时，点为，的点，则或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．