133，广东省深圳市南山区南山外国语学校（集团）2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题

这是一份133，广东省深圳市南山区南山外国语学校（集团）2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题，共24页。试卷主要包含了3表示收入6，5表示收入10， 下列事件中，属于随机事件的是， 下列说法不正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，+10.5表示收入10.5元，下列说法正确的是（ ）
A. ﹣6.3表示收入6.3元B. ﹣6.3表示支出﹣6.3元
C. ﹣6.3表示支出6.3元D. 收支总和为16.8元
【答案】C
【解析】
【分析】根据+10.5表示收入10.5元，可以得出“收入”用正数表示，从而“支出”就用负数表示，即可得出答案．
【详解】解：根据+10.5表示收入10.5元，“收入”用正数表示，那么“支出”就用负数表示，
于是﹣6.3表示支出6.3元，
故选：C．
【点睛】本题考查了正数，负数的意义，一个量用正数表示，那么与它具有相反意义的量就用负数表示．
2. 国家级非物质文化遗产之一的东北大鼓是中国北方曲种，流行于辽宁、吉林、黑龙江3省，一度盛行于沈阳，故又称奉天大鼓、奉派大鼓、奉调大鼓、辽宁大鼓．如图是表演情景及乐器之一鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，通过观察立体图形即可．
【详解】解：鼓的立体图形的主视图是：
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3. 2021年8月5日，安徽省政府新闻办举办新闻发布会上获悉，到2025年，我省林长制组织体系和目标责任体系更加完善，森林覆盖率超过31%，森林蓄积量达到2.9亿立方米．用科学记数法表示“2.9亿”，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：2.9亿，
故选C．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A. 抛出的篮球会落下B. 从装有红球、白球的袋中摸出黑球
C. 14人中至少有2人是同月出生D. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的是解题的关键．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【详解】解：对于选项A，抛出的篮球会落下，是必然事件，不符合题意；
对于选项B，从装有红球、白球的袋中摸出黑球，是不可能事件，不符合题意；
对于选项C，14人中至少有2人是同月出生，是必然事件，不符合题意；
对于选项D，经过有交通信号灯路口，遇到绿灯，是随机事件，符合题意．
故选：D．
5. 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝10，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，连接DE交BC于点H，连接AH，则AH的长为（ ）
A. 5B. 5C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先利用勾股定理计算出BC＝5，再利用作法得到BH＝CH，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．
【详解】∵∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝10，
∴BC＝＝5，
由作法得DE垂直平分BC，
∴BH＝CH，
∴AH为Rt△ABC斜边上的中线，
∴AH＝BC＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
6. 一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已知，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例并灵活运用．由平行线分线段成比例可得出答案．
【详解】解：过点作交于点，交于点，
，
，
，
．
故选：C
7. 翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形中，，，的度数为（ ）．

A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°
【答案】D
【解析】
【分析】由矩形性质可得，进而可得；再根据三角形内角和定理可得；然后再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由对顶角相等即可解答．
【详解】解：如图：∵矩形中，
∴,
∵，
∴,
∴,
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴,
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键．
8. 下列说法不正确的是（ ）
A 方程有两个不相等的实数根
B. 若由旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等
C. 用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线
D. 在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，旋转的性质，尺规作图，平行线公理，根据相关知识逐项判断即可．
【详解】A、方程，，
方程有两个不相等的实数根，故本选项正确，不符合题意；
B、若由旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等，正确，本选项不符合题意；
C、用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线，正确，本选项不符合题意；
D、在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等，错误这两个角也可能是互补，本选项符合题意．
故选：D．
9. 某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③ ，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是
A. 甲乙合作了4天B. 甲先做了4天
C. 甲先做了工程的D. 甲乙合作了工程的
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用；根据题意和方程，可知甲干了4天，乙干了天，从而可以得到③后面应填入的内容，本题得以解决．
【详解】解：某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：，
甲工作了4天，乙工作了天，
即甲乙合作了4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工，
可知在③应填入的内容为：甲乙合作了4天，
故选：A．
10. 如图，为圆O的直径，C为圆O上一点，过点C作圆O的切线交的延长线于点D，，连接，若，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，为圆O的直径可得，结合是圆O的切线即可得到，即可得到，根据勾股定理即可得到答案；
【详解】解：连接，，
∵，为圆O的直径，
∴，，
∵是圆O的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
故选C；
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，解题的关键是求出．
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用分式和二次根式有意义的条件解答即可．此题主要考查了分式及二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
【详解】解：代数式有意义，
，
解得．
故答案为：．
12. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式，完全平方公式因式分解是解题的关键．
先提取公因式，然后运用完全平方公式因式分解即可．
【详解】原式
13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在函数y＝（x＞0）图象上，AC⊥x轴于点C，连接OA，则△OAC面积为_____．

【答案】1
【解析】
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义可得S△OAC＝×2＝1，再相加即可．
【详解】解：∵函数y＝（x＞0）的图象经过点A，AC⊥x轴于点C，
∴S△OAC＝×2＝1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，掌握过反比例函数图象上的点向x轴或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积的计算方法是解本题的关键．
14. 新定义：[a，b]为一次函数(a≠0，,a、b为实数)的“关联数”．若“关联数”为[3，m-2] 的一次函数是正比例函数，则点(1-m，1+m)在第_____象限．
【答案】二．
【解析】
【分析】根据新定义列出一次函数解析式，再根据正比例函数的定义确定m的值，进而确定坐标、确定象限.
【详解】解：∵“关联数”为[3，m﹣2]的一次函数是正比例函数，
∴y＝3x+m﹣2是正比例函数，
∴m﹣2＝0，
解得：m＝2，
则1﹣m＝﹣1，1+m＝3，
故点（1﹣m，1+m）在第二象限．
故答案为二．
【点睛】本题属于新定义和正比例函数的定义，解答的关键运用新定义和正比例函数的概念确定m的值.
15. 如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若，则的长为__．
【答案】
【解析】
【分析】如图取的中点，连接，，连接交于．首先证明是等腰直角三角形求出，，解直角三角形求出，即可解决问题．
【详解】如图，取的中点，连接，．连接交于．
四边形是正方形，
，，，，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折变换，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，四点共圆，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握折叠的性质及正方形的性质是解题的关键．
三．解答题（共55分）
16. 计算：.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，先求负整数指数幂，零指数幂和特殊角的三角函数值，然后进行加减运算即可，准确熟练地化简各式是解题的关键．
【详解】解：原式，
．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，5
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，绝对值的非负性．熟练掌握整式的化简求值，绝对值的非负性是解题的关键．
取括号，合并同类项可得化简结果，根据绝对值的非负性求，然后代值求解即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
解得，，
将 代入得，原式．
18. 下表是小明这一学期数学成绩测试记录，根据表格提供的信息，回答下列问题：
（1）小明6次成绩的众数是 ，中位数是 ；
（2）若把四次练习成绩的平均分89分作为平时成绩，按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如图所示，请求出小明本学期的综合成绩；
（3）若从四次练习成绩中随机抽取两次成绩作为平时成绩，则小明抽到两次成绩最好的练习的概率是多少？请用树状图或列表法示意．
【答案】（1）90，90
（2）小明本学期的综合成绩为93.5分
（3）小明抽到两次成绩最好的练习的概率是；用树状图示意见解析
【解析】
【分析】本题主要考查列表或画树状图求概率，中位数、众数、平均数的概念，熟练掌握中位数、众数、平均数的概念是解题的关键．
（1）根据众数和中位数的概念得出结论即可；
（2）根据各种成绩的比例得出综合成绩即可；
（3）画出树状图，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
由题意知，小明6次成绩的众数是90，中位数是，
故答案为：90，90；
【小问2详解】
综合成绩为：（分，
即小明本学期的综合成绩为93.5分．
【小问3详解】
画树状图如下：（练习一、二、三、四的成绩记为A，B，C，D）
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小明抽到两次成绩最好的练习，两组的有2种结果，
概率为．
19. 如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直径．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，则∠1=∠B，根据圆周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形的性质得CF=AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定义得sinC==，则设DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后证明△ADE∽△DFC，再利用相似比可计算AE即可．
详解】解：（1）∵AB=AC，AD=DC，
∴∠C=∠B，∠1=∠C，
∴∠1=∠B，
又∵∠E=∠B，
∴∠1=∠E，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，
∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，
∴AE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，
∵DA=DC，
∴CF=AC=3，
在Rt△CDF中，∵sinC==，
设DF=4x，DC=5x，
∴CF==3x，
∴3x=3，解得x=1，
∴DC=5，
∴AD=5，
∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴，即，解得AE=，
即⊙O的直径为．
20. 某学校正在推进课堂信息化建设，希望通过采购一体机，提高学校硬件设备水平，更好的辅助教师教学，现有，两种型号英寸的教学一体机，若购买台型一体机，台型一体机需要万元；台型一体机，台型一体机需要万元．
（1）请问每台，型一体机售价各是多少万元；
（2）现需要采购一体机共台，并且按照学校现有的设备匹配发现购进型一体机不超过台，请问怎么安排采购方案，能使得本次采购费用最少．
【答案】（1）每台型一体机售价是万元，每台型一体机售价是万元；
（2）购买台型一体机，台型一体机时采购费用最少．
【解析】
【分析】（1）设每台型一体机售价是万元，每台型一体机售价是万元，根据“购买台型一体机，台型一体机需要万元；台型一体机，台型一体机需要万元”列出方程组，解方程组即可；
（2）设学校购进型一体机台，则购进型一体机台，采购费用为元，根据总费用等于，型一体机的费用之和列出函数解析式，根据自变量的取值范围和函数的性质求最值．
【小问1详解】
解：设每台型一体机售价是万元，每台型一体机售价是万元，
根据题意得：，
解得:，
答：每台型一体机售价是万元，每台型一体机售价是万元；
【小问2详解】
设学校购进型一体机台，则购进型一体机台，采购费用为元，
根据题意得：，
，，
当时，有最小值，最小值为，
此时型一体机台，
购买台型一体机，台型一体机时采购费用最少．
【点睛】本题主要考查的二元一次方程组应用、一次函数的应用，根据题意得到与的函数关系式是解题的关键．
21. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务一：，顶点D 的坐标为；任务二： ；任务三：叶片此时的长度为，最大宽度为
【解析】
【分析】任务一：利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式求出顶点坐标即可；
任务二：先求出，得到，再求出，得到，由对称性可得，证明是等腰直角三角形，求出，则；
任务三： 先求出直线的解析式为，进而求出，同理可求出直线的解析式为：，则，求出抛物线解析式为，进而求出，作交延长线于点H，利用勾股定理求出，再求出直线的解析式为，作轴交抛物线和直线分别于点N，M，作交曲线于．则，即可得到，证明，求出，，则叶片此时的长度为，最大宽度为．
【详解】解：任务一：把=代入得：
∴，
∴抛物线解析式为
∴顶点D 的坐标为；
任务二：∵直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵E、是叶片上的一对对称点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
任务三：∵直线与x 轴成角
∴可设直线的解析式为，
把点代入得，．
∴直线的解析式为，
联立，解得或
∴，同理可求出直线的解析式为：，
∴，
把代入，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
联立，解得．
∵幼苗是越长越张开，
∴不合题意，舍去
∴，
作交延长线于点H，
∴，
设直线的解析式为，
把点和代入得，
∴直线的解析式为，
作轴交抛物线和直线分别于点N，M，
作交曲线于．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，，
∴叶片此时的长度为，最大宽度为．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
22. 综合与实践课上，老师让同学们以“线段的旋转”为主题开展数学活动．
问题情境：在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得．
（1）操作判断
当时，如图1，连接，试判断四边形的形状，并证明；
（2）深入探究
连接，取的中点，连接．善于思考的小东发现当点在边上运动时，的值始终不变，请你利用图2求的值．
（3）解决问题
若，，如图3，在（2）的探究中，当时，直接写出两点之间的距离．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据已知条件得出，进而证明，，得出四边形是菱形；
（2）延长至点，使，连接，依题意，，证明，得出，即可求解．
（3）延长至点，使，连接，过点作于点，可得是三角形是中位线，证明，则，，进而得出，，可得点在上，根据等边三角形的性质勾股定理求得，，进而分点在的左边和右边，分别求得，根据求得，即可求解．
【小问1详解】
四边形是菱形，
证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
【小问2详解】
解：如图所示，延长至点，使，连接，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问3详解】
延长至点，使，连接，过点作于点，
∵是的中点，
∴是三角形是中位线
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
即，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴点在上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∴或，
∴或．
【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质，中位线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，中位线的性质与判定是解题的关键．测试
平时成绩
期中测试
期末测试
练习一
练习二
练习三
练习四
成绩
88
92
90
86
90
96
运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况
素
材
在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片、一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
问题解决
任
务
1
确定心形叶片的形状
如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
任
务
2
研究心形叶片的尺寸
如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，直线分别交抛物线和直线于点E，F，点E，是叶片上的一对对称点，交直线与点G．求叶片此处的宽度．
任
务
3
探究幼苗叶片的生长
小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分，如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线与水平线的夹角为．三天后，点D长到与点P同一水平位置的点时，叶尖Q落在射线上(如图5所示)．求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．