2023年山西省大同市煤矿二中高考数学四模试卷（含解析）

这是一份2023年山西省大同市煤矿二中高考数学四模试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|y= 1−x}，B={x|x2<3}，则A∩B=( )
A. (−∞,1]B. [0, 3]C. (− 3,1]D. [1, 3)
2.已知复数(1+2i)(z−1)=−2+i，则|z|=( )
A. 2B. 2C. 3D. 3
3.已知向量a=(1,2)，b=(m,2−m)，若a⊥b，则|b|=( )
A. 3B. 5C. 2 3D. 2 5
4.函数f(x)=xln|x|x2+1的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知A三角形ABC的内角，则“sinA= 22”是“csA= 22”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0]上是单调递增的.设a=f(lg45),b=f(lg213),c=f(0.20.5)，则a，b，c的大小关系为( )
A. ca>bC. bb>a
7.数列{an}满足a1=0，a2=1，an=2+an−2,n≥3,n为奇数2an−2,n≥3,n为偶数，则数列{an}的前10项和为( )
A. 48B. 49C. 50D. 51
8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+2)为偶函数，且当0A. 2B. −2C. −1D. 1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数f(x)=cs(ωx+π2)(ω>0)在区间(π6,π3)上单调，则ω的取值可以是( )
A. 1B. 52C. 4D. 112
10.
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则( )
A. 该函数的解析式为y=2sin(23x+π3)
B. 该函数图象的对称中心为(kπ−π3,0)，k∈Z
C. 该函数的单调递增区间是(3kπ−5π4,3kπ+π4)，k∈Z
D. 把函数y=2sin(x+π3)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
11.已知f′(x)是定义在R上的函数f(x)的导数，且f(x)−f′(x)<0，则下列不等式一定成立的是( )
A. e3f(−2)12.如图，点D位于以AB为直径的半圆上(含端点A，B)，△ABC是边长为2的等边三角形，则AD⋅CB的取值可能是( )
A. −1
B. 0
C. 1
D. 4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线y=(x−1)ex+x在x=0处的切线方程是______．
14.数列{an}满足an=3n−1，数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=(−1)n+1an，则T19=______．
15.已知tan(α−β2)=12,tan(β−α2)=−13，则tan(α+β)的值为______．
16.已知在△ABC中，E为AC上一点，且AE=13EC,P为BE上一点，且满足AP=mAB+nAC(m>0,n>0)，则1m+1n取最小值时，向量a=(m,n)的模为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=2Sn+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：1a1+1a2+⋅⋅⋅+1an<32．
18.(本小题12分)
ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A−B)a=sin(B−C)c．
(Ⅰ)证明：2b2=a2+c2；
(Ⅱ)若csB=1517，△ABC的面积为2，求△ABC的周长．
19.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+n2，数列{bn}满足：an=lg2bn，n∈N*．
(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(Ⅱ)设cn=1an(n+2)(n为奇数),2bn(n为偶数),，Tn为数列{cn}的前n项和，求T2n．
20.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1=1，a2=9，a3=45，{an+1−3an}为等比数列．
(1)证明：{an3n}是等差数列，并求出{an}的通项公式．
(2)求{an}的前n项和为Sn．
21.(本小题12分)
在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 3sinC+csC=sinB+sinCsinA．
(1)求A；
(2)若△ABC的外接圆的半径为1，求b2+c2的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=alnx−x2+(2a−1)x，其中a∈R．
(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)求函数f(x)的极值；
(Ⅲ)若函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为A={x|y= 1−x}={x|x≤1}，B={x|x2<3}={x|− 3所以A∩B={x|− 3故选：C．
先化简集合A，B，利用集合的交集运算，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：z=−2+i1+2i+1=(−2+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)+1=5i5+1=1+i，
则|z|= 2．
故选：A．
利用复数的除法运算法则求出复数，再利用复数模的公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为a⊥b，a=(1,2)，b=(m,2−m)，
所以a⋅b=m+2(2−m)=0，解得m=4，
所以b=(4,−2)，
计算|b|= 4+(−2)2=2 5．
故选：D．
根据向量垂直的坐标表示求出m，再由向量模长的坐标求出|b|．
本题考查了平面向量的坐标运算与模长公式计算问题，是基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的图象与图象变换．属中档题．
先用奇偶性排除C，D.再用0【解答】
解：因为f(−x)=−xln|−x|(−x)2+1=−f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，因为f(1)=0，0故选：A．
5.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，若sinA= 22，则A=π4或3π4，当A=3π4时，csA=− 22，即充分性不成立，
若csA= 22，则A=π4，此时sinA= 22，∴必要性成立，
∴“sinA= 22”是“csA= 22”的必要不充分条件，
故选：B
根据三角函数的关系，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0]上是单调递增的，
所以函数在(0,+∞)上单调递减，
所以f(lg213)=f(lg23),lg23=lg49>lg45>1,0<0.20.5<1，
所以c>a>b，
故选：B．
由偶函数性质变形f(lg213)=f(lg23)，然后由对数换底公式、对数函数性质比较lg23，lg45大小，再由指数函数性质结合中间1比较0.20.5与前面对数的大小后，再由函数单调性得结论．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：数列{an}满足a1=0，a2=1，an=2+an−2,n≥3,n为奇数2an−2,n≥3,n为偶数，奇数项是等差数列，公差为2，偶数项是等比数列，公比为2，
所以数列{an}的前10项和为：(0+2+4+6+8)+(1+2+4+8+16)=51．
故选：D．
通过数列的递推关系式，求解数列的和即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，故可得f(x)=−f(−x)，
又f(x+2)为偶函数，所以有：f(x+2)=f(−x+2)，
所以，有f(x+2)=−f(x−2)，即f(x+4)=−f(x)
所以f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，故f(x)以8为周期，
故f(2022)=f(252×8+6)=f(6)=f(−2)=−f(2)．
因为当0所以f(2022)=−f(2)=−lg24=−2．
故选：B．
由f(x+2)为偶函数，结合f(x)为奇函数，可得f(x)以8为周期的函数，从而根据已知的解析式可求出f(2022)．
本题主要考查函数奇偶性的性质，函数的周期性，函数的求值，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】【分析】
利用诱导公式可得f(x)=−sinωx，进而根据正弦函数的单调性求得ω的范围，从而得解．
本题主要考查诱导公式以及正弦函数的图象和性质的应用，属于中档题．
【解答】
解：函数f(x)=cs(ωx+π2)=−sinωx，(ω>0)在区间(π6,π3)上单调，
可得π6ω>0，且π3ω≤π2，求得0<ω≤32，
或π6ω≥π2，且π3ω≤3π2，求得3≤ω≤92，
或π6ω≥3π2，且π3ω≤5π2，此时无解；
则ω的取值可以是1，或4．
故选：AC．
10.【答案】ACD
【解析】解：由题图可知A=2，2πω=4(π−π4)=3π，
所以ω=23，
则y=2sin(23x+φ)，
又23×π4+φ=π2+2kπ，k∈Z，
所以φ=π3+2kπ，k∈Z，
又0<φ<π，
所以φ=π3，
所以y=2sin(23x+π3)，故A正确，
令23x+π3=kπ，k∈Z，得x=−π2+32kπ，k∈Z，故B错误，
令−π2+2kπ≤23x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，得−5π4+3kπ≤x≤π4+3kπ，k∈Z，故C正确，
把函数y=2sin(x+π3)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象y=2sin(23x+π3)，故D正确．
故选：ACD．
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查的关键能力是运算求解，考查的学科素养是理性思维，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：令F(x)=f(x)ex，
F′(x)=f′(x)ex−exf(x)(ex)2=f′(x)−f(x)ex，
因为在R上f(x)−f′(x)<0，
所以在R上F′(x)>0，
所以F(x)在R上单调递增，
对于A：由函数F(x)的单调性可得F(−2)所以e3f(−2)对于B：f(−2)，f(1)的大小不能确定，无法判断f(−2)与e3f(1)的大小关系，故B错误；
对于C：由函数F(x)的单调性可得F(1)所以ef(1)对于D：f(1)，f(2)的大小不能确定，无法判断f(1)与ef(2)，故D错误，
故选：AC．
令F(x)=f(x)ex，求导分析F(x)的单调性，逐项判断，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：如图，建立平面直角坐标系，设D(csθ,sinθ)，θ∈[0,π]，
又A(−1,0)，B(1,0)，C(0,− 3)，
故AD=((csθ+1,sinθ)，CB=(1, 3)，
则AD⋅CB=csθ+1+ 3sinθ=2sin(θ+π6)+1，
因为θ∈[0,π]，所以π6≤θ+π6≤7π6，−12≤sin(θ+π6)≤1，
即可得2sin(θ+π6)+1∈[0,3]．
故选：BC．
建立平面直角坐标系，利用坐标计算平面向量的数量积即可．
本题考查了利用坐标计算平面向量的数量积，考查了转化思想、运算能力，属于中档题．
13.【答案】y=x−1
【解析】解：由y=(x−1)ex+x，得y′=ex+(x−1)ex+1=xex+1，
∴y′|x=0=1，又x=0时，y=−1，
∴曲线y=(x−1)ex+x在x=0处的切线方程是y=x−1．
故答案为：y=x−1．
求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数值，再求出x=0时的函数值，利用直线方程的斜截式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
14.【答案】29
【解析】解：由题意，可得bn=(−1)n+1an=(−1)n+1⋅(3n−1)，
则T19=b1+b2+b3+b4+⋅⋅⋅+b17+b18+b19
=(3×1−1)−(3×2−1)+(3×3−1)−(3×4−1)+⋅⋅⋅+(3×17−1)−(3×18−1)+(3×19−1)
=2−5+8−11+⋅⋅⋅+50−53+56
=(2−5)+(8−11)+⋅⋅⋅+(50−53)+56
=(−3)×9+56
=29．
故答案为：29．
先根据题干已知条件计算出数列{bn}的通项公式，再逐项代入并运用分组求和法即可计算出前19项和T19的值．
本题主要考查运用分组求和法求前n项和问题．考查了转化与化归思想，分组求和法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
15.【答案】724
【解析】解：因为tanα+β2=tan[(α−β2)+(β−α2)]=12+(−13)1−12×(−13)=17，
所以tan(α+β)=2×171−(17)2=724．
故答案为：724．
利用凑角、二倍角公式计算可得答案．
本题主要考查凑角法及二倍角公式的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】 56
【解析】解：由AE=13EC，可得AC=4AE，
所以AP=mAB+nAC=mAB+4nAE，
又P为BE上一点，不妨设BP=λBE(0<λ<1)，
则AP=AB+BP=AB+λBE=AB+λ(AE−AB)=(1−λ)AB+λAE，
即有(1−λ)AB+λAE=mAB+nAC=mAB+4nAE，
由AB,AE不共线，所以m=1−λ4n=λ，
所以m+4n=1−λ+λ=1，
因此1m+1n=(1m+1n)(m+4n)=5+4nm+mn⩾5+2 4=9(m>0,n>0)，
当且仅当m=2n，即m=13,n=16时等号成立，
故|a|= m2+n2= 19+136= 56．
故答案为： 56．
由平面向量的线性运算结合已知条件，可求得m+4n=1，再根据基本不等式求得1m+1n取最小值的条件，从而求得结论．
本题考查平面向量基本定理及基本不等式求最值，属中档题．
17.【答案】解：(1)∵等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=2Sn+1(n∈N*)，
∴n≥2时，an=2Sn−1+1，
两式相减得an+1−an=2an，∴an+1=3an，即an+1an=3，
故等比数列{an}的公比q=3，
令n=1，得a2=2a1+1，∴3a1=2a1+1，∴a1=1，
∴数列{an}的通项公式为an=3n−1；
(2)证明：易知1an=(13)n−1，
∴1a1+1a2+⋅⋅⋅+1an=(13)0+(13)1+⋅⋅⋅+(13)n−1=1−(13)n1−13=32−12×3n−1，
∵n∈N*，∴1a1+1a2+⋅⋅⋅+1an=32−12×3n−1<32．
【解析】(1))由an+1=2Sn+1(n∈N*)，得到n≥2时，an=2Sn−1+1，两式相减得an+1=3an，可以求出公比q=3，令n=1，得a2=2a1+1，得到a1=1，代入等比数列的通项公式即可求解；
(2)易知1an=(13)n−1，利用等比数列的求和公式即可得证．
本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)证明：因为sin(A−B)a=sin(B−C)c，可得sinAcsB−csAsinBa=sinBcsC−csBsinCc，
由正余弦定理可得：a⋅a2+c2−b22ac−b⋅b2+c2−a22bca=b⋅b2+a2−c22ab−c⋅a2+c2−b22acc，
整理可得：2b2=a2+c2，
即证得：2b2=a2+c2；
(Ⅱ)由题意csB=1517可得sinB=817，因为△ABC的面积为2，可得12acsinB=2，
可得ac=172，由(Ⅰ)可得：
由余弦定理可得csB=a2+c2−b22ac=b22⋅172，即1517=b217，可得b2=15，
且b2=a2+c2−2accsB=(a+c)2−2ac−2accsB，
即15=(a+c)2−2×172−2×172⋅1517，解得a+c= 47，
所以三角形的周长a+c+b= 15+ 47．
【解析】(Ⅰ)由正余弦定理可证得等式成立．
(Ⅱ)由三角形的面积公式，可得ac的值，再由余弦定理可得b的值及a+c的值，进而求出三角形的周长．
本题考查正余弦定理的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)∵数列{an}的前n项和Sn=n2+n2，
因为n=1时，a1=S1=1………………(1分)
n≥2时，Sn−1=12[(n−1)2+(n−1)]=12(n2−n)，
所以an=Sn−Sn−1=n(n≥2)………………(3分)
又n=1时，a1=1满足上式
所以an=n………………………………(5分)
又an=lg2bn所以n=lg2bn
所以bn=2n………………(6分)
(Ⅱ)cn=1an(n+2)(n为奇数),2bn(n为偶数),由(Ⅰ)知，an=n，bn=2n，
所以cn=1n(n+2)(n为奇数),12n−1(n为偶数),……………(8分)
T2n=(c1+c3+…+c2n−1)+(c2+c4+…+c2n)，
T2n=(11×3+13×5+…+1(2n−1)(2n+1))+(12+18+…+122n−1)……………(11分)
=12(1−13+13−15+…+12n−1−12n+1)+12(1−14n)1−14……………(13分)
=12(1−12n+1)+23(1−14n)=76−12(2n+1)−23⋅4n.……………(15分)
【解析】(Ⅰ)数列{an}的前n项和Sn=n2+n2，n=1时，a1=S1=1.n≥2时，an=Sn−Sn−1(n≥2)，即可得出an.利用对数运算性质即可得出bn．
(Ⅱ)cn=1an(n+2)(n为奇数),2bn(n为偶数),由(Ⅰ)知，an=n，bn=2n，可得cn=1n(n+2)(n为奇数),12n−1(n为偶数),，T2n=(c1+c3+…+c2n−1)+(c2+c4+…+c2n)，通过分组求和，利用裂项求和、等比数列的求和公式即可得出．
本题考查了数列递推关系、对数运算性质、等比数列的通项公式求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】(1)证明：由题意，可知a2−3a1=9−3×1=6，
a3−3a2=45−3×9=18，
设等比数列{an+1−3an}的公比为q，
则q=a3−3a2a2−3a1=186=3，
故数列{an+1−3an}是以6为首项，3为公比的等比数列，
∴an+1−3an=6⋅3n−1=2⋅3n，
对an+1−3an=2⋅3n两边同时乘以13n+1，
可得an+13n+1−an3n=23，
∵a131=13，
∴数列{an3n}是以13为首项，23为公差的等差数列，
∴an3n=13+23(n−1)=2n−13，
∴an=(2n−1)⋅3n−1，n∈N*．
(2)解：由(1)，可得Sn=a1+a2+⋅⋅⋅+an
=1⋅30+3⋅31+5⋅32+⋅⋅⋅+(2n−1)⋅3n−1，
3Sn=1⋅31+3⋅32+⋅⋅⋅+(2n−3)⋅3n−1+(2n−1)⋅3n，
两式相减，可得−2Sn=1⋅30+2⋅31+2⋅32+⋅⋅⋅+2⋅3n−1−(2n−1)⋅3n
=1+2⋅(31+32+⋅⋅⋅+3n−1)−(2n−1)⋅3n
=1+2⋅31−3n1−3−(2n−1)⋅3n
=−2(n−1)⋅3n−2，
∴Sn=(n−1)⋅3n+1．
【解析】(1)先设等比数列{an+1−3an}的公比为q，根据题干已知条件计算出公比q的值，即可发现数列{an+1−3an}是以6为首项，3为公比的等比数列，进一步计算数列{an+1−3an}的通项公式，并对通项公式进行转化即可证明数列{an3n}是以13为首项，23为公差的等差数列，通过计算出等差数列{an3n}的通项公式即可计算出数列{an}的通项公式；
(2)根据第(1)题计算出来的数列{an}通项公式的特点运用错位相减法即可推导出前n项和Sn．
本题主要考查数列由递推公式推导通项公式，以及运用错位相减法求前n项和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，错位相减法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
21.【答案】解：(1)因为 3sinC+csC=sinB+sinCsinA，
所以 3sinCsinA+csCsinA=sinB+sinC
=sin(A+C)+sinC=sinAcsC+csAsinC+sinC，
整理可得 3sinCsinA=csAsinC+sinC，又sinC≠0，
所以 3sinA−csA=1，所以sin(A−π6)=12，
所以A−π6=π6或A−π6=56π，所以A=π3或A=π(舍)，
所以A=π3；
(2)设三角形的外接圆半径为r，由题意可得r=1，
再由asinA=2r，可得a= 3，
由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC 3 32=2，所以b=2sinB，c=2sinC，
由余弦定理可得b2+c2=4(sin2B+sin2C)=4⋅1−cs2B+1−cs2C2
=4−2(cs2B+cs2C)=4−2[cs2(23π−C)+cs2C]
=4−2(cs43πcs2C+sin43πsin2C+cs2C)
=4−2(12cs2C− 32sin2C)=4−2cs(2C+π3)，
在锐角三角形中，0所以C∈(π6,12π)，所以2C∈(π3,π)，
所以2C+π3∈(23π,43π)，所以cs(2C+π3)∈[−1,−12)，
所以−2cs(2C+π3)∈(1,2]，
所以b2+c2的取值范围为(5,6]．
【解析】(1)由正弦定理及三角形中角的关系，可得A角的大小；
(2)由正弦定理可得关于a边的值，及b，c的不等式，再由△ABC为锐角三角形得到C的范围，最后由余弦函数的性质求出b2+c2的取值范围．
本题考查正余弦定理及辅助角公式的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=lnx−x2+x，函数的定义域为(0,+∞)．
f′(x)=1x−2x+1=−(2x+1)(x−1)x．
当f′(x)>0，即0当f′(x)<0，即x>1时，函数f(x)单调递减．
∴函数f(x)的单调增区间为(0,1)；单调递减区间为(1,+∞)；
(Ⅱ)∵f′(x)=ax−2x+2a−1=−(2x+1)(x−a)x．
当a≤0时，∵f′(x)<0恒成立，∴函数f(x)在(0,+∞)内单调递减，无极值；
当a>0时，令f′(x)=0，得x=a．
当x∈(0,a)时，f′(x)>0，当x∈(a,+∞)时，f′(x)<0，
∴当x=a时，函数f(x)取得极大值f(a)=a(lna+a−1)；
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)内单调递减，
则f(x)至多有一个零点，不符题意，舍去；
当a>0时，函数f(x)取得极大值f(a)=a(lna+a−1)，
令g(x)=lnx+x−1(x>0)，
g′(x)=1x+1>0，g(x)在(0,+∞)内单调递增，
又g(1)=0，∴01时，g(x)>0．
①当0②当a>1时，f(a)=ag(a)>0．
∵f(1e)=a(2e−1)−1e2−1e<0．
∴函数f(x)在(1e,a)内有一个零点；
∵f(3a−1)=aln(3a−1)−(3a−1)2+(2a−1)(3a−1)=a[ln(3a−1)−(3a−1)]，
设h(x)=lnx−x(x>2)，
∵h′(x)=1x−1<0，
∴h(x)在(2,+∞)内单调递减，
则h(3a−1)∴f(3a−1)=a⋅h(3a−1)<0．
∴函数f(x)在(a,3a−1)内有一个零点．
∴当a>1时，函数f(x)恰有两个不同零点．
综上，当函数f(x)有两个不同的零点时，a的取值范围是(1,+∞)．
【解析】(Ⅰ)当a=1时，f(x)=lnx−x2+x，求其导函数，由导函数在不同区间内的符号可得原函数的单调性；
(Ⅱ)f′(x)=ax−2x+2a−1=−(2x+1)(x−a)x.当a≤0时，f′(x)<0恒成立，函数f(x)在(0,+∞)内单调递减，无极值；当a>0时，令f′(x)=0，得x=a.由单调性可得当x=a时，函数f(x)取得极大值f(a)=a(lna+a−1)；
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)内单调递减，则f(x)至多有一个零点，不符题意，舍去；当a>0时，函数f(x)取得极大值f(a)=a(lna+a−1)，令g(x)=lnx+x−1(x>0)，讨论g(x)的单调性，再分01分析函数f(x)的零点情况，可得当函数f(x)有两个不同的零点时，a的取值范围是(1,+∞)．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．