2023-2024学年福建省厦门市思明区美林中学九年级（上）第一阶段数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省厦门市思明区美林中学九年级（上）第一阶段数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，关于x的一元二次方程是( )
A. x+2x=−1B. ax2+bx+c=0C. x2=4x+1D. 1x2+x+1=0
2.将一元二次方程2x2+x=3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数和常数项分别是( )
A. −1，3B. 1，1C. 1，−3D. 1，3
3.抛物线y=−2(x+1)2−6的顶点坐标为( )
A. (−1,6)B. (1,−6)C. (1,6)D. (−1,−6)
4.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a−2b+c=0，则该方程必有一个根是( )
A. x=−2B. x=2C. x=−12D. x=12
5.关于x的一元二次方程kx2−4x+2=0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A. k>4B. k≤2C. k<4且k≠0D. k≤2且k≠0
6.在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x−2)2+1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为( )
A. y=(x+2)2−1B. y=(x+2)2+3C. y=x2−1D. y=x2+3
7.九(1)班毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为留念，全班共送了1560张照片，如果全班有x名学生，根据题意可列方程为( )
A. x(x−1)=1560B. x(x+1)=1560
C. 2x(x+1)=1560D. 2x(x−1)=1560
8.定义运算：m☆n=m2+mn−n.例如：3☆2=32+3×2−2=13.则方程x☆2022=1的根为( )
A. x1=1，x2=2023B. x1=−1，x2=−2023
C. x1=1，x2=−2023D. x1=−1，x2=2023
9.如果a是一元二次方程x2−3x+m=0的一个根，−a是一元二次方程x2+3x−m=0的一个根，那么a的值是( )
A. 1或2B. 0或−3C. −1或−2D. 0或3
10.如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y=x2的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线AC的长为( )
A. 2
B. 2 3
C. 2 5
D. 26
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.抛物线y=−x2+3的对称轴是______，顶点坐标是______．
12.若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程(x+3)2=2c，则c的值为______．
13.已知一菱形的两条对角线长分别是方程x2−9x+20=0的两根，则菱形的面积是______．
14.非零实数m，n(m≠n)满足m2−m−2=0，n2−n−2=0，则1m+1n= ．
15.某农户1月份购买了100只兔子进行养殖，经过两个月后，农户养殖的兔子数量增长至169只，若兔子的月平均增长率都相同，则开始养殖一个月后，农户养殖的兔子数量为______只.
16.二次函数y=2x2的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠AOB=30°，则点C的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题15分)
用适当的方法解下列方程：
(1)x2−6x−18=0；
(2)2y(y−2)=1；
(3)2(x−3)2=x2−9．
18.(本小题8分)
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，AE=CF．
求证：BE=DF．
19.(本小题9分)
先化简，再求值：(1−3x+3)÷x2−3xx2+6x+9，其中x是方程x2−2x−3=0的根．
20.(本小题10分)
已知y=(k+2)xk2+k−4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
(1)求k的值，并画出它的图象；
(2)如果点P(m,n)是此二次函数的图象上一点，若−2≤m≤1，求n的取值范围．
21.(本小题10分)
【阅读材料】
若x2+y2+8x−6y+25=0，求x，y的值．
解：(x2+8x+16)+(y2−6y+9)=0，(x+4)2+(y−3)2=0，
∴x+4=0，y−3=0，
∴x=−4，y=3．
【解决问题】
(1)已知m2+n2−12n+10m+61=0，求(m+n)2023的值；
【拓展应用】
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2=8b+4c−20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围．
22.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2−6x+2m−1=0有x1，x2两实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)是否存在实数m，满足(x1−1)(x2−1)=−6m−7？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
23.(本小题10分)
在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(CD边所在的墙长10米，DA边所在的墙足够长)，用28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB=x米．
(1)若围成花园的面积为160平方米，求x的值；
(2)能否围成花园的面积为300平方米？说明理由．
24.(本小题14分)
平面直角坐标系中，抛物线y=a(x−1)2+92与x轴交于A，B(4,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、是一元一次方程，不符合题意；
B、当a=1时，该方程不是关于x的一元二次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、该方程不是整式方程，不符合题意．
故选：C．
根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程解答即可．
本题考查了一元二次方程的判断，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2.【答案】C
【解析】解：∵一元二次方程2x2+x=3可得2x2+x−3=0，
∴一次项系数和常数项分别为1，−3；
故选：C．
先把一元二次方程化为一般式，然后问题可求解．
本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=2(x+1)2−6，
∴该抛物线的顶点坐标为(−1,−6)，
故选：D．
根据抛物线的顶点式，可以直接写出顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出顶点坐标．
4.【答案】A
【解析】解：由题意，一元二次方程ax2+bx+c=0满足4a−2b+c=0且a≠0，
∴当x=−2时，代入方程ax2+bx+c=0，有4a−2b+c=0；
综上可知，方程必有一根为−2．
故选：A．
由ax2+bx+c=0满足4a−2b+c=0且a≠0，可得：当x=−2时，有4a−2b+c=0.故问题可求．
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5.【答案】D
【解析】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴Δ=b2−4ac=(−4)2−4×2k≥0，
解得k≤2，
又∵k≠0，
∴k≤2且k≠0．
故选：D．
根据一元二次方程的定义得到k≠0，根据一元二次方程有两个实数根得到Δ=b2−4ac≥0，求出k的取值范围．
本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程的解的关系是解题的关键，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
6.【答案】C
【解析】解：将二次函数y=(x−2)2+1的图象向左平移2个单位长度，得到：y=(x−2+2)2+1=x2+1，
再向下平移2个单位长度得到：y=x2−2+1=x2−1．
故选：C．
直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
此题主要考查二次函数图象与几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵全班共有x名学生，
∴每人需送出(x−1)张照片．
根据题意得：x(x−1)=1560．
故选：A．
由全班人数，可得出每人需送出(x−1)张照片，结合全班共送了1560张照片，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：根据题中的新定义得：x2+2022x−2022=1，
∴x2+2022x−2023=0，
(x−1)(x+2023)=0，
∴x−1=0或x+2023=0，
∴x1=1，x2=−2023．
故选：C．
利用新定义得出方程，再求出方程的解即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，弄清题中的新定义是解本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意得a2−3a+m=0①，a2−3a−m=0②，
①+②得2a2−6a=0，解得a=0或a=3．
故选：D．
把x=a代入方程x2−3x+m=0得到a2−3a+m=0，把x=−a代入方程x2+3x−m=0得a2−3a−m=0，然后把两式相加得到关于a的方程，再解关于a的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10.【答案】C
【解析】解：设点B的坐标为(a,2a)，
∵点B在抛物线y=x2的第一象限的图象上，
∴2a=a2，
解得：a1=0(不合题意，舍去)，a2=2，
∴2a=4，
∴点B的坐标为(2,4)，
∴OB= 22+42=2 5，
∵四边形OABC是正方形，
∴AC=OB=2 5．
故选：C．
根据点B的纵坐标是横坐标的2倍，和点B在抛物线y=x2的第一象限的图象上，可以求得点B的坐标．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是求出点B的坐标．
11.【答案】直线x=0(或y轴)；(0,3)
【解析】解：抛物线y=−x2+3是顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
顶点坐标为(0,3)，
对称轴x=0，即为y轴．
故答案为：直线x=0(或y轴)，(0,3)．
因为y=−x2+3可看作抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标即对称轴．
此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h．
12.【答案】3
【解析】解：x2+6x+c=0，
x2+6x=−c，
x2+6x+9=−c+9，
(x+3)2=−c+9．
∵(x+3)2=2c，
∴2c=−c+9，解得c=3，
故答案为：3．
把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得(x+3)2=−c+9，可得2c=−c+9，解方程即可得c的值．
此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
13.【答案】10
【解析】解：解方程x2−9x+20=0得：x=4或5，
即菱形的两条对角线的长为4和5，
所以菱形的面积为12×4×5=10，
故答案为：10．
先求出方程的解，得出菱形的对角线长，根据菱形的面积公式求出即可．
本题考查了菱形的性质和解一元二次方程，能求出一元二次方程的解是解此题的关键，注意：菱形的面积=菱形的对角线积的一半．
14.【答案】−12
【解析】解：∵实数m，n(m≠n)满足等式m2−m−2=0，n2−n−2=0，
∴m，n是方程x2−x−2=0的两实数根，
∴m+n=1，mn=−2，
∴1m+1n=m+nmn=1−2=−12，
故答案为：−12．
根据已知判断出m，n是方程x2−x−2=0的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．
本题考查一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程x2−x−2=0的两实数根是解题的关键．
15.【答案】130
【解析】解：设兔子的月平均增长率为x，
由题意得：100(1+x)2=169，
解得：x1=30%，x2=−230%(不合题意，舍去)，
∴开始养殖一个月后，农户养殖的兔子数量为：100(1+30%)=130(只)，
故答案为：130．
设兔子的月平均增长率为x，由题意：某农户1月份购买了100只兔子进行养殖，经过两个月后，农户养殖的兔子数量增长至169只，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16.【答案】(− 32,32)
【解析】解：连接BC交OA于D，如图，
∵四边形OBAC为菱形，
∴BC⊥OA，
∵∠AOB=30°，
∴∠OBD=60°，
∴OD= 3BD，
设BD=t，
则OD= 3t，
∴B(t, 3t)，
把B(t, 3t)代入y=2x2得2t2= 3t，
解得t1=0(舍去)，t2= 32，
∴BD= 32，OD=32，
故C点坐标为：(− 32,32).
故答案为：(− 32,32).
连接BC交OA于D，如图，根据菱形的性质得BC⊥OA，∠OBD=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得OD= 3BD，设BD=t，则OD= 3t，B(t, 3t)，利用二次函数图象上点的坐标特征得2t2= 3t，得出BD= 32，OD=32，然后根据菱形的性质得出C点坐标．
本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出BD的长是解题的关键．
17.【答案】解：(1)x2−6x−18=0，
∵a=1，b=−6，c=−18，
∴Δ=(−6)2−4×1×(−18)=108>0，
则x=6±6 32=3±3 3，
∴x1=3+3 3，x2=3−3 3；
(2)2y(y−2)=1，
2y2−4y−1=0，
∵a=2，b=−4，c=−1，
∴Δ=(−4)2−4×2×(−1)=24>0，
则y=4±2 64=2± 62，
即y1=1+ 62，y2=1− 62；
(3)2(x−3)2=x2−9，
2(x−3)2−(x−3)(x+3)=0，
(x−3)(2x−6−x−3)=0，
∴x−3=0或x−9=0，
∴x1=3，x2=9．
【解析】(1)根据解一元二次方程的方法−公式法解方程即可；
(2)根据解一元二次方程的方法−公式法解方程即可；
(3)根据解一元二次方程的方法−因式分解法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB=OD，OA=OC，
∵AE=CF．
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE=DF．
【解析】根据平行四边形的性质可得OB=OD，OA=OC，再判断四边形BEDF是平行四边形，即可得结论．
此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和判定解答即可．
19.【答案】解：(1−3x+3)÷x2−3xx2+6x+9
=x+3−3x+3÷x2−3xx2+6x+9
=xx+3⋅(x+3)2x(x−3)
=x+3x−3．
由x2−2x−3=0得，x=−1或x=3，
∵当x=3或−3时，原分式无意义，
∴x只能为−1，
当x=−时，原式=−1+3−1−3=−12．
【解析】先对分式进行化简，然后求出一元二次方程的解，进而代值求解即可．
本题考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序及和解一元二次方程的方法．
20.【答案】解：(1)根据题意得k+2≠0且k2+k−4=2，解得k1=−3，k2=2，
∵二次函数当x<0时，y随x的增大而增大，
∴二次函数的图象的开口向下，即k+2<0，
∴k=−3，
函数图象如图所示；

(2)∵y=−x2，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点为原点，
∵当x=−2时，y=−4；x=1时，y=−1，
∴二次函数的图象上点P(m,n)，且−2≤m≤1，则n的取值范围为−4≤n≤0．
【解析】(1)根据二次函数的定义得到k+2≠0且k2+k−4=2，解得k1=−3，k2=2，由于当x<0时，y随x的增大而增大，根据二次函数的性质则有k+2<0，于是得到k=−3；
(2)求得当x=−2时，y=−4；x=1时，y=−1，然后根据二次函数的性质即可得到n的取值范围．
本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵m2+n2−12n+10m+61=0，
将61拆分为25和36，可得：
(m2+10m+25)+(n2−12n+36)=0，
根据完全平方公式得(m+5)2+(n−6)2=0，
∴m+5=0，n−6=0，
∴m=−5，n=6，
∴(m+n)2023=(−5+6)2023=1．
(2)∵b2+c2=8b+4c−20，
将61拆分为25和36，可得：
b2+c2−8b−4c+20=0，
根据完全平方公式得(b2−8b+16)+(c2−4c+4)=0，
(b−4)2+(c−2)2=0，
∴b−4=0，c−2=0，
∴b=4，c=2．
∵a是△ABC中最长的边，
∴4≤a<6，即a的取值范围为4≤a<6．
【解析】(1)将61拆分为25和36，再根据完全平方公式配方解答；
(2)先根据阅读材料求出b、c的值，再根据三角形三边关系解答．
本题考查了配方法的应用，根据完全平方公式进行配方是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−6x+2m−1=0有x1，x2两实数根，
∴Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)=40−8m≥0，
解得m≤5；
(2)存在．
理由如下：
由根与系数的关系得x1+x2=6，x1⋅x2=2m−1，
∵(x1−1)(x2−1)=−6m−7，
即x1x2−(x1+x2)+1=−6m−7，
即2m−1−6+1=−6m−7，
方程化为m2−10m+24=0，
解得m1=4，m2=6，
经检验m1=4，m2=6都是原方程的解，
∵m≤5，
∴m=4．
【解析】(1)利用根的判别式解不等式即可；
(2)先由根与系数的关系得x1+x2=6，x1⋅x2=2m−1，所以2m−1−6+1=−6m−7，接着解分式得到m1=4，m2=6，然后利用m的取值范围得到满足条件的m的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了根的判别式．
23.【答案】解：(1)∵AB=xm，则BC=(28−x)m，
∴x(28−x)=160，
解得：x1=20，x2=8，
∵CD边所在的墙长10米，AB=CD，
∴x的值为8m；
(2)x(28−x)=300，即x2−28x+300=0，
△=784−4×1×300=−416<0，
故此方程无解，花园面积不能为300m2．
【解析】(1)根据题意得出长×宽=160，进而得出答案；
(2)根据题意得出长×宽=300，得到方程无解即可．
本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
24.【答案】解：(1)将B(4,0)代入y=a(x−1)2+92，
即0=9a+92，
解得：a=−12，
∴y=−12(x−1)2+92，
令x=0，则y=−12+92=4，
令y=0，则−12(x−1)2+92=0，
解得：x1=4，x2=−2，A(−2,0)，C(0,4)；
(2)存在点P，使△BCP是直角三角形，
∵y=−12(x−1)2+92，对称轴为直线x=1，
设P(1,n)，
∵B(4,0)，C(0,4)，
∴BC2=42+42=32，BP2=(4−1)2+n2，PC2=12+(4−n)2，
①当∠BCP=90°时，BP2=BC2+PC2，
∴(4−1)2+n2=32+12+(4−n)2，
解得：n=5；
②当∠CBP=90°时，PC2=BC2+BP2，
∴12+(4−n)2=(4−1)2+n2+32
解得：n=−3；
③当∠BPC=90°时，BC2=BP2+PC2，32=(4−1)2+n2+12+(4−n)2
解得：n=2− 7或n=2+ 7，
综上所述：P(1,5)，(1,−3)，(1,2+ 7)，(1,2− 7)；
(3)存在点M使AM+OM最小，理由如下：
作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ，

由对称性可知，OM=QM，
∴AM+OM=AM+QM≥AQ，
当A、M、Q三点共线时，AM+OM有最小值，
∵B(4,0)，C(0,4)，
∴OB=OC，
∴∠CBO=45°，
由对称性可知∠QBM=45°，
∴BQ⊥BO，
∴Q(4,4)，
设直线AQ的解析式为y=kx+b，
∴−2k+b=04k+b=4，
解得：k=23b=43，
∴直线AQ的解析式y=23x+43，
设直线BC的解析式为y=mx+4，
∴4m+4=0，
∴m=−1，
∴直线BC的解析式为y=−x+4，
联立方程组y=−x+4y=23x+43，
解得：x=85y=125，
∴M(85,125).
【解析】(1)将B(4,0)代入y=a(x−1)2+92，待定系数法求解析式，进而分别令x，y=0，解方程即可求解；
(2)根据题意y=−12(x−1)2+92，对称轴为直线x=1，设P(1,n)，根据勾股定理BC2=42+42=32，BP2=(4−1)2+n2，PC2=12+(4−n)2，分①当∠BCP=90°时，②当∠CBP=90°时，③当∠BPC=90°时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解；
(3)存在点M使AM+OM最小，作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ，求得直线AQ的解析式y=23x+43，直线BC的解析式为y=−x+4，联立方程即可求解．
本题考查了二次函数综合运用，待定系数求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．