2023-2024学年湖南省衡阳八中教育集团八年级（上）第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省衡阳八中教育集团八年级（上）第二次月考数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.36的算术平方根为( )
A. ±6B. 6C. −6D. 18
2.下列运算中，结果正确的是( )
A. 2m2+m2=3m4B. m2⋅m4=m8C. m4÷m2=m2D. (m2)4=m6
3.(25x2y−10xy2)÷(−5xy)的结果是( )
A. −5x+2yB. 5x−2yC. −5x+2D. −5x−2
4.对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2.”能说明它是假命题的反例是( )
A. ∠1=∠2=45°B. ∠1=40°，∠2=50°
C. ∠1=50°，∠2=50°D. ∠1=40°，∠2=40°
5.如图，已知在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若BC=6，则BD的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
6.若(x−4)(x+6)=x2+mx−24，则m的值为( )
A. −10B. 2C. −2D. 10
7.如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是3和4，则正方形的边长是( )
A. 5
B. 3
C. 5
D. 3
8.已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n，满足|m−4|+(n−5)2=0，那么它的周长是( )
A. 14B. 13C. 13或14D. 14或15
9.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=25°，则∠ACF的度数为( )
A. 25°
B. 45°
C. 50°
D. 70°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.因式分解：xy2−x= ______．
11.若 x−1+(y+2)2=0，则(x+y)2022=______．
12.如图，△ABC中，∠B=90°，线段BD上的点D在边AC的垂直平分线上.已知∠C=36°.则∠BAD的度数为______．
13.已知一直角三角形的斜边为10，其中一直角边长为8.则这个直角三角形斜边上的高为______．
14.如图所示，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足分别为E，S△ABC=60cm2，AB=22cm，BC=18cm，则DE的长是______cm．
15.如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为15，小正方形面积为6，则(a+b)2的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：| 3−2|+327− 16+(−1)2023．
17.(本小题6分)
先化简，再求值：(3x+2y)(3x−2y)−5x(x−y)−(2x−y)2，其中x=−13，y=−2．
18.(本小题6分)
如图，点A，C，F，B在同一条直线上，AD/​/CE，AD=CE，∠D=∠E.求证：△AFD≌△CBE．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC=7cm，∠B=50°，AD⊥BC，于点D，点E在AC上，且AE=AD．
(1)若△ABC的周长是24cm，求线段BD的长；
(2)求∠CDE的度数．
20.(本小题8分)
已知：如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC于点D，且D为CE的中点．
(1)求证：BE=AC；
(2)若∠BEF=55°，求∠BAC的度数．
21.(本小题9分)
如图，四边形ABCD中，AD//BC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F．
(1)求证：△BCE≌△FDE；
(2)连结AE，若AE⊥BF．
①求证：BE是∠CBA的角平分线；
②若BC=2，AD=1时，求AB的长．
22.(本小题9分)
定义：任意两个数a、b，按规则c=(a+1)(b+1)运算得到一个新数c，称所得的新数c为a、b的“和积数”．
(1)若a=4，b=−2，求a、b的“和积数”c；
(2)若ab=12，a2+b2=8，求a、b的“和积数”c；
(3)已知a=x+1，且a、b的“和积数”c=x3+2x2−3x−6，求b.(用含x的式子表示)
23.(本小题10分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．
(1)如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；
(2)如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN/​/BC；
(3)如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．
24.(本小题10分)
如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求△ABP的周长．
(2)问t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？
(3)另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：36的算术平方根是： 36=6．
故选：B．
直接利用算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，即可得出答案．
本题考查算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：2m2+m2=3m2，则A不符合题意；
m2⋅m4=m6，则B不符合题意；
m4÷m2=m2，则C符合题意；
(m2)4=m8，则D不符合题意；
故选：C．
根据整式的运算法则将各项计算后进行判断即可．
本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
原式=−5x+2y，
故选：A．
根据多项式除以单项式的法则用多项式每一项去除以单项式即可得到答案．
本题考查多项式除以单项式，注意先化为单项式除单项式的形式，再进行计算．
4.【答案】A
【解析】解：A、∠1=∠2=45°满足∠1+∠2=90°，但不满足∠1≠∠2，满足题意；
B、∠1=40°，∠2=50°满足命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2.”，不符合题意；
C、∠1=50°，∠2=50°不满足命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2.”，不符合题意；
D、∠1=40°，∠2=40°不满足命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2.”，不符合题意；
故选：A．
能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项判断即可．
考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=12BC=3，
故选：B．
根据等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质，属于中考基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵(x−4)(x+6)=x2+2x−24=x2+mx−24，
∴m=2，
故选：B．
利用多项式乘以多项式法则计算(x−4)(x+6)=x2+2x−24，从而得出m=2．
此题考查了多项式乘以多项式，正确记忆运算法则是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵点A、C到直线L的距离分别是3和4，
∴∠ABM=∠BCN，∠AMB=∠BNC=90°，CN=4，AM=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
在△AMB与△BNC中，
∠ABM=∠BCN∠AMB=∠BNCAB=BC，
∴△AMB≌△BNC(AAS)，
∴BM=CN=4，
∴AB= 32+42=5，
故选：A．
根据点A、C到直线L的距离分别是3和4，得到∠ABM=∠BCN，∠AMB=∠BNC=90°，即可得到△AMB≌△BNC，从而得到BM=CN，结合勾股定理求解即可得到答案．
本题考查了正方形的性质、勾股定理及三角形全等的性质应用，是中考常见题型，比较简单．
8.【答案】C
【解析】解：∵|m−4|+(n−5)2=0，|m−4|≥0，(n−5)2≥0，
∴m−4=0，n−5=0，
解得m=4，n=5，
当4为腰时，三边为：4，4，5，满足三边关系，
周长是：4+4+5=13，
当4为腰时，三边为：4，5，5，满足三边关系，
周长是：4+5+5=14，
故选：C．
根据非负式子和为0求出m，n，结合等腰三角形两腰相等及三边关系即可得到答案．
本题考查完全平方的非负性，绝对值的非负性，三角形的三边关系及等腰三角形的性质，关键是根据非负数的性质求m、n的值，再根据m或n作为腰，分类求解．
9.【答案】B
【解析】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=25°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°−60°−25°×2=70°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF=CF，
∴∠FCB=25°，
∴∠ACF=70°−25°=45°，
故选：B．
根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=25°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=25°，然后可算出∠ACF的度数．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
10.【答案】x(y+1)(y−1)
【解析】解：原式=x(y2−1)=x(y+1)(y−1)，
故答案为：x(y+1)(y−1)
原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11.【答案】1
【解析】解：∵ x−1+(y+2)2=0， x−1≥0，(y+2)2≥0，
∴x−1=0，y+2=0，
∴x=1，y=−2．
∴原式=(−1)2022=1，
故答案为：1．
利用非负数的意义求得x，y的值，将x，y的值代入计算即可．
本题主要考查了非负数的应用，利用非负数的意义求得x，y的值是解题的关键．
12.【答案】18°
【解析】解：∵∠B=90°，∠C=36°，
∴∠BAC=90°−36°=54°，
∵点D在边AC的垂直平分线上，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=36°，
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=54°−36°=18°，
故答案为：18°．
根据直角三角形的性质求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质求出∠DAC，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13.【答案】4.8
【解析】解：由题意可得出，
另一直角边为： 102−82=6，
∴12×6×8=12×10×h，
解得：h=4.8，
故答案为：4.8．
根据勾股定求出另一直角边，再根据三角形面积求解即可得到答案．
本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
14.【答案】3
【解析】解：过D作DF⊥BC，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF=DE，
∵S△ABC=60cm2，AB=22cm，BC=18cm，
∴12×22×DE+12×18×DF=60，
∴DE=3，
故答案为：3．
过D作DF⊥BC，根据角平分线得到DF=DE，结合三角形面积即可得到答案．
本题考查角平分线的性质，关键是角平分线性质定理的应用．
15.【答案】24
【解析】解：设直角三角形的斜边为c，
则c2=a2+b2=15，
(a−b)2=a2+b2−2ab=6，
∴2ab=15−6=9，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=15+9=24，
故答案为：24．
根据图形和勾股定理可知c2=a2+b2=15，(a−b)2=6，再由完全平方公式即可得到结果．
本题考查勾股定理，完全平方公式，勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
16.【答案】解：| 3−2|+327− 16+(−1)2023
=2− 3+3−4+(−1)
=− 3．
【解析】由绝对值、立方根、算术平方根、乘方的运算法则进行化简，然后计算加减即可得到答案．
本题考查了绝对值、立方根、算术平方根、乘方的运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
17.【答案】解：原式=9x2−4y2−5x2+5xy−(4x2−4xy+y2)
=9x2−4y2−5x2+5xy−4x2+4xy−y2
=−5y2+9xy，
当x=−13，y=−2时，
原式=−5×(−2)2+9×(−13)×(−2)=−20+6=−14．
【解析】原式利用完全平方公式，单项式乘多项式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
此题主要考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】证明：∵AD/​/CE，
∴∠A=∠BCE，
在△AFD和△CBE中，
∠D=∠EAD=CE∠A=∠BCE，
∴△AFD≌△CBE(ASA)．
【解析】根据平行线的性质可得∠A=∠BCE，然后利用ASA证明△AFD≌△CBE，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵AB=AC=7cm，AD⊥BC，
∴BD=CD=12BC，
∵△ABC的周长是24cm，
∴BC=24−AB−AC=10cm，
∴BD=CD=5cm，
∴线段BD的长为5cm；

(2)∵AB=AC=7cm，∠B=50°，
∴∠C=∠B=50°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°−50°=40°，，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=180°−∠DAC2=70°，
∴∠CDE=∠ADC−∠ADE=20°，
∴∠CDE的度数为20°．
【解析】(1)根据等腰三角形底边上的三线合一结合周长即可得到答案；
(2)根据等腰三角形两底角相等及三线合乙得到∠DAC，∠C，结合AE=AD即可得到答案；
本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：连接AE，

∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵AD⊥BC，且D为CE的中点，
∴AD是CE的垂直平分线，
∴AE=AC，
∴BE=AC；
(2)解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∵∠BEF=55°，
∴∠B=90°−∠BEF=35°，
∵EB=EA，
∴∠B=∠BAE=35°，
∵∠AEC是△ABE的一个外角，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=70°，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠C=70°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=75°，
∴∠BAC的度数为75°．
【解析】(1)连接AE，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，再根据已知可得：AD是CE的垂直平分线，从而可得AE=AC，然后利用等量代换可得BE=AC，即可解答；
(2)根据垂直定义可得∠BFE=90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B=35°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B=∠BAE=35°，再利用三角形的外角性质可得∠AEC=70°，最后利用等腰三角形的性质可得∠AEC=∠C=70°，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵AD/​/BC，
∴∠EBC=∠F，
∵E为CD的中点，
∴CE=DE，
在△BCE和△FDE中，
∠EBC=∠F∠BEC=∠FEDCE=DE，
∴△BCE≌△FDE(AAS)．
(2)①证明：∵△BCE≌△FDE，
∴BE=FE，
∵AE⊥BF，
∴AE垂直平分BF，
∴AB=AF，
∴∠EBA=∠F，
∵∠EBC=∠F，
∴∠EBA=∠EBC，
∴BE是∠CBA的角平分线．
②解：∵△BCE≌△FDE，BC=2，AD=1，
∴BC=FD=2，
∴AB=AF=AD+FD=1+2=3，
∴AB的长是3．
【解析】(1)由AD//BC，得∠EBC=∠F，而∠BEC=∠FED，CE=DE，即可根据“AAS”证明△BCE≌△FDE；
(2)①由全等三角形的性质得BE=FE，则AE垂直平分BF，所以AB=AF，则∠EBA=∠F，所以∠EBA=∠EBC，则BE是∠CBA的角平分线；
②由全等三角形的性质得BC=FD=2，则AB=AF=AD+FD=3．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，推导出∠EBC=∠F，进而证明△BCE≌△FDE是解题的关键．
22.【答案】解：(1)c=(a+1)(b+1)
=(4+1)×(−2+1)
=5×(−1)
=−5，
∴若a=4，b=−2，a、b的“和积数”c为−5；
(2)∵ab=12，a2+b2=8，
∴(a+b)2
=a2+b2+2ab
=8+2×12
=8+1
=9，
∴a+b=±3，
∵c=(a+1)(b+1)
∴c=ab+a+b+1
当a+b=3时，c=12+3+1=412；
当a+b=−3时，c=12−3+1=−32，
∴a、b的“和积数”c为412或−32；
(3)∵c=x3+2x2−3x−6，
∴c=x2(x+2)−3(x+2)
=(x+2)(x2−3)，
∴c=(x+1+1)(b+1)=(x+2)(x2−3)，
(x+2)(b+1)=(x+2)(x2−3)，
∴b+1=x2−3，
b=x2−4．
【解析】(1)根据新定义，把a=4，b=−2代入c=(a+1)(b+1)进行计算即可；
(2)根据已知条件，利用完全平方公式，求出a+b，把c=(a+1)(b+1)去掉括号，再把ab和a+b的值整体代入计算即可；
(3)把c=x3+2x2−3x−6的右边利用提公因式法分解因式，再根据c=(a+1)(b+1)，把a=x+1代入，进行解答即可．
本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是理解新定义的含义，熟练掌握几种常见的分解因式的方法．
23.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBA=12∠ABC=30°，
∴∠A=∠DBA，
∴AD=BD，
∵DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴CE=12AB=BE，
∴△BCE是等边三角形；
(2)证明：∵△BCE与△MNB都是等边三角形，
∴BC=BE，BM=BN，∠EBC=∠MBN=60°，
∴∠CBM=∠EBN，
在△CBM和△EBN中，
BC=BE∠CBM=∠EBNBM=BN，
∴△CBM≌△EBN(SAS)，
∴∠BEN=∠BCM=60°，
∴∠BEN=∠EBC，
∴EN//BC；
(3)解：DQ=AD+DP；
证明：延长BD至F，使DF=PD，连接PF，如图所示：
∵∠PDF=∠BDC=∠A+∠DBA=30°+30°=60°，
∴△PDF为等边三角形，
∴PF=PD=DF，∠F=60°，
∵∠PDQ=90°−∠A=60°，
∴∠F=∠PDQ=60°，
∴∠BDQ=180°−∠BDC−∠PDQ=60°，
∴∠BPQ=∠BDQ=60°，
∴∠Q=∠PBF，
在△PDQ和△PFB中，
∠PQD=∠PBF∠PDQ=∠PFBPD=PF,
∴△PDQ≌△PFB(AAS)，
∴DQ=BF=BD+DF=BD+DP，
∵∠A=∠ABD，
∴AD=BD，
∴DQ=AD+DP．
【解析】(1)由直角三角形的性质得出∠ABC=60°，由角平分线的定义得出∠A=∠DBA，证出AD=BD，由线段垂直平分线的性质得出AE=BE，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=12AB=BE，即可得出结论；
(2)由等边三角形的性质得出BC=BE，BM=BN，∠EBC=∠MBN=60°，证出∠CBM=∠EBN，由SAS证明△CBM≌△EBN，得出∠BEN=∠BCM=60°，得出∠BEN=∠EBC，即可得出结论；
(3)延长BD至F，使DF=PD，连接PF，证出△PDF为等边三角形，得出PF=PD=DF，∠F=∠PDQ=60°，得到∠BPQ=∠BDQ=60°，证出∠Q=∠PBF，由AAS证明△PFB≌△PDQ，得出DQ=BF=BD+DF=BD+DP，证出AD=BD，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是(3)中，需要通过作辅助线证明等边三角形和三角形全等才能得出结论．
24.【答案】解：(1)∵∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4cm，动点P从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP=2cm，
∵∠C=90°，
∴PB= 22+32= 13cm，
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+ 13=7+ 13(cm)；
(2)∵AC=4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴P在AC上运动时△BCP为直角三角形，
∴0