河北省承德市2023年中考一模数学试卷(含答案)

这是一份河北省承德市2023年中考一模数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在同一平面内到直线的距离等于2的直线有( )
A. 1条B. 2条C. 4条D. 无数条
2. 若用科学记数法表示成a×10n的形式，则n的值为( )
A. 10B. -9C. -10D. -11
3. 如图，AC、BD表示两栋楼房，则下列说法正确的是( )
A. 两楼之间的距离是AD
B. 从点C看点D的仰角是∠ADC
C. 从点A看点D的仰角是∠DAB
D. 从点D看点A的俯角是∠ADB
4. 与(13-12)乘积得1的数是( )
A. -2-3B. C. -2×3D. -2+3
5. 把△ABC经过下列变形，与△ABC相似的是( )
A. 各边长都加2B. 各边长都减2C. 各边长都乘以2D. 各边长都平方
6. 如图，数轴上点A、B、C表示的数分别为-4，-2和3，点O为原点，则以OA、OC、BC为边长构造三角形，则构造的三角形为( )
A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
7. 如图，一个由7个小正方体组成的立体图形，拿走下列哪两个立体图形后，俯视图不会发生变化( )
A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④
8. 如图，丫丫用一张正方形纸片折出了“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线(即，步骤如下，其中的依据是( )
A. 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行
B. 平行于同一直线的两条直线互相平行
C. 两直线平行，同旁内角互补
D. 同位角相等，两直线平行
9. 某文具用品商店将原价a元的笔记本进行促销，下列促销方式描述正确的是( )
A. 按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
B. 按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折
C. 按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
D. 按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打一折
10. 随着国家教育数字化进程的不断推进，教育辅助工具越来越丰富，某学校利用九年级某班学生的期末考试成绩进行整理并绘制了如图所示的直方图.从左到右四组的百分比分别为4%、12%、40%、28%，第五组的频数是8，则下列说法不正确的是( )
A. 该班级有50人参加了期末考试B. 第五组所占的百分比为16%
C. 该班的平均分大约是79分D. 该组数据的众数是20
11. 依据所标数据，下列不一定是矩形的是( )
A. B.
C. D.
12. 如图，正六边形的两条对角线AE、BE把它分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，则该三部分的面积比为( )
A. 1：2：3
B. 2：2：4
C. 1：2：4
D. 2：3：5
13. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,-3)，点在反比例函数y=-6x上，且PB⊥y轴，垂足为B.若△ABP的面积为S，则下列判断正确的是( )
A. 当m=-1时，S=12
B. S与m成一次函数关系
C. 随着点P位置的变换，△POB与△ABP的面积也随之变化
D. S与m成反比例关系
14. 如图，4幅图中的∠C=45°，AC>AB，则下列叙述错误的是( )
A. 图丙中的基本作图是过直线外一点作已知直线的垂线
B. 在图甲、图乙、图丙中，∠PBC=45°
C. 图甲中所作的三段弧的半径是相同的
D. 图丁中∠APB=90°
15. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，则下列结论：①abc>0；②当x>1时，y随x的增大而增大；③方程ax2+bx+c=1有两个不相等的实数根；；其中正确的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
16. 如图，在菱形ABCD中，AC、相交于点O，E、F分别为OA和OC上的点(不与点A、O、C重合).其中AE=OF.过点E作GH⊥AC，分别交AD、AB于点G、H；过点F作IJ⊥AC分别交CD、CB于点J、I；连接GJ、HI，甲、乙、丙三个同学给出了三个结论：
甲：随着AE长度的变化，始终成立．
乙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ可能为正方形．
丙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ的面积始终不变，都是菱形ABCD面积的一半．
下列选项正确的是( )
A. 甲、乙、丙都对B. 甲、乙对，丙不对C. 甲、丙对，乙不对D. 甲不对，乙、丙对
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
17. 若，且b是2π+2的整数部分，则a的值是______ ．
18. 如图，等腰△ABC中，AB=AC，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△A'BE的A'B边交EC于点D，．
(1)则∠C= ______ ；
(2)若，则AE与A'E是否垂直？______ .(选填“是”或“否”)
19. 如图，矩形ABCD中，AB=8 cm，BC=12 cm，动点P从点A出发沿A-B-C-D-A运动，速度是2 cm/秒；点Q从点C出发沿运动，速度是4 cm/秒，设它们的运动时间为t秒．
(1)当t=1时，连接PQ，PQ= ______ cm；
(2)若P、Q两点第一次相遇时，t= ______ 秒；第n次相遇时，t= ______ 秒.
三、解答题（本大题共7小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分)
已知多项式为整数)
(1)试说明：多项式P能被5整除；
(2)若P对应的数在数轴上表示如图所示，求满足条件的所有整数x的和．
21. (本小题8.0分)
黑板上写着一个题目：在“□”内填入“+”“-”“×”“÷”四种运算符号．
(1)求运算结果为负数的概率；
(2)若老师随机抽取两个运算符号分别代入运算，求运算结果都为负数的概率．
22. (本小题9.0分)
发现：如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方，那么以这三个正整数为边长的三角形是直角三角形．
验证：如，请判断以12、13和5为边长的三角形是直角三角形；
探究：设两个连续的正整数m和m+1的和可以表示成正整数n2，请论证“发现”中的结论正确；
应用：寻找一组含正整数9，且满足“发现”中的结论的数字．
23. (本小题9.0分)
如图所示，已知直线l1：y=2x与直线l2：y=-x+b交于点A(m,n)，点A到y轴的距离为2，且在第一象限.直线l2与x轴交于点B，与y轴交于点C．
(1)求直线l2的解析式；
(2)过x轴上点(2,0)作平行于y轴的直线，分别与直线l1、l2交于点M、点N．
①求线段MN的长度；
②将△AOB沿着直线y=kx(k≠0)折叠，当点A落在直线MN上时，直接写出k的值．
24. (本小题9.0分)
如图，⊙O的半径为3 cm，直线MN与⊙O交于A、B两点，圆心O到直线MN的距离为点P从点A开始以5°/秒的速度在圆周上按逆时针方向运动，运动时间为t．
(1)求弦AB的长度；
(2)当t=3.4秒时，点P到直线MN的距离；
(3)若，连接MP，当MP是⊙O的切线时，求点P走过的弧长.(参考数据：，，
25. (本小题10.0分)
如图，是某位同学设计的动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上就会闪现不同的抛物线.抛物线的统一形式为，且顶点始终在直线y=kx上．
(1)若k=1，且抛物线顶点纵坐标为3，求a、b的值；
(2)试推断：k与b的数量关系；
(3)横、纵坐标都是整数的点称为整点，若抛物线的顶点恰好是整点时，抛物线就会改变颜色.那么，当k=6时，这组抛物线中有几条会改变颜色．
26. (本小题10.0分)
如图1，在四边形ABCD中，AB/​/CD，∠BAC=90°，将△ACD沿AC剪下来，以A为旋转中心逆时针旋转α(0°<α<180°)，旋转过程中，AD、AC与BC所在的直线的交点分别为E、F．
(1)求证：△ABC≌△CAD；
(2)当旋转角为45°时，如图2所示，求重叠部分的面积；
(3)在旋转过程中，若CE=1，如图3所示，求CF的长；
(4)在旋转过程中，若CE=x，请直接写出BF的长(用含x的式子表示)．
答案和解析
1.B
2.C
3.C
4.C
5.C
6.A
7.D
8.D
9.A
10.D
11.B
12.A
13.B
14.C
15.B
16.C
17.3
18.72.5° 是
19.10 103
20.解：

=5x-5
=5(x-1)，
∵x为整数，
∴多项式P能被5整除．
(2)由题意得，
，即-3≤x≤9，
满足条件的所有整数有，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．
∴满足条件的所有整数的和为．
21.解：，，，，共有4种情形，运算结果为负数的有2种，
∴运算结果为负数的概率为24=12
(2)列表如下，
根据(1)可知，只有×与÷时，结果为负数，
由表格可知有12种等可能结果，其中×与÷有2种，
∴运算结果都为负数的概率为212=16．
22.解：验证：52+122=169，132=169，
∴52+122=132，
∴以12、13和5为边长的三角形是直角三角形；
探究：
由“发现”得：，
，
，
∴以n、m、m+1为边长的三角形是直角三角形；
∴“发现”中的结论正确；
应用：
，
，412=1681，
∴92+402=412，
∴以9、40、41为边长的三角形是直角三角形．
23.解：(1)∵点A(m,n)，点A到y轴的距离为2，且点A在第一象限，
∴A(m,2)，
将A(m,2)代入l1：y=2x得：2m=2，
∴m=1，
∴点A的坐标为(1,2)，
将(1,2)代入l2：y=-x+b得：2=-1+b，
∴b=3，
∴直线的解析式为l2：y=-x+3．
(2)①∵过x轴上点(2,0)作平行于y轴的直线，分别与直线l1、l2交于点M、点N，
∴将x=2代入l1：y=2x得：y=4，
∴M(2,4)，
将x=2代入l2：y=-x+3得：y=1，
∴N(2,1)，
；
②设翻折后点A落在点F处，连接AF交折痕所在的直线于点P，连接OF，如图2所示．

由折叠的性质，可知：OA=OF，点P为AF的中点．
设点F的坐标为(2,t)，
∵A(1,2)，O(0,0)，，
，
解得：t=±1．
当t=1时，点F的坐标为(2,1)，点P的坐标为(32,32)，
∵点在直线y=kx上，
，
解得：k=1；
当t=-1时，点F的坐标为(2,-1)，点P的坐标为(32,12)，
∵点P(32,12)在直线y=kx上，
∴32k=12，解得：k=13．
综上可知：k的值为1或13．
24.解：(1)连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，则AC=BC=12AB，

依题意，在Rt△ACO中，OA=3，，
；
；
(2)过点P作PD⊥OC，垂足为D，在Rt△POD中，

当t=3.4秒时，∠AOP=3.4×5°=17°．
∵在Rt△ACO中，由OA=3，，
，
，
，
∴∠POC=∠AOC+∠AOP=43°+17°=60°．
，
．
即点P到直线MN的距离为0.7cm．
(3)连接MP，当MP是⊙O的切线时，连接OP，

∴OP⊥MN．
在Rt△OPM中，cs∠POM=OPOM=38，
∴∠POM=68°．
在Rt△OCM中，，
∴∠COM=74°．
∴点P走过的弧长．
25.解：(1)∵k=1，则y=x，
∴-b2a=3-b24a=3，
解得：，
；
(2)依题意，顶点始终在直线y=kx上，
，又a≠0，b≠0，
解得：b=2k，
(3)∵k=6，
∴b=12，顶点在y=6x上，
∵对称轴为直线是整数，
∴当a=±1，±2，±3，±6，
∴当k=6时，这组抛物线中有8条会改变颜色．
26.(1)证明：∵AB/​/CD，
∴∠BAC=∠ACD=90°，
在△ABC和△CAD中，
，
∴△ABC≌△CAD(SAS)；
(2)解：∵∠BAC=90°，AB=AC=2 2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
∵将△ACD绕点A逆时针旋转45°得到△AC'D，
∴重叠部分为△ACG，且，
∴∠AGC=90°，
，
∴重叠部分的面积为；
(3)解：如图，将△ABF绕点A顺时针旋转90°，得到△ACF'，连接EF'，

则，，AF'=AF，，
，
，
，
在△AEF'和△AEF中，
AF'=AF∠EAF'=∠EAFAE=AE，
∴△AEF'≌△AEF(SAS)，
∴EF'=EF，
在等腰直角三角形△ABC中，BC= 2AB= 2×2 2=4，
设，则，
在中，，
，
解得：a=53，
∴EF=53，
；
(4)解：当0°<α<45°时，如图，将△ABF绕点A顺时针旋转90°得到△ACF'，连接FF'，EF'，

设BF=y，则CF=4-y，
由旋转得：，AF'=AF，，，
，
是等腰直角三角形，
，
∴AE垂直平分线段FF'，
，
，
，
，
，
；
当时，如图，将△ABF绕点A顺时针旋转90°得到△ACF'，连接EF'，

设BF=y，则CF=4-y，，
由旋转得：，AF'=AF，，，
，
，
在△EAF'和△EAF中，
AF'=AF∠EAF'=∠EAFAE=AE，
∴△EAF'≌△EAF(SAS)，
，
，
，
；
当90°<α<135°时，如图，将△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ABE'，连接EE'，FE'，

设BF=y，则，
由旋转得：，AE'=AE，，，
，，
∴∠EAF=∠E'AF，
∴AF垂直平分EE'，
，
，
，
，
即，
；
当α=135°时，AC'//BC，
∴AC'所在的直线与直线BC没有交点；
当135°<α<180°时，如图，将△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ABE'，连接EE'，FE'，

，
，
，
，
，
∴△ABE∽△FCA，
，
，
，，AB=AC=2 2，
，
；
综上所述，BF的长为或或． +
-
×
÷
+
+-
-
-+
×
×-
÷