2020年湖北省咸宁市中考数学试卷

这是一份2020年湖北省咸宁市中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了精心选一选，细心填一填，专心解一解等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年．下列各式计算结果为负数的是（ ）
A．3+（﹣2）B．3﹣（﹣2）C．3×（﹣2）D．（﹣3）÷（﹣2）
2．（3分）中国互联网络信息中心数据显示，随着二胎政策全面开放，升学就业竞争压力的不断增大，满足用户碎片化学习需求的在线教育用户规模持续增长，预计2020年中国在线教育用户规模将达到305000000人．将305000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.305×1011B．3.05×108
C．3.05×106D．305×108
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a﹣a＝2B．a•a2＝a3
C．a6÷a2＝a3D．（3a2）2＝6a4
4．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的5次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是（ ）
A．乙的最好成绩比甲高
B．乙的成绩的平均数比甲小
C．乙的成绩的中位数比甲小
D．乙的成绩比甲稳定
6．（3分）如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．﹣B．π﹣C．﹣2D．π﹣2
7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是（ ）
A．y＝﹣xB．y＝x+2C．y＝D．y＝x2﹣2x
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cs∠ECF的值为（ ）
A．B．C．D．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
9．（3分）点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数是 ．
10．（3分）因式分解：mx2﹣2mx+m＝ ．
11．（3分）如图，请填写一个条件，使结论成立：∵ ，∴a∥b．
12．（3分）若关于x的一元二次方程（x+2）2＝n有实数根，则n的取值范围是 ．
13．（3分）某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是 ．
14．（3分）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是 nmile．（结果保留一位小数，≈1.73）
15．（3分）按一定规律排列的一列数：3，32，3﹣1，33，3﹣4，37，3﹣11，318，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是 ．
16．（3分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：
①△ABE∽△ECG；
②AE＝EF；
③∠DAF＝∠CFE；
④△CEF的面积的最大值为1．
其中正确结论的序号是 ．（把正确结论的序号都填上）
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）
17．（8分）（1）计算：|1﹣|﹣2sin45°+（﹣2020）0；
（2）解不等式组：
18．（7分）如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点E，在AD上截取AF＝BE．连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）请用无刻度的直尺在▱ABCD内找一点P，使∠APB＝90°．（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）
19．（8分）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的图象在第一、三象限分别交于A（6，1），B（a，﹣3）两点，连接OA，OB．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）△AOB的面积为 ；
（3）直接写出y1＞y2时x的取值范围．
20．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式．为了解同学们在线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制成如图不完整的统计图表．
在线阅读时间频数分布表
根据以上图表，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有 人，a＝ ，m＝ ；
（2）求扇形统计图中扇形D的圆心角的度数；
（3）若该校有950名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于50min？
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
22．（10分）5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？
23．（10分）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．
理解：
（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为 ；
证明：
（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．
求证：四边形ABCD是对余四边形；
探究：
（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C（，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO＝∠BAO时，求点P的坐标；
（3）点N（n，0）（0＜n＜）在x轴的正半轴上，点M（0，m）是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC＝90°．
①求m与n之间的函数关系式；
②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？
2020年湖北省咸宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1．（3分）早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年．下列各式计算结果为负数的是（ ）
A．3+（﹣2）B．3﹣（﹣2）C．3×（﹣2）D．（﹣3）÷（﹣2）
【分析】分别按照有理数的加减法、有理数的乘除法法则计算即可．
【解答】解：A.3+（﹣2）＝1，故A不符合题意；
B.3﹣（﹣2）＝3+2＝5，故B不符合题意；
C.3×（﹣2）＝﹣6，故C符合题意；
D．（﹣3）÷（﹣2）＝1.5，故D不符合题意．
综上，只有C计算结果为负．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．
2．（3分）中国互联网络信息中心数据显示，随着二胎政策全面开放，升学就业竞争压力的不断增大，满足用户碎片化学习需求的在线教育用户规模持续增长，预计2020年中国在线教育用户规模将达到305000000人．将305000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.305×1011B．3.05×108
C．3.05×106D．305×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：305000000＝3.05×108，
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a﹣a＝2B．a•a2＝a3
C．a6÷a2＝a3D．（3a2）2＝6a4
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、积的乘方与同底数幂的乘法法则计算各项，进而可得答案．
【解答】解：3a﹣a＝2a，因此选项A计算错误，不符合题意；
a•a2＝a3，因此选项B计算正确，符合题意；
a6÷a2＝a4，因此选项C计算错误，不符合题意；
（3a2）2＝9a4≠6a4，因此选项D计算错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法和乘法以及积的乘方等运算法则，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是关键．
4．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看有两层，底层是2个正方形，上层的左边是1个正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
5．（3分）如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的5次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是（ ）
A．乙的最好成绩比甲高
B．乙的成绩的平均数比甲小
C．乙的成绩的中位数比甲小
D．乙的成绩比甲稳定
【分析】利用折线统计图可得甲、乙两名射击运动员5次射击的成绩，把他们的最好成绩进行比较，即可判断A；利用平均数、中位数、方差的意义分别求出他们的平均数、中位数、方差，即可判断B、C、D．
【解答】解：由折线图可知，甲的5次射击成绩为6，7，10，8，9，乙的5次射击成绩为8，9，8，7，8，
∵10＞9，
∴甲的最好成绩比乙高，故选项A错误，不符合题意；
∵＝（6+7+10+8+9）＝8，＝（8+9+8+7+8）＝8，
∴乙的成绩的平均数与甲相等，故选项B错误，不符合题意；
∵甲的成绩按从小到大的顺序排列为：6，7，8，9，10，所以中位数为8，
乙的成绩按从小到大的顺序排列为：7，8，8，8，9，所以中位数为8，
∴乙的成绩的中位数与甲相等，故选项C错误，不符合题意；
∵＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，
＝[（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4，
2＞0.4，
观察折线统计图可知：
乙的成绩比甲稳定，故选项D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了折线统计图，平均数、中位数与方差．从折线图中得到必要的信息是解决问题的关键．
6．（3分）如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．﹣B．π﹣C．﹣2D．π﹣2
【分析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝﹣
＝π﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．
7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是（ ）
A．y＝﹣xB．y＝x+2C．y＝D．y＝x2﹣2x
【分析】根据横、纵坐标相等的点称为“好点”，即当x＝y时，函数解析式变为方程后，方程有解即可判断．
【解答】解：∵横、纵坐标相等的点称为“好点”，
∴当x＝y时，
A．x＝﹣x，解得x＝0；不符合题意；
B．x＝x+2，此方程无解，符合题意；
C．x2＝2，解得x＝±，不符合题意；
D．x＝x2﹣2x，解得x1＝0，x2＝3，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握每个函数的性质．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cs∠ECF的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由矩形的性质得出∠B＝90°，由勾股定理求出AE，由翻折变换的性质得出△AFE≌△ABE，得出∠AEF＝∠AEB，EF＝BE＝，因此EF＝CE，由等腰三角形的性质得出∠EFC＝∠ECF，由三角形的外角性质得出∠AEB＝∠ECF，cs∠ECF＝cs∠AEB＝，即可得出结果．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵E是BC的中点，BC＝2，
∴BE＝CE＝BC＝，
∴AE＝＝＝3，
由翻折变换的性质得：△AFE≌△ABE，
∴∠AEF＝∠AEB，EF＝BE＝，
∴EF＝CE，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，
∴∠AEB＝∠ECF，
∴cs∠ECF＝cs∠AEB＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角函数；熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证出∠AEB＝∠ECF是解决问题的关键．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
9．（3分）点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数是 ﹣3 ．
【分析】A在数轴上表示的数是3，根据相反数的含义和求法，判断出点A表示的数的相反数是多少即可．
【解答】解：∵点A在数轴上表示的数是3，
∴点A表示的数的相反数是﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，相反数的定义．解题的关键是熟练掌握在数轴上表示数的方法，以及相反数的含义和求法．
10．（3分）因式分解：mx2﹣2mx+m＝ m（x﹣1）2 ．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：mx2﹣2mx+m＝m（x2﹣2x+1）＝m（x﹣1）2，
【点评】本题考查提公因式法、公式法因式分解，确定多项式的公因式是提公因式的关键，掌握公式的结构特征是正确使用公式的前提．
11．（3分）如图，请填写一个条件，使结论成立：∵ ∠1＝∠4或∠2＝∠4或∠3+∠4＝180° ，∴a∥b．
【分析】要使得a∥b，判别两条直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；依此即可求解．
【解答】解：∵∠1＝∠4或∠2＝∠4或∠3+∠4＝180°，
∴a∥b．
故答案为：∠1＝∠4或∠2＝∠4或∠3+∠4＝180°．
【点评】考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
12．（3分）若关于x的一元二次方程（x+2）2＝n有实数根，则n的取值范围是 n≥0 ．
【分析】将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围（利用偶次方的非负性也可以找出n的取值范围）．
【解答】解：原方程可变形为x2+4x+4﹣n＝0．
∵该方程有实数根，
∴Δ＝42﹣4×1×（4﹣n）≥0，
解得：n≥0．
故答案为：n≥0．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
13．（3分）某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是 ．
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．
【解答】解：利用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果，其中小聪和小慧同时被选中的有1种，
∴P（小聪和小慧）＝，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果，是正确解答的关键．
14．（3分）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是 20.8 nmile．（结果保留一位小数，≈1.73）
【分析】过P作PD⊥AB于D，易证△ABP是等腰三角形，得到BP＝AB＝24nmile．然后在直角△PBD中，利用三角函数的定义求得PD的长即可．
【解答】解：过P作PD⊥AB于D．
∵∠PAB＝30°，∠PBD＝60°，
∴∠PAB＝∠APB＝30°，
∴BP＝AB＝24nmile．
在直角△PBD中，PD＝BP•sin∠PBD＝24×＝12≈20.8（nmile）．
即此时轮船与灯塔P的距离约为20.8nmile．
故答案为20.8．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，等腰三角形的判定与性质等知识，正确作出高线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键．
15．（3分）按一定规律排列的一列数：3，32，3﹣1，33，3﹣4，37，3﹣11，318，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是 a÷b＝c ．
【分析】首先判断出这列数中，3的指数各项依次为 1，2，﹣1，3，﹣4，7，﹣11，18…，从第三个数起，每个数的指数都是前两数指数之差；可得这列数中的连续三个数，满足a÷b＝c，据此解答即可．
【解答】解：∵3，32，3﹣1，33，3﹣4，37，3﹣11，318，…，
1﹣2＝﹣1，2﹣（﹣1）＝3，﹣1﹣3＝﹣4，3﹣（﹣4）＝7，﹣4﹣7＝﹣11，7﹣（﹣11）＝18，…，
∴a，b，c满足的关系式是a÷b＝c．
故答案为：a÷b＝c．
【点评】此题主要考查了规律型：数字的变化类，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出a、b、c的指数的特征．
16．（3分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：
①△ABE∽△ECG；
②AE＝EF；
③∠DAF＝∠CFE；
④△CEF的面积的最大值为1．
其中正确结论的序号是 ①②③ ．（把正确结论的序号都填上）
【分析】①由∠AEB+∠CEG＝∠AEB+∠BAE得∠BAE＝∠CEG，再结合两直角相等得△ABE∽△ECG；
②在BA上截取BM＝BE，易得△BEM为等腰直角三角形，则∠BME＝45°，所以∠AME＝135°，再利用等角的余角相等得到∠BAE＝∠FEC，于是根据“ASA”可判断△AME≌△ECF，则根据全等三角形的性质可对②进行判断；
③由∠MAE+∠DAF＝45°，∠CEF+∠CFE＝45°，可得出∠DAF与∠CFE的大小关系，便可对③判断；
④设BE＝x，则BM＝x，AM＝AB﹣BM＝2﹣x，利用三角形面积公式得到S△AME＝•x•（2﹣x），则根据二次函数的性质可得S△AME的最大值，便可对④进行判断．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠ECG＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEG＝∠AEB+∠BAE，
∴∠BAE＝∠CEG，
∴△ABE∽△ECG，
故①正确；
②在BA上截取BM＝BE，如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，BA＝BC，
∴△BEM为等腰直角三角形，
∴∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵BA﹣BM＝BC﹣BE，
∴AM＝CE，
∵CF为正方形外角平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
而∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△AME和△ECF中
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF，
故②正确；
③∵AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∵∠BAE+∠CFE＝∠CEF+∠CFE＝45°，
∴∠DAF＝∠CFE，
故③正确；
④设BE＝x，则BM＝x，AM＝AB﹣BM＝2﹣x，
S△ECF＝S△AME＝•x•（2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，
当x＝1时，S△ECF有最大值，
故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和二次函数的性质；能灵活运用全等三角形的知识解决线段线段的问题．构建△AME与△EFC全等是关键．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）
17．（8分）（1）计算：|1﹣|﹣2sin45°+（﹣2020）0；
（2）解不等式组：
【分析】（1）先去绝对值符号、代入三角函数值、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣2×+1
＝﹣1﹣+1
＝0；
（2）解不等式﹣（x﹣1）＞3，得：x＜﹣2，
解不等式2x+9＞3，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x＜﹣2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组和实数的运算，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（7分）如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点E，在AD上截取AF＝BE．连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）请用无刻度的直尺在▱ABCD内找一点P，使∠APB＝90°．（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）
【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定，菱形的判定即可证明；
（2）连接AE，BF，根据菱形的性质可得AE和BF的交点即为点P．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BE，
∵AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵BA＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）如图所示：点P即为所求：
【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识，解题的关键是作出图形，属于中考常考题型．
19．（8分）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的图象在第一、三象限分别交于A（6，1），B（a，﹣3）两点，连接OA，OB．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）△AOB的面积为 8 ；
（3）直接写出y1＞y2时x的取值范围．
【分析】（1）首先把A（6，1）代入反比例函数解析式中确定m，然后把B（a，﹣3）代入反比例函数的解析式确定a，然后根据A，B两点坐标利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）求得一次函数与x轴的交点，根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC即可求解；
（3）根据图象，写出直线y1＝kx+b落在双曲线y2＝上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）把A（6，1）代入y2＝中，
解得：m＝6，
故反比例函数的解析式为y2＝；
把B（a，﹣3）代入y2＝，解得a＝﹣2，
故B（﹣2，﹣3），
把A（6，1），B（﹣2，﹣3）代入y1＝kx+b，
得，解得：，
故一次函数解析式为y1＝x﹣2；
（2）如图，设一次函数y1＝x﹣2与x轴交于点C，
令y＝0，得x＝4．
∴点C的坐标是（4，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×4×1+×4×3＝8．
故答案为8；
（3）由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞6时，直线y1＝kx+b落在双曲线y2＝上方，即y1＞y2，
所以y1＞y2时x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞6．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，三角形的面积，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．利用了数形结合思想．
20．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式．为了解同学们在线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制成如图不完整的统计图表．
在线阅读时间频数分布表
根据以上图表，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有 50 人，a＝ 20 ，m＝ 8 ；
（2）求扇形统计图中扇形D的圆心角的度数；
（3）若该校有950名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于50min？
【分析】（1）根据B组的频数和所占的百分比，可以求得这次被调查的同学总数，用被调查的同学总数乘以C组所占百分比得到a的值，用A组人数除以被调查的同学总数，即可得到m；
（2）用360°乘以D组所占百分比得到D组圆心角的度数；
（3）利用样本估计总体，用该校学生数乘以样本中平均每天的在线阅读时间不少于50min的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）这次被调查的同学共有8÷16%＝50（人），a＝50×40%＝20，
∵m%＝＝8%，
∴m＝8．
故答案为：50，20，8；
（2）扇形统计图中扇形D的圆心角的度数为：360°×＝115.2°；
（3）950×＝722（名），
答：估计全校有722名学生平均每天的在线阅读时间不少于50min．
【点评】本题考查了频数分布表，扇形统计图，读懂统计图表，从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键．也考查了利用样本估计总体．
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
【分析】（1）连接OD，由切线性质得∠ODF＝90°，进而证明∠BDF+∠A＝∠A+∠B＝90°，得∠B＝∠BDF，便可得BF＝DF；
（2）设半径为r，连接OD，OF，则OC＝4﹣r，求得DF，再由勾股定理，利用OF为中间变量列出r的方程便可求得结果．
【解答】解：（1）连接OD，如图1，
∵过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F，
∴∠ODF＝90°，
∴∠ADO+∠BDF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD+∠BDF＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠OAD+∠B＝90°，
∴∠B＝∠BDF，
∴BF＝DF；
（2）连接OF，OD，如图2，
设圆的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵AC＝4，BC＝3，CF＝1，
∴OC＝4﹣r，DF＝BF＝3﹣1＝2，
∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2，
∴r2+22＝（4﹣r）2+12，
∴．
故圆的半径为．
【点评】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，已知切线，往往连接半径为辅助线，第（2）题关键是由勾股定理列出方程．
22．（10分）5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？
【分析】（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是x元，（x﹣150）元，根据题意列出分式方程即可；
（2）根据配套问题，设购买水银体温计y盒能和口罩刚好配套，根据口罩的数量等于水银体温计数量的2倍列出方程即可用含m的代数式表示；
（3）根据题意列出不等式：200m+50×5m≤1800，可得m≤4时，w＝450m；当m＞4时，w＝1800+（450m﹣1800）×0.8＝360m+360，进而可得w关于m的函数关系式．
【解答】解：（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是x元，（x﹣150）元，根据题意，得
＝，
解得x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，
∴x﹣150＝50，
答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；
（2）设购买水银体温计y盒能和口罩刚好配套，根据题意，得
100m＝2×10y，
则y＝5m，
答：购买水银体温计5m盒能和口罩刚好配套；
（3）若200m+50×5m≤1800，
∴450m≤1800，
∴m≤4，
即m≤4时，w＝450m；
若m＞4，
则w＝1800+（450m﹣1800）×0.8＝360m+360，
综上所述：w＝．
若该校九年级有900名学生，
需要购买口罩：900×2＝1800（支），
水银体温计：900×1＝900（支），
此时m＝1800÷100＝18（盒），y＝5×18＝90（盒），
则w＝360×18+360＝6840（元）．
答：购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元．
【点评】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用；能够根据题意列出准确的分式方程，求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键．
23．（10分）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．
理解：
（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为 90°或270° ；
证明：
（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．
求证：四边形ABCD是对余四边形；
探究：
（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
【分析】（1）对余四边形的定义即可得出结果；
（2）由圆周角定理得出∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，即可得出结论；
（3）对余四边形的定义得出∠ADC＝30°，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，则△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°，得出BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，则△BFD是等边三角形，得出BF＝BD＝DF，易证∠BFA+∠ADB＝30°，由∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，得出∠AFD+∠ADF＝90°，则∠FAD＝90°，由勾股定理即可得出结果．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是对余四边形，
∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°，
故答案为：90°或270°；
（2）证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，
∴∠BAM+∠BCN＝90°，
即∠BAD+∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形；
（3）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下：
∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝30°，
∵AB＝BC，
∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示：
∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°
∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，
∴△BFD是等边三角形，
∴BF＝BD＝DF，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADB+∠BDC＝30°，
∴∠BFA+∠ADB＝30°，
∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴∠AFD+∠ADF＝90°，
∴∠FAD＝90°，
∴AD2+AF2＝DF2，
∴AD2+CD2＝BD2．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了对余四边形的定义、圆周角定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；熟练掌握对余四边形的定义和旋转的性质是解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C（，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO＝∠BAO时，求点P的坐标；
（3）点N（n，0）（0＜n＜）在x轴的正半轴上，点M（0，m）是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC＝90°．
①求m与n之间的函数关系式；
②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）如图1，作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′交抛物线于点P（P′），则∠PAO＝∠BAO，即可求解，另外当点P与B，C重合时也满足条件．
（3）①证明tan∠MNO＝tan∠NCH，即，即，即可求解；②m＝﹣n2+n，当n＝时，m的最大值为，即可求解．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，2），
将点B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2①；
（2）如图1，作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′交抛物线于点P（P′），则∠PAO＝∠BAO，
设直线AB'的解析式为y＝kx+m，
∴，
∴，
直线AB′的表达式为：y＝x﹣2②，
联立①②并解得：x＝3或﹣2，
故点P的坐标为（3，﹣）或（﹣2，﹣3），
当点P与B，C重合时，也满足条件，此时P（0，2）或（，），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（3，﹣）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（，）．
（3）①过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠MNC＝90°，
∴∠MNO+∠CNH＝90°，
又∵∠CNH+∠NCH＝90°，
∴∠MNO＝∠NCH，
∴tan∠MNO＝tan∠NCH，即，即，
解得：m＝﹣n2+n；
②m＝﹣n2+n，
∵＜0，故m有最大值，当n＝时，m的最大值为，
而m＞0，
故0＜m＜时，符合条件的N点的个数有2个．
备注：设MC中点为K，当以K为圆心MC为半径的圆与x轴相切时，有K的纵坐标为（m+），
则MC2＝（m﹣）2+（）2，当MC＞（m+）时满足N有两个点，
解得：m＜．
又因为m＞0，
所以0＜m＜．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形等，综合性强，难度适中．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/9 10:59:55；用户：初中数学；邮箱：cyzxjy02@xyh.cm；学号：30082752组别
在线阅读时间t
人数
A
10≤t＜30
4
B
30≤t＜50
8
C
50≤t＜70
a
D
70≤t＜90
16
E
90≤t＜110
2
组别
在线阅读时间t
人数
A
10≤t＜30
4
B
30≤t＜50
8
C
50≤t＜70
a
D
70≤t＜90
16
E
90≤t＜110
2