2021北京北大附高一下学期期中数学试卷

这是一份2021北京北大附高一下学期期中数学试卷，共5页。

I卷(共87分)
一、选择题，共6小题，每小题3分，共18分．在每小题的四个选项中，选出符合条件的一项．
1.若且，则是( )
A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角
2.设,则下列函数值一定是正值的是( )
A. B. C. .D.
3.巳知,则=( )
A.B.C. D.
4.要得到函数的图象，只需把函数的图象( )
A.向左平移个单位B.向右移个单位
C.向左平移个单位D.向右平移个单位
5.已知，其中在一个周期内的图象如右图所示.则( )
A B.
C.D.
6.在△ABC中，若,则△ABC为( )
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
二、填交题，共6小题，每小题3分，共18分.
7.若角与角的终边关于x轴对称，则与角同终边的所有角构成集合 .
8.已知扇形的圆心角为120°，扇形的面积为,则该扇形所在圆的半径为 .
9.sin35°cs25°+cs35°cs65°= .
10.已知点P(2，3)在的终边上，则= .= .
11.在△ABC中，∠A=45°,M是AB的中点.若.D在线段AC上运动，则的最小值为 .
12.如图，矩形公园OABC中，0A=2km，0C=1km，公园的左下角阴影部分为以0为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF(点E,F分别在边0A与BC上)，D为切点，令∠DOE=θ，则道路EF的长度y与θ的函数关系为 .
三、解答题，共4小题，共51分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
13.(17分)已知三角形ABC，A(3，4)，B（0，0），C(16，0)
(1)写出一个与垂直的非零向量 ；(坐标形式)
(2)求；
(3)求向量在向量上投影的数量；
(4)若，求k的值；
(5)求.
14.(16分)已知角终边落在直线上.且
(1)= ；；
(2)求的值；
(3)若，，求的值.
15.(11分)已知函数.
(1)函数的单调递增区间为 .
(2)求函数的的单调递增区间；
(3)求函数的对称轴方程；
(4)求解不等式.
16.(7分)已知函数. 从①；②.这两个条件中选择一个作为已知条件，完成问题(1)至(3).
注：如果选择两个条件分别作答，按第一个解答给分.
我选择的是 (填写选择的条件序号①或②)
(1)则= .
(2)的最小正周期为 .
(3)求x∈时，函数的最大值和最小值.
II卷(共13分)
一、选择题共2小题，每小题2分，共4分.在每小题的四个选项中，选出符合条件的一项.
17.下列说法错误的是( )
A.，使
B.，成立
C.，使
D.，成立
18.已知函数,当x=时，f(x)取得最大值，则的值为（ ）
A. B. -1C. 1D.
二、填空题共2小题，每小题2分，共4分.
19.菱形ABCD中,A=60°,E为BC中点，记, ,若,则= .
20.若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 .
三、解答题(5分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程).
21.雨过天晴时，我们常能见到天空的彩红，这种现象是阳光经空气中的水滴反射与折射综合产生的自然现象.为研究方便将水滴近似视为一个球体.且各光线在球的同一截面大圆内.
I.如图1，入射光线经折射进入该球体内部，折射光线经一次内部反射形成反射光线，再折射出球体外得到折射光线.当 ∥时，则称为光线为虹；
II.如图2，入射光线经折射进入该球体内部，折射光线经两次内部反射形成反射光线，.再折射出球体外得到折射光线,当 ∥时则称为光线为霓.
图1图2图3
可参考的物理光学反射与折射的知识，有如下定义与规律:
III.光被镜面反射时，过入射点与镜面垂直的直线称为法线，入射光线与反射光线与法线的夹角分别称为入射角与反射角，则入射角等于反射角；
IV.从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角折射光线与法线的夹角的正弦之比叫做介质2相对介质1的折射角，即.
设球半径r=1.球为某种透光性较高的介质.空气相对该介质的折射率为.圆弧对光线入射或折射时，其反射镜面为过入射（或反射）点的圆切线，法线为过该点的半径所在直线.
(1)图3中，入射光线经入射点P进入球内得到折射光线,过P的圆切线为,过点P的半径所在直线为法线，设入射角,若球介质的折射率,求折射角大小；
(2)图1中，设初始入射光线的入射角为，球介质的折射率=1.5.折射光线为虹，求；
(3)图2中，设初始入射光线的入射角为，球介质的折射率=46折射光线为霓，求.
注意事项
1.考试时间90分钟，满分:100分.
2.所有试题答案都写在答题纸的规定位置，超出范围无效.
3.使用黑色字迹的签字笔或钢笔答题，不得使用铅笔答题，不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改。
4.只呈交答题纸，试卷自己留存.