2021北京六十六中高一下学期期中数学试卷及答案

这是一份2021北京六十六中高一下学期期中数学试卷及答案，共13页。试卷主要包含了选择题.，填空题（每小题5分，共30分，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题）.
1．下列各角中，与33°终边相同的角是（ ）
A．57°B．147°C．303°D．393°
2．若sinα＞0，且csα＜0，则角α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
3．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tanα的值为（ ）
A．B．C．﹣2D．
4．＝（ ）
A．﹣sinαB．﹣csαC．sinαD．csα
5．已知向量的＝（1，0），＝（0，1），那么|+2|＝（ ）
A．B．2C．D．
6．函数f（x）＝csx是（ ）
A．奇函数，且在区间上单调递增
B．奇函数，且在区间上单调递减
C．偶函数，且在区间上单调递增
D．偶函数，且在区间上单调递减
7．函数y＝（sinx﹣csx）2的最小正周期为（ ）
A．2πB．C．πD．
8．设向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，则|+|等于（ ）
A．B．13C．D．19
9．已知函数f（x）＝sinx+csx，则f（）＝（ ）
A．B．C．1D．
10．如果函数y＝cs（x+φ）的一个零点是，那么φ可以是（ ）
A．B．C．D．
11．为得到函数的图象，只需将函数y＝sinx的图象（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
12．已知，为单位向量，且•＝m，则|+t|（t∈R）的最小值为（ ）
A．B．1C．|m|D．
二、填空题（每小题5分，共30分
13．sin的值为 ．
14．i是虚数单位，若复数z满足z（2﹣i）＝7﹣i，则z等于 ．
15．若向量＝（﹣1，2）与向量＝（x，4）垂直，则实数x＝ ．
16．若θ∈[0，2π），且csθ＝﹣，则θ的值为 ．
17．如图，正方形ABCD的边长为2，P是线段DC上的动点（含端点），则的取值范围是 ．
18．设函数，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 ．
三、解答题（满分72分）
19．已知α∈（，π），且sinα＝．
（Ⅰ）求tan（α﹣）的值；
（Ⅱ）求的值．
20．已知函数f（x）＝2sin（2x﹣）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程；
（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值与最小值．
21．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及其单调递减区间；
（Ⅱ）求f（x）的解析式；
（Ⅲ）若要得到f（x）的图象，只需要函数y＝sinx的图象经过怎样的图象变换？
22．已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）作出f（x）在一个周期内的图象．
23．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O交于点P．
（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；
（Ⅱ）当•＝﹣时，求α的值；
（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||＝||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
2021北京六十六中高一（下）期中数学
参考答案
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．下列各角中，与33°终边相同的角是（ ）
A．57°B．147°C．303°D．393°
解：与33°边相同的角的集合为{α|α＝33°+k•360°}（k∈Z）．
取k＝1，得α＝393°．
故选：D．
2．若sinα＞0，且csα＜0，则角α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
解：由sinα＞0，可得α为第一、第二及y轴正半轴上的角；
由csα＜0，可得α为第二、第三及x轴负半轴上的角．
∴取交集可得，α是第二象限角．
故选：B．
3．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tanα的值为（ ）
A．B．C．﹣2D．
解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），
∴tanα＝﹣2．
故选：C．
4．＝（ ）
A．﹣sinαB．﹣csαC．sinαD．csα
解：＝﹣sinα．
故选：A．
5．已知向量的＝（1，0），＝（0，1），那么|+2|＝（ ）
A．B．2C．D．
解：∵，
∴．
故选：C．
6．函数f（x）＝csx是（ ）
A．奇函数，且在区间上单调递增
B．奇函数，且在区间上单调递减
C．偶函数，且在区间上单调递增
D．偶函数，且在区间上单调递减
解：∵f（﹣x）＝cs（﹣x）＝csx＝f（x），定义域为R，∴函数为偶函数；
由余弦函数图象可知函数f（x）在（0，）上单调递减．
故选：D．
7．函数y＝（sinx﹣csx）2的最小正周期为（ ）
A．2πB．C．πD．
解：化简可得y＝（sinx﹣csx）2＝1﹣sin2x，
∴由周期公式可得T＝＝π，
故选：C．
8．设向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，则|+|等于（ ）
A．B．13C．D．19
解：∵向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，
∴＝||•||cs60°＝2×3×＝3，
∴|+|2＝||2+||2+2＝4+9+2×3＝19，
∴|+|＝，
故选：C．
9．已知函数f（x）＝sinx+csx，则f（）＝（ ）
A．B．C．1D．
解：∵f（x）＝sinx+csx＝sin（x+），
∴f（）＝sin（+）＝sin＝，
故选：A．
10．如果函数y＝cs（x+φ）的一个零点是，那么φ可以是（ ）
A．B．C．D．
解：若y＝cs（x+φ）的一个零点是，
则cs（+φ）＝0，
即+φ＝kπ+，k∈Z
即φ＝kπ+，
当k＝0时，φ＝，
故选：A．
11．为得到函数的图象，只需将函数y＝sinx的图象（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
解：y＝sinx＝cs（x﹣），，
故只需将函数y＝sinx的图象向左平移个长度单位．
故选：C．
12．已知，为单位向量，且•＝m，则|+t|（t∈R）的最小值为（ ）
A．B．1C．|m|D．
解：，为单位向量，且•＝m，
则|+t|2＝+t2+2t
＝1+t2+2tm＝（t+m）2+1﹣m2，
当t＝﹣m时，|+t|2取得最小值1﹣m2，
则|+t|（t∈R）的最小值为．
故选：D．
二、填空题（每小题5分，共30分
13．sin的值为 ﹣ ．
解：sin＝sin（2π﹣）＝﹣sin＝﹣．
故答案为：﹣
14．i是虚数单位，若复数z满足z（2﹣i）＝7﹣i，则z等于 3+i ．
解：由z（2﹣i）＝7﹣i，
得z＝＝．
故答案为：3+i．
15．若向量＝（﹣1，2）与向量＝（x，4）垂直，则实数x＝ 8 ．
解：∵向量＝（﹣1，2）与向量＝（x，4）垂直，∴﹣x+8＝0，求得x＝8，
故答案为：8．
16．若θ∈[0，2π），且csθ＝﹣，则θ的值为 或 ．
解：在[0，2π）内，的θ值有2个，分别为π±，
即θ＝或．
故答案为：或．
17．如图，正方形ABCD的边长为2，P是线段DC上的动点（含端点），则的取值范围是 [0，4] ．
解：建立平面直角坐标系A﹣xy，正方形ABCD的边长为2，P是线段DC上的动点（含端点），
则A（0，0），B（2，0），C（2，2），P（x，2），（0≤x≤2）
所以＝（x﹣2，2），＝（2，2），
所以＝2（x﹣2）+4＝2x，所以2x∈[0，4]．
故答案为：[0，4]．
18．设函数，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 2 ．
解：若对任意的实数x都成立，
可得f（x）的最小值为f（﹣），
可得﹣ω+＝2kπ﹣，k∈Z，
即有ω＝2﹣6k，k∈Z，
由ω＞0，
可得ω的最小值为2，此时k＝0．
故答案为：2．
三、解答题（满分72分）
19．已知α∈（，π），且sinα＝．
（Ⅰ）求tan（α﹣）的值；
（Ⅱ）求的值．
解：（Ⅰ）∵α∈（，π），且sinα＝．
∴csα＝﹣＝﹣，tanα＝＝﹣，
∴tan（α﹣）＝＝＝﹣7．
（Ⅱ）＝＝＝﹣．
20．已知函数f（x）＝2sin（2x﹣）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程；
（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值与最小值．
解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin（2x﹣），
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，
由2x﹣＝2kπ+可得x＝kπ+，k∈Z，
∴f（x）的对称轴方程为x＝kπ+，k∈Z；
（Ⅱ）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤，
∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，
∴当2x﹣＝﹣即x＝0时，f（x）的最小值为﹣1，
当2x﹣＝即x＝时，f（x）的最大值为2．
21．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及其单调递减区间；
（Ⅱ）求f（x）的解析式；
（Ⅲ）若要得到f（x）的图象，只需要函数y＝sinx的图象经过怎样的图象变换？
解：（Ⅰ）根据函数的图象：，解得T＝π，
故ω＝2，
由于f（）＝sin（φ）＝0，
由于|φ|＜，故φ＝﹣．
所以f（x）＝sin（2x﹣）．
所以函数的最小正周期为π；
令（k∈Z），
整理得（k∈Z），
故函数的单调递减区间为：[]（k∈Z），
（Ⅱ）由函数的图象，得到f（x）＝sin（2x﹣）．
（Ⅲ）要得到函数f（x）的图象，只需将函数y＝sinx的图象向右平移个单位，再将函数图象的横标压缩为原来的即可．
22．已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）作出f（x）在一个周期内的图象．
解：（Ⅰ）由已知…
＝．…
（Ⅱ）∵…
＝＝．…
∵函数y＝sinx的单调递增区间为，…
由 ，得．
所以f（x）的单调递增区间为．…
（Ⅲ）列表：
作出f（x）在一个周期上的图象如图所示．…
23．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O交于点P．
（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；
（Ⅱ）当•＝﹣时，求α的值；
（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||＝||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
解：锐角α的终边与单位圆O交于点P．
（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标为（csα，sinα）；
（Ⅱ），，•＝﹣时，
即（cs）（cs）+sin2α＝，整理得到cs，所以锐角α＝60°；
（Ⅲ）在x轴上假设存在定点M，设M（x，0），，
则由||＝||恒成立，得到＝，整理得2csα（2+x）＝x2﹣4，
所以存在x＝﹣2时等式恒成立，所以存在M（﹣2，0）． x





x﹣
0

π

2π
2sin（x﹣）
0
2
0
﹣2
0