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    2021北师大附属实验中学高一下学期期中数学试卷及答案

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    2021北师大附属实验中学高一下学期期中数学试卷及答案

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    这是一份2021北师大附属实验中学高一下学期期中数学试卷及答案,共14页。试卷主要包含了选择题,填空题等内容,欢迎下载使用。
    一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共40分.每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填在答题卡上)
    1. 下列说法正确的是( )(均指在平面直角坐标系中,角的始边在 轴正半轴上)
    A. 第一象限角一定是锐角B. 终边相同的角一定相等;
    C. 小于90°的角一定是锐角D. 钝角的终边在第二象限
    2. 时间经过4小时,分针转的弧度数为( )
    A. B. C. D.
    3. 如果且,则 所在的象限是( )
    A. 第一象限角B. 第二象限
    C. 第三象限角D. 第四象限
    4. 已知角的终边在直线上,则的值为( )
    A. B. C. D.
    5. 已知, 则的值为( )
    A. B. 18C. D.
    6. 化简的结果为( )
    A. B. C. D.
    7. 函数 的一个单调递增区间为( )
    A. B. C. D.
    8. 已知△ABC的内角A满足,则A等于( )
    A. B. C. 或D. 或
    9. 在函数①,② ,③,④中,最小正周期为 的所有函数为( )
    A. ②④B. ①③④C. ①②③D. ②③④
    10. 设函数,下列命题中真命题的个数为( )
    ①是奇函数;
    ②当时,;
    ③是周期函数;
    ④存在无数个零点;
    ⑤,,使得且
    A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
    二、填空题(本大题6小题,每小题5分,共30分,将正确答案填在答题纸上)
    11. 已知 则的最大值是____________.
    12. 函数的最小正周期是_________.
    13. 函数的最大值为_____________,此时_________.
    14. 已知点,向量绕原点逆时针旋转后等于,求点的坐标为_____.
    15. 函数的图象可由函数的图象至少向右平移_____个单位长度得到.
    16. 已知正方形的边长为1,点是边上的动点,则的最大值是________;最小值是________.
    三.解答题(本大题共3小题,共30分,写出必要的解答过程,将答案写在答题纸上)
    17. 如图,已知函数 的图象(部分).
    (1)分别求出函数的最小正周期和 的值;
    (2)直接写出函数值域;
    (3)直接写出函数的一个对称中心坐标和一条对称轴方程.
    18. 已知向量,.
    (1)求;
    (2)求向量与夹角.
    19. 已知函数.
    (1)求 的值;
    (2)求当何值时,函数取到最大值,最大值为多少?
    20. 设函数
    (1)求函数的最小正周期和最大值,并指出取得最大值时的值;
    (2)将函数图象上所有点横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,求表达式和单调递增区间.
    21. 在锐角中,角所对的边分别为,已知,,.
    (1)求角的大小;
    (2)求的面积.
    22. 定义向量 的“伴随函数”为; 函数 的“伴随向量”为.
    (1)写出的“伴随函数”,并直接写出的最大值;
    (2)写出函数的“伴随向量”为,并求;
    (3)已知,的“伴随函数”为,的“伴随函数”为,设,且的伴随函数为,其最大值为,
    ①若,,求值;
    ②求证:向量的充要条件是.
    2021北师大附属实验中学高一(下)期中数学
    参考答案
    一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共40分.每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填在答题卡上)
    1. 【答案】D
    【解析】
    【分析】根据象限角、锐角、终边相同的角的概念即可区分出答案.
    【详解】对于选项A,不正确,如,都是第一象限角,但它们不是锐角;
    对于选项B,不正确,如与的终边相同,但它们不相等;
    对于选项C,不正确,如不是锐角(锐角的取值范围是到);
    对于选项D,正确.(钝角的取值范围是到).
    故选:D
    2. 【答案】D
    【解析】
    【分析】根据分针按顺时针方向转了4圈,求出分针转过的弧度数即可
    【详解】根据分针经过4小时,分针按顺时针方向转了4圈,
    所以分针转过的弧度数为
    故选:D
    3. 【答案】C
    【解析】
    【分析】由三角函数的符号法则判断即可
    【详解】由,可知 所在第三或第四象限或者轴非正半轴上
    由,可知 所在第二或第三象限或者轴非正半轴上
    所以在第三象限
    故选:C
    4. 【答案】C
    【解析】
    【分析】根据三角函数得定义求解即可得出结论.
    【详解】设直线上任意一点P的坐标为(m,2m)()
    则(O为坐标原点)
    根据正弦函数的定义得:
    时,; 时,
    所以选项C正确,选项A,B,D错误
    故选:C
    5. 【答案】A
    【解析】
    【分析】先进行切化弦,然后直接把代入即可求解.
    【详解】,
    因为,
    所以原式.
    故选:A
    6. 【答案】C
    【解析】
    【分析】结合诱导公式化简整理即可求出结果.
    【详解】
    ,
    故选:C
    7. 【答案】C
    【解析】
    【分析】由题意,即求的减区间,结合正弦函数的单调性,得出结论.
    【详解】函数的增区间,即的减区间,
    为,,.
    结合,,可得的减区间为,,
    故选:.
    8. 【答案】D
    【解析】
    【分析】直接由正弦值与角范围求解即可
    【详解】,
    则A等于或
    故选:D
    9. 【答案】C
    【解析】
    【分析】根据三角函数的解析式,求出各个函数的最小正周期,从而得出结论.
    【详解】∵=,∴==;
    图象是将=在轴下方的图像对称翻折到轴上方得到,
    所以周期为,
    由周期公式知,为,
    为,
    故选:C.
    10. 【答案】C
    【解析】
    【分析】直接利用三角函数性质,周期性单调性的应用,函数的导数和函数的单调性的关系,函数的零点和方程的根的关系判断①②③④⑤的结论.
    【详解】函数,
    对于①:函数故函数f(x)是奇函数,故①正确;
    对于②:令,所以
    由于函数在上单调递增,当x→0时, →0,当x→时,即→+
    故当时,使得即时, 时,故g(x)在上单调递增, g(x)在上单调递减,
    而x→0和时,→0,所以g(x)>0,
    由于中,x取时,,故,,
    所以,所以,故②正确;
    对于③,假设函数的周期为T,则对一切x都成立,
    取x=0时,则得到,再取时,则故,所以明显T无解,故假设错误,故不是周期函数.故③错误;
    对于④,令解得,取时,,整理得,故存在无数个零点.故④正确;
    对于⑤,令,则所以 ,所以,由于k和x1和x2相对应,故x1-x2不能取任意值,故并不总成立,故⑤错误.
    故选:C.
    【点睛】(1)函数奇偶性、周期性的判断通常用定义进行验证;
    (2)要证明一个命题为真命题,需要严格的证明;要判断一个命题为假命题,举一个反例就可以了.
    二、填空题(本大题6小题,每小题5分,共30分,将正确答案填在答题纸上)
    11. 【答案】
    【解析】
    【分析】用分离参数法转化为,利用正弦函数的有界性即可求出的最大值.
    【详解】由 ,可得:
    因为,所以,所以,
    所以
    即的最大值是-2.
    故答案为:-2
    12. 【答案】
    【解析】
    【分析】利用降幂公式化简再求最小正周期即可.
    【详解】,故最小正周期是.
    故答案为:
    【点睛】本题主要考查了降幂公式与三角函数最小正周期,属于基础题型.
    13. 【答案】 ①. 3 ②.
    【解析】
    【分析】利用函数的单调性,结合的范围求解最大值即可.
    【详解】函数是增函数,
    所以时,函数取得最大值:3.
    故答案为:3;.
    14. 【答案】
    【解析】
    【分析】由旋转特点可知两向量模长相等且互相垂直,由此可构造方程组求得,根据可得结果.
    【详解】设,又,
    由题意得:,即,解得或(舍去)
    所以.
    故答案为:
    15. 【答案】
    【解析】
    【详解】试题分析:,故应至少向右平移个单位.
    考点:1、三角恒等变换;2、图象的平移.
    16. 【答案】 ①. 1 ②.
    【解析】
    【分析】如图,建立坐标系,利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出
    【详解】解:如图所示,建立直角坐标系,则,
    所以,
    所以,
    令,
    因为在上单调递减,在上单调递增,
    所以时,取得最小值,,
    因为,所以最大值为1,
    故答案为:1,
    三.解答题(本大题共3小题,共30分,写出必要的解答过程,将答案写在答题纸上)
    17. 【答案】(1);(2)[―2,2];(3)对称中心,对称轴方程.
    【解析】
    【分析】(1)根据图象中的最大值求出,求出周期,进而求得,带入点,即可求出;
    (2)根据图象求出函数的最大值和最小值,即可求出函数的值域;
    (3)根据对称轴和对称中心概念结合函数图象即可直接写出结果.
    【详解】(1)由图象可知,,又因为,所以,即,所以,又因为点在函数图象上,所以,则,且,所以,
    所以;
    (2)由图象知,;所以函数值域为;
    (3)由图象知是函数的一条对称轴方程,是函数的一个对称中心.
    18. 【答案】(1)2;(2).
    【解析】
    【分析】(1)根据向量的加法运算求出,根据利用坐标即可计算出向量的模长;
    (2)利用向量的夹角公式即可求出结果.
    【详解】(1)因为向量,,
    所以;
    .
    (2)因为,
    所以,
    所以向量与的夹角为.
    19. 【答案】(1);(2),最大值6.
    【解析】
    【分析】(1)令代入即可求解;(2)化简函数的解析式,令,将函数化简为,转化为二次函数,进而可以求解.
    【详解】(1)
    (2)
    令,,
    则,,,
    函数在,上单调递减,
    所以当,此时,时,,
    故当,时,的最大值为6.
    20. 【答案】(1),,;(2),.
    【解析】
    【分析】(1)将函数化为的形式,再求函数的最小正周期和最大值,及此时取得最大值时的值即可;
    (2)根据图象变换求出的解析式,再求其单调递增区间即可.
    【详解】(1)
    所以周期;
    当,即时,.
    (2)由题意知,,
    由,得,
    所以函数的单调增区间为.
    21. 【答案】(1);(2).
    【解析】
    【详解】试题分析:(1)先由正弦定理求得与的关系,然后结合已知等式求得的值,从而求得的值;(2)先由余弦定理求得的值,从而由的范围取舍的值,进而由面积公式求解.
    试题解析:(1)在中,由正弦定理,得,即.
    又因为,所以.
    因为为锐角三角形,所以.
    (2)在中,由余弦定理,得,即.解得或.
    当时,因为,所以角为钝角,不符合题意,舍去.当时,因为,又,所以为锐角三角形,符合题意.所以的面积.
    考点:1、正余弦定理;2、三角形面积公式.
    22. 【答案】(1);最大值为;(2),;(3)①;②证明见解析.
    【解析】
    【分析】(1)根据伴随函数的定义写出函数结合辅助角公式化简整理,即可求出最值;
    (2)结合两角和的余弦公式可化简得,进而表示出向量,即可求出模长;
    (3)①结合平面向量的线性坐标运算和辅助角公式即可求出结果;
    ②由两角和的正弦公式,可推出,充分性:找出时,满足的条件,可得证;必要性:当时,,带入的解析式中,即可知.
    【详解】(1),
    因为,所以最大值为.
    (2)
    所以
    所以
    (3)设,
    ① 设,
    根据定义得出
    ,其中 ,
    由知.
    ②充分性:

    等号成立当且仅当存在使得,其中,
    所以,,即得.
    必要性:当时,,

    当且仅当时,取得最大值.

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