2023-2024学年吉林省长春外国语学校七年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春外国语学校七年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.|−2024|的结果是( )
A. 12024B. 2024C. −12024D. −2024
2.2023年12月12日，“长春冰雪新天地”盛大开园，景区不同区域分布了形态各异的各式冰滑梯60余条，全长近15000米.15000这个数用科学记数法可以表示为( )
A. 1.5×105B. 1.5×104C. 15×103D. 0.15×105
3.下列式子中，符合代数式书写格式的是( )
A. a÷cB. a×5C. 2nmD. 112x
4.图①是由五个相同的小正方形纸片拼按而成的平面图形.现将图①沿虚线折成一个如图②所示的无盖正方体纸盒，则与线段MN重合的线段是( )
A. ABB. BCC. CDD. DE
5.下列各组的两个单项式是同类项的是( )
A. xy与−yxB. xy3与−3x3yC. a与bD. m3与63
6.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数b满足−aA. −3B. −2C. −1D. 2
7.将一副直角三角尺按如图的不同方式摆放，则图中∠α与∠β一定相等的是( )
A. ①②B. ②③C. ③④D. ②③④
8.在月历上，某些数满足一定的规律.如图是某年8月份的月历，任意选择其中所示的含4个数的方框部分，设左上角的数为a，则下列叙述中正确的是( )
A. 右上角的数为a−1B. 左下角的数为a+8
C. 右下角的数为a+7D. 方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.比较大小：−π______−3.14(选填“>”、“=”、“<”).
10.将多项式1−3xy+x2y2−y3按字母y的降幂排列后，从左边数第三项为______.
11.若a2+3a=1，则代数式2a2+6a−3的值为______.
12.研究表明：高山上的温度随海拔的升高而降低，一般海拔升高100米，气温约下降0.6℃.已知位于吉林省的长白山天池的海拔高度为2189.1米，若山脚的气温是10℃，则此时长白山天池的气温约为______ ℃.(结果保留整数)
13.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗.由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”.如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点P使得PA+PB最小.解决方法是：作点A关于直线的对称点A′，连接PA′，则PA′=PA，所以PA+PB=PA′+PB，连结A′B，则线段A′B的长度即为PA+PB的最小值，这样做依据的基本事实是______.
14.在一次折纸活动中，小林同学选用了常见的A4纸，如图，长方形ABCD为它的示意图.他先将A4纸沿过点E的直线折叠，点B的对应点为点F，折痕为EP；再沿过点E的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点G，折痕为EQ.已知∠BEP=34∘，则∠CEQ的度数为______.
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
计算：
(1)−13+(−2)−(−3)；
(2)[2−(−3)2]×(−4)÷(12−1).
16.(本小题6分)
解方程：
(1)3(x−1)=5x+9；
(2)x+24−2x−36=1.
17.(本小题6分)
根据下列语句列出代数式：
(1)x与y的和乘以3的积的倒数；
(2)x、y两数的平方差；
(3)x、y两数和的平方的2倍．
18.(本小题7分)
先化简，再求值：2(3x2y+4xy)+4(12xy−32x2y+1)，其中x=12，y=15.
19.(本小题7分)
如图，正方形的边长为2a.
(1)用含a的代数式表示图中阴影部分的面积S；
(2)当a=1时，求阴影部分的面积S的值(结果保留π).
20.(本小题7分)
如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、点B、点C都在格点上，利用学具完成下列作图．
(1)作直线AB.
(2)过点C作直线AB的垂线CD，垂足为点D.
(3)过点C作直线AB的平行线CE.
21.(本小题8分)
为更好的开展“全科阅读”活动，学校准备到书店购买《有趣的数学文化》和《欢乐数学》两种书.已知每本《欢乐数学》的标价比《有趣的数学文化》贵20元，购买5本《欢乐数学》和8本《有趣的数学文化》共需334元.
(1)求每本《欢乐数学》和《有趣的数学文化》的标价各是多少元？
(2)该书店推出了以下优惠方案：
方案一：所有商品按标价的八折销售；
方案二：所有商品按标价购买，总费用超过4000元时，超过部分按七折收费.
学校计划在该书店购买200本《欢乐数学》和300本《有趣的数学文化》，选择哪种方案更合算？请说明理由.
22.(本小题9分)
一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下：单位(米)+5，−3，+7，−8，+12，−4，−7.请你通过计算说明：
(1)守门员最后是否回到了球门线的位置？
(2)在练习过程中，守门员离开球门线最远的距离是多少米？
(3)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？
23.(本小题10分)
如图，AB⊥AC，AB⊥BD，点C、D在线段AB的异侧，点E、F分别在线段AC、BD上，连结DE、CF分别交AB于点G、H.若∠C=∠D，求证：∠1=∠2.
请将下面的证明过程补充完整，并在括号内写出相应的证明依据.
证明：∵AB⊥AC，AB⊥BD(已知)，
∴AC//______(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行).
∴∠BFH=______(______).
∵∠C=∠D(已知)，
∴∠BFH=______(______)，
∴DE//______(______)，
∴∠1=______(______).
∵∠2=∠3(______)，
∴∠1=∠2(等量代换).
24.(本小题12分)
如图，点A，B在数轴上表示的数分别是−8，10.动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点Q同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向终点A运动.设点P的运动时间为t(t>0)秒.
(1)点P到达点B用时______秒，点 Q到达点A用时______秒；
(2)点B与点Q之间的距离为______，点 Q表示的数为______；(用含t的代数式表示)
(3)当点P与点Q之间的距离为14个单位长度时，求t的值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：|−2024|=2024，
故选：B.
根据绝对值的定义即可求得答案．
本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：15000=1.5×104.
故选：B.
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、正确的书写格式是ac，原书写错误，故此选项不符合题意；
B、正确的书写格式是5a，原书写错误，故此选项不符合题意；
C、原书写是正确，故此选项符合题意；
D、正确的书写格式是32x，原书写错误，故此选项不符合题意．
故选：C.
根据代数式的书写要求判断各项．
本题考查了代数式的书写要求．解题的关键是掌握代数式的书写要求：
(1)在代数式中出现的乘号，通常简写成“⋅”或者省略不写；
(2)数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
(3)在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
4.【答案】D
【解析】解：将图①沿虚线折成一个如图②所示的无盖正方体纸盒，则与线段MN重合的线段是DE.
故选：D.
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
此题主要考查了展开图折叠成几何体，考查同学们的空间想象能力．
5.【答案】A
【解析】解：A.xy与−yx，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项符合题意；
B.xy3与−3x3y，所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；
C.a与b，所含字母不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；
D.m3与63，所含字母不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；
故选：A.
根据同类项的概念判断即可．
本题考查的是同类项的概念，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
6.【答案】C
【解析】解：将−a，b在数轴上表示出来如下：
∵−a∴b在−a和a之间．
选项中只有−1符合条件．
故选：C.
根据点b在数轴上的位置可求．
本题考查实数与数轴上的点的对应关系．找到−a的位置是求解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：①由图形得：α+β=90∘，不合题意；
②根据同角的余角相等可得α=β，符合题意；
③由图形可得：α=β=180∘−45∘=135∘，符合题意；
④∵∠α=90∘−45∘=45∘，∠β=90∘−30∘=60∘，
∴∠α≠∠β，不合题意；
故选：B.
根据余角和补角的概念解答．
本题考查的是余角和补角，掌握余角和补角的概念是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由图可得，
左上角的数为a，则右上角的数字为a+1，左下角的数字为a+7，右下角的数字为a+8，故选项A、B、C均不符合题意，
a+(a+1)+(a+7)+(a+8)
=a+a+1+a+7+a+8
=4a+16
=4(a+4)，
∴方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，故选项D正确，符合题意；
故选：D.
根据题意，可以用含a的代数式表示出各个位置上的数字，然后即可判断A、B、C，再将四个数相加，即可判断D.
本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
9.【答案】<
【解析】解：因为π>3.14，
故−π<−3.14.
故填空答案：<.
先比较π和3.14的大小，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”即可比较−π<−3.14的大小．
此题主要考查了实数的大小的比较，实数大小比较法则：(1)正数大于0，0大于负数，正数大于负数；(2)两个负数，绝对值大的反而小．
10.【答案】−3xy
【解析】解：将多项式1−3xy+x2y2−y3按字母y的降幂排列为：−y3+x2y2−3xy+1，
∴从左边数第三项为−3xy，
故答案为：−3xy.
按照字母y的指数由高到低排列后，找出从左边数的第三项即可．
本题考查了多项式，熟练掌握按某字母的降(或升)幂排列是解题的关键．
11.【答案】−1
【解析】解：原式=2(a2+3a)−3，
将a2+3a=1代入，得原式=2×1−3=−1，
故答案为：−1.
原式变形为2(a2+3a)−3，将a2+3a=1整体代入，即可求出答案．
本题考查了代数式求值，将a2+3a=1整体代入求值是解题的关键．
12.【答案】−3
【解析】解：由题意得：10−2189.1÷100×0.6
=10−21.89×0.6
=10−13.134
≈−3(℃)，
∴此时长白山天池的气温约为−3℃，
故答案为：−3.
根据题意可得：此时长白山天池的气温=10−2189.1÷100×0.6，然后进行计算即可解答．
本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13.【答案】两点之间，线段最短
【解析】解：作点A关于直线的对称点A′，连接PA′，则PA′=PA，所以PA+PB=PA′+PB，连结A′B，则线段A′B的长度即为PA+PB的最小值，这样做依据的基本事实是两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
根据两点之间线段最短即可解决．
本题考查轴对称-最短路线问题，解题的关键是把握两点之间，线段最短．
14.【答案】56∘
【解析】解：根据折叠的性质得，∠BEP=∠FEP=34∘，∠CEQ=∠GEQ，
∵∠BEP+∠FEP+∠CEQ+∠GEQ=180∘，
∴2∠BEP+2∠CEQ=180∘，
∴∠CEQ=56∘，
故答案为：56∘.
根据折叠的性质得到∠BEP=∠FEP，∠CEQ=∠GEQ，再根据平角定义求解即可．
此题考查了折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键．
15.【答案】解：(1)−13+(−2)−(−3)
=−1−2+3
=0；
(2)[2−(−3)2]×(−4)÷(12−1)
=(2−9)×(−4)÷(−12)
=−7×(−4)×(−2)
=−56.
【解析】(1)先算乘方，再算加减即可；
(2)先算乘方，括号里的运算，再算乘法与除法即可．
本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键对相应的运算法则的掌握．
16.【答案】解：(1)3(x−1)=5x+9，
3x−3=5x+9，
3x−5x=9+3，
−2x=12，
x=−6；
(2)x+24−2x−36=1，
3(x+2)−2(2x−3)=12，
3x+6−4x+6=12，
3x−4x=12−6−6，
−x=0，
x=0.
【解析】(1)按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答；
(2)按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
17.【答案】解：(1)由题意可得，13(x+y)；
(2)由题意可得，x2−y2；
(3)由题意可得，2(x+y)2.
【解析】(1)由题意可知，先算x与y的和再乘以3，最后求倒数即可；
(2)由题意可知，先分别求x、y两数的平方，再作差；
(3)由题意可知，先分别求x、y两数的和，再求平方，最后乘以2.
此题考查的知识点是列代数式，关键是能够正确运用数学语言，即代数式来表示题意．
18.【答案】解：原式=6x2y+8xy+2xy−6x2y+4
=10xy+4.
当x=12，y=15时，原式=10×12×15+4=1+4=5.
【解析】先去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将x，y的值代入计算即可．
本题考查整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)S=π⋅a2−[(2a)2−4×90π⋅a2360]
=πa2−4a2+πa2
=2πa2−4a2.
(2)当a=3时，
∴S=2π×9−4×9
=18π−36.
【解析】(1)利用直径为2a的圆的面积减去中间空白部分的面积；
(2)将a的值代入(1)中的代数式运算即可．
本题主要考查了列代数式，求代数式的值，熟练掌握正方形，圆，扇形的面积公式是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，直线AB即为所求；
(2)如图，直线CD即为所求；
(3)如图，直线CE即为所求；
【解析】(1)根据直线的定义作出图形即可；
(2)根据垂线的定义，利用数形结合的思想解决问题；
(3)取格点E，作直线CE即可．
本题考查作图-应用与设计作图，垂线，平行线等知识，解题的关键是掌握直线，垂线，平行线的判定和性质，学会利用数形结合的思想解决问题．
21.【答案】解：(1)设每本《有趣的数学文化》标价为x元，则每本《欢乐数学》为(x+20)元．
8x+5(x+20)=334，
解得x=18，
18+20=38(元)，
答：每本《有趣的数学文化》标价18元，每本《欢乐数学》标价38元．
(2)方案一：(300×18+200×38)×80%=10400(元)；
方案二：4000+(300×18+200×38−4000)×70%=10300(元)，
10400>10300，
答：选择方案二更合算．
【解析】(1)先用x表示出两种书的单价，再根据共需334元列出方程解答；
(2)用百分数乘法算出方案一所需的钱，再分4000元和超过4000元两部分算出方案二所需的钱，最后进行比较即可．
本题考查了一元一次方程的应用，关键找到题中的数量关系和百分数乘法的解题思路来解答．
22.【答案】解：(1)+5−3+7−8+12−4−7=2(米)，
∵2>0，
∴守门员没有回到球门线的位置；
(2)+5−3=2(米)，+5−3+7=9(米)，+5−3+7−8=1(米)，+5−3+7−8+12=13(米)，+5−3+7−8+12−4=9(米)，+5−3+7−8+12−4−7=2(米)，
∴守门员离开球门线最远的距离是13米；
(3)|+5|+|−3|+|7|+|−8|+|12|+|−4|+|−7|=46(米)，
∴他共跑了46米．
【解析】(1)将所有记录数据相加，即可求出守门员离球门线的位置；
(2)观察记录的数据，取绝对值最大的作为守门员离开球门线最远距离；
(3)将所有记录数据取绝对值，再相加即可．
本题考查了正数和负数以及有理数的加减混合运算，根据题意，正确列出算式是解题的关键．
23.【答案】BD∠C两直线平行，内错角相等 ∠D等量代换 CF 同位角相等，两直线平行 ∠3两直线平行，同位角相等 对顶角相等
【解析】证明：∵AB⊥AC，AB⊥BD(已知)，
∴AC//BD(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行).
∴∠BFH=∠C(两直线平行，内错角相等).
∵∠C=∠D(已知)，
∴∠BFH=∠D(等量代换)，
∴DE//CF(同位角相等，两直线平行)，
∴∠1=∠3(两直线平行，同位角相等).
∵∠2=∠3(对顶角相等)，
∴∠1=∠2(等量代换).
故答案为：BD；∠C；两直线平行，内错角相等；∠D；等量代换；CF；同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；对顶角相等．
根据平行线的判定与性质求解即可．
此题考查了平行线的判定于性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“同位角相等，两直线平行”、“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
24.【答案】963t10−3t
【解析】解：(1)∵点A，B在数轴上表示的数分别是−8，10，
∴AB=10−(−8)=18，
∴点P到达点B用时18÷2=9(秒)，点Q到达点A用时18÷3=6(秒)，
故答案为：9，6；
(2)由已知得：点B与点Q之间的距离为3t，点Q表示的数为10−3t，
故答案为：3t，10−3t；
(3)由已知得，P表示的数为−8+2t，点Q表示的数为10−3t，
①点P与点Q相遇之前，(10−3t)−(−8+2t)=14，
∴t=45；
②当点P与点Q相遇后，
∵Q运动到A需要的时间为6，当Q到达A时，P运动的距离为6×2=12，
∴t=6时，点P与点Q之间的距离为12，
∴P再运动2个单位，即再用1秒，P运动的距离为14，
∴t=7，
综上，t=45，t=7.
(1)由点A，B在数轴上表示的数分别是−8，10，得AB=18，即得点P到达点B用时9秒，点Q到达点A用时6秒；
(2)由已知直接可得点B与点Q之间的距离为3t，点Q表示的数为10−3t；
(3)P表示的数为−8+2t，点Q表示的数为10−3t，①点P与点Q相遇之前，(10−3t)−(−8+2t)=14，可得t；②点P与点Q相遇之后，Q用6秒到达A，只需P运动14个单位即7秒．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．