数学选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.4 二项分布与超几何分布综合训练题

这是一份数学选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.4 二项分布与超几何分布综合训练题，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．[2023·河北唐山高二期中]在100件产品中有5件次品，采用有放回的方式从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则( )
A．X～B(100，0.05) B．X～B(10，0.05)
C．X～B(1000，95) D．X～B(10，0.95)
2．某一批种子的发芽率为eq \f(2,3).从中随机选择3颗种子进行播种，那么恰有2颗种子发芽的概率为( )
A．eq \f(2,9)B．eq \f(8,27)C．eq \f(4,9)D．eq \f(2,3)
3．[2023·河南洛阳高二期中]已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B(6，eq \f(1,3))，即P(ξ＝2)＝( )
A．eq \f(3,16)B．eq \f(1,243)C．eq \f(13,243)D．eq \f(80,243)
4．2022年卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队与法国队在120分钟比赛中3∶3战平，经过四轮点球大战阿根廷队以总分7∶5战胜法国队，第三次获得世界杯冠军．其中门将马丁内斯扑出法国队员的点球，表现神勇，扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有eq \f(1,2)的可能性扑不到球．若不考虑其他因素，在点球大战中，门将在前四次扑出点球的个数X的期望为( )
A．eq \f(1,6)B．eq \f(1,2)C．eq \f(2,3)D．2
5．[2023·山东青岛高二期末]如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为eq \f(1,3)，记6次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则D(X)＝( )
A．eq \f(2,3)B．eq \f(4,3)C．2D．4
6．已知随机变量X～B(n，p)，若E(X)＝1，D(X)＝eq \f(4,5)，则P(X＝4)＝( )
A．eq \f(4,625)B．eq \f(32,125)C．eq \f(1,125)D．eq \f(1,25)
7．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝eq \f(5,9)，则P(η≥2)的值为( )
A．eq \f(32,81)B．eq \f(11,27)C．eq \f(65,81)D．eq \f(16,81)
8．[2023·河南开封高二期中]甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，比赛采取5局3胜制，假设每局比赛相互独立且没有平局，若每局比赛甲胜的概率为eq \f(3,5)，则比赛在第4局结束的概率为( )
A．eq \f(72,625)B．eq \f(162,625)C．eq \f(234,625)D．eq \f(324,625)
二、多项选择题(每小题5分，共10分)
9．[2023·江西宜春高二期中]若随机变量X服从参数为4，eq \f(2,3)的二项分布，则( )
A.P(X＝1)＝P(X＝3) B．P(X＝2)＝3P(X＝1)
C．P(X＝0)＝2P(X＝4) D．P(X＝3)＝4P(X＝1)
10．设a，b∈R＋，且eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝1，随机变量X～B(6，eq \f(2,3))，随机变量Y＝aX－b，则( )
A．E(X)＝4
B．D(Y)＝a2D(X)－b
C．E(X2)＝eq \f(52,3)
D．当E(Y)取得最大值时，D(Y)＝eq \f(1,3)
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，且X的期望E(X)＝4，方差D(X)＝2，则n＝________．
12．在3重伯努利试验中事件出现的概率相同，若事件A至少出现1次的概率为eq \f(19,27)，则事件A在1次试验中出现的概率为________．
四、解答题(共20分)
13．(10分)[2023·河北石家庄高二期中]某篮球运动员投篮的命中率为0.7，现投了6次球．
(1)求恰有4次命中的概率；
(2)求至多有4次命中的概率；
(3)设命中的次数为X，求E(X).
14．(10分)[2023·广东佛山高二期末]某商家为了提高服务质量，专门开设了顾客反馈热线电话．热线电话共有3个分机专供与顾客通话．设每个分机在每一时刻占线的概率为eq \f(1,3)，并且各个分机是否占线是相互独立的．
(1)求在某一时刻恰好有一个分机占线的概率；
(2)求任一时刻占线的分机个数X的分布列与数学期望．
关键能力综合练
15．(5分)[2023·江苏南通高二期中]欧洲空中客车公司设计并制造了A340，它是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的A310，假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障是独立的，已知A340飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；A310飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行．若要使A340飞机比A310飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是( )
A．(eq \f(2,3)，1) B．(eq \f(1,3)，1) C．(0，eq \f(2,3)) D．(0，eq \f(1,3))
[答题区]
16.(15分)某中学为宣传传统文化，特举行一次《诗词大赛》知识竞赛．规则如下：两人一组，每一轮竞赛中小组两人分别答两题．若小组答对题数不小于3，则获得“优秀小组”称号．已知甲、乙两位同学组成一组，且甲同学和乙同学答对每道题的概率分别为p1，p2.
(1)若p1＝eq \f(4,5)，p2＝eq \f(3,4)，求在第一轮竞赛中，他们获得“优秀小组”称号的概率；
(2)若p1＋p2＝eq \f(5,4)，且每轮竞赛结果互不影响．如果甲、乙同学想在此次竞赛活动中获得6次“优秀小组”称号，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
同步练习15 二项分布
1．解析：有放回抽取，每次取到次品的概率都是eq \f(5,100)＝0.05，
相当于10次独立重复的伯努利实验，
所以服从二项分布X～B(10，0.05).
答案：B
2． 答案：C
3．解析：因为随机变量ξ服从二项分布ξ～B(6，eq \f(1,3))，所以P(ξ＝2)＝C eq \\al(2,6) ·(eq \f(1,3))2·(eq \f(2,3))4＝eq \f(80,243).
答案：D
4．解析：依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为P＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6).
门将在前四次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，4.X～B(4，eq \f(1,6))，
期望E(X)＝4×eq \f(1,6)＝eq \f(2,3).
答案：C
5．解析：伯努利试验中随机变量服从二项分布，即X～B(n，p)，
因为出现“成功”的概率为eq \f(1,3)，所以p＝eq \f(1,3)，
因为6次独立重复试验，所以n＝6，
所以D(X)＝np(1－p)＝6×eq \f(1,3)×(1－eq \f(1,3))＝eq \f(4,3).
答案：B
6．解析：由E(X)＝1，D(X)＝eq \f(4,5)，
得np＝1，np(1－p)＝eq \f(4,5)，
解得n＝5，p＝eq \f(1,5)，
所以P(X＝4)＝C eq \\al(4,5) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up12(4)×(1－eq \f(1,5))＝eq \f(4,625).
答案：A
7．解析：因为随机变量ξ～B(2，p)，
所以P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝eq \f(5,9)，
解得p＝eq \f(1,3)，所以η～B(4，eq \f(1,3))，
则P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－(1－eq \f(1,3))4－C eq \\al(1,4) (1－eq \f(1,3))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(1)＝eq \f(11,27).
答案：B
8．解析：打完第4局比赛结束，包含以下两种情况，
(1)第4局甲赢，前三局甲赢两局，
概率为C eq \\al(2,3) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(162,625)；
(2)第4局乙赢，前三局乙赢两局，
概率为C eq \\al(2,3) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(2)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＝eq \f(72,625)；
∴打完第4局比赛结束的概率为eq \f(162,625)＋eq \f(72,625)＝eq \f(234,625).
答案：C
9．解析：由题意，根据二项分布中概率的计算公式P(X＝k)＝C eq \\al(k,n) pk(1－p)n－k，k＝0，1，…，n，
则P(X＝0)＝C eq \\al(0,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(0)(1－eq \f(2,3))4＝eq \f(1,81)，
P(X＝1)＝C eq \\al(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(1)(1－eq \f(2,3))3＝eq \f(8,81)，
P(X＝2)＝C eq \\al(2,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)(1－eq \f(2,3))2＝eq \f(8,27)，
P(X＝3)＝C eq \\al(3,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)(1－eq \f(2,3))1＝eq \f(32,81)，
P(X＝4)＝C eq \\al(4,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(4)(1－eq \f(2,3))0＝eq \f(16,81)，
因此P(X＝2)＝3P(X＝1)，P(X＝3)＝4P(X＝1)，
P(X＝4)＝16P(X＝0).
答案：BD
10．解析：E(X)＝np＝6×eq \f(2,3)＝4，A正确；
D(Y)＝D(aX－b)＝a2D(X)，B不正确；
D(X)＝np(1－p)＝6×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(4,3)，因为D(X)＝E(X2)－(E(X))2，所以E(X2)＝D(X)＋(E(X))2＝eq \f(4,3)＋16＝eq \f(52,3)，C正确；
E(Y)＝aE(X)－b＝4a－b＝(4a－b)(eq \f(1,a)－eq \f(1,b))＝5－(eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b))≤5－2eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝1，当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(4a,b)，即a＝eq \f(1,2)，b＝1时取等号，此时D(Y)＝a2D(X)＝eq \f(1,3)，D正确．
答案：ACD
11．解析：依题意X～B(n，p)，所以E(X)＝np＝4，D(X)＝np(1－p)＝2，解得p＝eq \f(1,2)，n＝8.
答案：8
12．解析：记“A至少发生1次”为事件M，则eq \(M,\s\up6(－))表示其对立事件“A发生0次”，
事件A的发生符合二项分布，设事件A在1次试验中出现的概率为p，
P(M)＝1－P(eq \(M,\s\up6(－)))＝1－C eq \\al(0,3) p0(1－p)3＝eq \f(19,27)，
所以(1－p)3＝eq \f(8,27)，
所以(1－p)＝eq \f(2,3)，解得p＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
13．解析：(1)某篮球运动员投篮的命中率为0.7，则未命中的概率为1－0.7＝0.3，
现投了6次球，恰有4次投中的概率为：P＝C eq \\al(4,6) ×(0.7)4×(1－0.7)2＝eq \f(64827,200000).
(2)至多有4次投中的概率为：
P＝C eq \\al(0,6) ×0.36＋C eq \\al(1,6) ×0.71×0.35＋C eq \\al(2,6) ×0.72×0.34＋C eq \\al(3,6) ×0.73×0.33＋C eq \\al(4,6) ×0.74×0.32＝eq \f(23193,40000).
(3)由题意可知X～B(6，0.7)，所以E(X)＝6×0.7＝4.2.
14．解析：(1)设事件A＝“恰好有一个分机占线”，
则P(A)＝C eq \\al(1,3) ×eq \f(1,3)×(1－eq \f(1,3))2＝eq \f(4,9).
(2)由于各个分机是否占线是相互独立的，则X～B(3，eq \f(1,3))，
所以P(X＝0)＝C eq \\al(0,3) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0)×(1－eq \f(1,3))3＝eq \f(8,27)，
P(X＝1)＝C eq \\al(1,3) ×eq \f(1,3)×(1－eq \f(1,3))2＝eq \f(4,9)，
P(X＝2)＝C eq \\al(2,3) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)×(1－eq \f(1,3))＝eq \f(2,9)，
P(X＝3)＝C eq \\al(3,3) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(3)×(1－eq \f(1,3))0＝eq \f(1,27).
故X的分布列为：
所以X的期望E(X)＝0×eq \f(8,27)＋1×eq \f(4,9)＋2×eq \f(2,9)＋3×eq \f(1,27)＝1.
15．解析：若A340飞机正常飞行，至少3个引擎正常运行，
概率P1＝C eq \\al(3,4) p3(1－p)＋p4＝p3(4－3p)，
若A310飞机正常飞行，2个引擎都正常运行，概率P2＝p2，
由题意可知，C eq \\al(3,4) p3(1－p)＋p4＝p3(4－3p)>p2，解得：eq \f(1,3)