高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.1 等差数列第二课时同步达标检测题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.1 等差数列第二课时同步达标检测题，共5页。试卷主要包含了答案等内容，欢迎下载使用。

A．8B．12
C．15D．24
2．在等差数列{an}中，若a2＋2a6＋a10＝120，则2a6＝( )
A．30B．40
C．60D．80
3．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝( )
A．0B．37
C．100D．－37
4．{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝15，a2＋a5＋a8＝24，则a3＋a6＋a9＝( )
A．24B．27
C．30D．33
5．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________．
6．在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，则B＝________．
7.设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝( )
A．120B．105
C．90D．75
8．在等差数列{an}中，a2000＝lg27，a2022＝lg2eq \f(1,7)，则a2011＝( )
A．0B．7
C．1D．49
9．(多选题)若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有( )
A．{an＋3}B．{a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) }
C．{an－1＋an}D．{2an＋n}
10.已知等差数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝________．
11．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．
12.某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
13.若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为eq \f(1,4)的等差数列，则数列的公差d＝________，m＋n的值为________．
14．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为p的等方差数列，求an和an－1(n≥2，n∈N＋)的关系式；
(2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列．
15．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2).
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)))是等差数列；
(3)求数列{an}的通项公式an.
第2课时 等差数列的性质及简单运用
必备知识基础练
1．答案：B
解析：a2＋a8＝2a5＝8，故a5＝4，a1＋a5＋a9＝3a5＝12.故选B.
2．答案：C
解析：因为{an}为等差数列，又a2＋2a6＋a10＝120，且a2＋a10＝2a6，所以4a6＝120，所以2a6＝60.故选C.
3．答案：C
解析：设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，所以{cn}的公差d＝c2－c1＝0.所以c37＝100.故选C.
4．答案：D
解析：因为{an}是等差数列，设公差为d，则a2＋a5＋a8－(a1＋a4＋a7)＝3d，a3＋a6＋a9－(a2＋a5＋a8)＝3d，所以a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，所以a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×24－15＝33.故选D.
5．答案：1
解析：因为{an}是等差数列，所以a1＋a3＋a5＝3a3＝105，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，所以a3＝35，a4＝33，所以d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1.
6．答案：60°
解析：因为内角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.
关键能力综合练
7．答案：B
解析：因为a1＋a2＋a3＝3a2＝15，所以a2＝5，又因为a1a2a3＝80，所以a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16，因为d>0，所以d＝3.则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.故选B.
8．答案：A
解析：∵数列{an}是等差数列，∴由等差数列的性质可知2a2011＝a2000＋a2022＝lg27＋lg2eq \f(1,7)＝lg21＝0，故a2011＝0.故选A.
9．答案：ACD
解析：设等差数列{an}的公差为d，当n≥2时，an－an－1＝d.
对于A，an＋1＋3－(an＋3)＝an＋1－an＝d，为常数，因此{an＋3}是等差数列，故A正确；
对于B，a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋1)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝d(an＋1＋an)＝d[2a1＋(2n－1)d]，不为常数，因此{a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) }不是等差数列，故B错误；
对于C，(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝an＋2－an＝2d，为常数，因此{an＋1＋an}是等差数列，故C正确；
对于D，2an＋1＋(n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1，为常数，因此{2an＋n}是等差数列，故D正确．故选ACD.
10．答案：15
解析：因为a3＋a15＝6，又a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，所以a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(2＋eq \f(1,2))(a3＋a15)＝eq \f(5,2)×6＝15.
11．解析：(1)因为a1＋a2＋a3＝12，所以a2＝4.
因为a8＝a2＋(8－2)d，
所以16＝4＋6d，所以d＝2，
所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.
(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.
当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.
所以{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列，所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.
12．解析：设第1年获利为a1万元，第n年获利为an万元，由题意知an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝－20n＋220<0，解得n>11，
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．
核心素养升级练
13．答案：eq \f(1,6) eq \f(31,72)
解析：设x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＝x3＋x4＝1，且1－4m>0，1－4n>0.
设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x2.由题意知x1＝eq \f(1,4)，所以x2＝eq \f(3,4)，数列的公差d＝eq \f(\f(3,4)－\f(1,4),4－1)＝eq \f(1,6)，所以数列的中间两项分别为eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)＝eq \f(5,12)，eq \f(5,12)＋eq \f(1,6)＝eq \f(7,12).
所以m＝x1·x2＝eq \f(3,16)，
n＝x3·x4＝eq \f(5,12)×eq \f(7,12)＝eq \f(35,144).
所以m＋n＝eq \f(3,16)＋eq \f(35,144)＝eq \f(31,72).
14．解析：(1)由等方差数列的定义可知，
a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n－1)) ＝p(n≥2，n∈N＋).
(2)证明：因为{an}是等差数列，设公差为d，
则an－an－1＝an＋1－an＝d.
又{an}是等方差数列，
所以a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n－1)) ＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋1)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ，
(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋1＋an)(an＋1－an)，
即d(an＋an－1－an＋1－an)＝－2d2＝0，
所以d＝0，即{an}是常数列．
15．解析：(1)由题设，a2＝2a1＋22＝6，a3＝2a2＋23＝20.
(2)证明：因为an＝2an－1＋2n(n≥2)，
所以eq \f(an,2n)＝eq \f(an－1,2n－1)＋1(n≥2)，即eq \f(an,2n)－eq \f(an－1,2n－1)＝1(n≥2)，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)))是首项为eq \f(a1,21)＝eq \f(1,2)，公差d＝1的等差数列．
(3)由(2)得：eq \f(an,2n)＝eq \f(1,2)＋(n－1)×1＝n－eq \f(1,2)，
所以an＝(n－eq \f(1,2))·2n.必备知识基础练
关键能力综合练
核心素养升级练