高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.2 等差数列的前n项和第一课时复习练习题

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A．eq \f(1,2)B．1
C．eq \f(3,2)D．2
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S4＝12，则S7＝( )
A．30B．36
C．42D．48
3．若an＝2n－11，则数列{an}的前n项和Sn取最小值时，n＝( )
A．3B．4
C．5D．6
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2022>0，S2023<0，则当n＝________时，Sn最大．
6．等差数列{an}中，a1＝9，S3＝18.
(1)求前n项和Sn；
(2)求前n项和Sn的最大值．
7．(多选题)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12>0，S13<0，则下列结论正确的是( )
A．数列{an}是递增数列
B．S5＝60
C．－eq \f(24,7)D．S1，S2，…，S12中最大的是S6
8．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为( )
A．(－∞，－eq \f(7,8)) B．(－1，＋∞)
C．[－1，－eq \f(7,8)] D．(－1，－eq \f(7,8))
9．(多选题)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是( )
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
10．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n＝________．
11．在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，则当n＝________时，Sn取得最大值________．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2－30n.
(1)求出{an}的通项公式；
(2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))前n项和最小时n的取值．
13.(多选题)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn的图象的是( )
14.已知等差数列{an}满足a11＋a12＋a13>0，a10＋a15<0，记Sn表示数列{an}的前n项和，则当SnSn＋1<0时，n＝________．
第1课时 等差数列的前n项和
必备知识基础练
1．答案：B
解析：因为S4＝eq \f(4（a1＋a4）,2)＝2(a2＋a3)＝10，a2＝2，则a3＝3，因此，等差数列{an}的公差为d＝a3－a2＝1.故选B.
2．答案：C
解析：设{an}首项为a1，公差为d.因S3＝6，S4＝12，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a1＋3d＝6,4a1＋6d＝12))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝0,d＝2)).则S7＝7a1＋21d＝42.故选C.
3．答案：C
解析：由an≤0得n≤eq \f(11,2).由于n∈N＋，所以当n≤5时，an<0，当n≥6时，an>0，所以n＝5时Sn取到最小值．故选C.
4．答案：2
解析：方法一 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a1＋d＋a1＋2d)＝3(a1＋a1＋d)＋6，所以6a1＋6d＝6a1＋3d＋6，解得d＝2.
方法二 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由2S3＝3S2＋6，可得2×3a2＝3(a1＋a2)＋6.整理，得a2－a1＝2，所以d＝2.
5．答案：1011
解析：因为{an}为等差数列，所以S2022＝eq \f(（a1＋a2022）,2)×2022＝1011(a1011＋a1012)>0，即a1011＋a1012>0；
同理由S2023<0可得a1012<0，所以a1011>0，所以当n＝1011时，Sn最大．
6．解析：(1)∵{an}为等差数列，则S3＝3a2＝18，即a2＝6，
∴d＝a2－a1＝－3，
故数列{an}的前n项和Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d＝－eq \f(3,2)n2＋eq \f(21,2)n.
(2)∵Sn＝－eq \f(3,2)n2＋eq \f(21,2)n的开口向下，对称轴n＝eq \f(7,2)＝3.5，且n∈N*，
∴当n＝3或n＝4时，Sn取到最大值S3＝S4＝18.
关键能力综合练
7．答案：BCD
解析：依题意，有S12＝12a1＋eq \f(12×11,2)·d>0，S13＝13a1＋eq \f(13×12,2)·d<0，化为2a1＋11d>0 ①，a1＋6d<0 ②，即a6＋a7>0，a7<0，所以a6>0.由a3＝12，得a1＝12－2d，代入①②联立解得－eq \f(24,7)8．答案：D
解析：由题意，当且仅当n＝8时Sn有最大值，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(d<0，,a8>0，,a9<0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(d<0，,7＋7d>0，,7＋8d<0，))解得－19．答案：ABD
解析：由S50，由S6＝S7知a7＝0，由S7>S8知a8<0，知d<0，且S6＝S7为Sn的最大值，C选项S9>S5即a6＋a7＋a8＋a9>0，所以a7＋a8>0，显然错误．故选ABD.
10．答案：6或7
解析：由|a5|＝|a9|，且d>0得a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0，所以2a1＋12d＝0，所以a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7且最小．
11．答案：12或13 130
解析：因为a1＝20，S10＝S15，所以10×20＋eq \f(10×9,2)d＝15×20＋eq \f(15×14,2)d，所以d＝－eq \f(5,3).
方法一 由an＝20＋(n－1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)))＝－eq \f(5,3)n＋eq \f(65,3)(n∈N＋).
得a13＝0.即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0.
所以当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋eq \f(12×11,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)))＝130.
方法二 由解析知Sn＝20n＋eq \f(n（n－1）,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)))＝－eq \f(5,6)n2＋eq \f(125,6)n＝－eq \f(5,6)(n－eq \f(25,2))2＋eq \f(3125,24).
因为n∈N＋，所以当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
12．解析：(1)因为Sn＝2n2－30n，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－30n)－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32；
显然n＝1时，也满足an＝4n－32，
所以an＝4n－32.
(2)因为eq \f(Sn,n)＝eq \f(2n2－30n,n)＝2n－30，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列，其前n项和
Tn＝eq \f(n（－28＋2n－30）,2)＝n(n－29)＝n2－29n＝(n－eq \f(29,2))2－eq \f(841,4)
又n∈N*，所以当n＝14或n＝15时，Tn取得最小值．
核心素养升级练
13．答案：ABC
解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意．故选ABC.
14．答案：23
解析：a11＋a12＋a13＝3a12>0，故a12>0，a10＋a15＝a12＋a13<0，故a13<0，故d<0，S23＝eq \f(1,2)(a1＋a23)×23＝23a12>0，S24＝eq \f(1,2)(a1＋a24)×24＝12(a12＋a13)<0.SnSn＋1<0，故n＝23.必备知识基础练
关键能力综合练
核心素养升级练