人教B版 (2019)选择性必修第三册5.5 数学归纳法综合训练题

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这是一份人教B版 (2019)选择性必修第三册5.5 数学归纳法综合训练题，共7页。试卷主要包含了用数学归纳法证明，下列四个判断中，正确的是，答案等内容，欢迎下载使用。

A．1 B．2C．3 D．0
2．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3·…·(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式是( )
A．2k＋1B．eq \f(2k＋1,k＋1)
C．2(2k＋1) D．eq \f(2k＋2,k＋1)
3．对于不等式eq \r(n2＋n)(1)当n＝1时，eq \r(12＋1)<1＋1，不等式成立；
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即eq \r(k2＋k)所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N＋，不等式均成立．则上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的证明过程不正确
4．下列四个判断中，正确的是( )
A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)，当n＝1时为1
B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N＋)，当n＝1时为1＋k
C．式子1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2n＋1)(n∈N＋)，当n＝1时为1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)
D．设f(n)＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,3n＋1)(n∈N＋)，则f(k＋1)＝f(k)＋eq \f(1,3k＋2)＋eq \f(1,3k＋3)＋eq \f(1,3k＋4)
5．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为________.
6．用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N＋).
7.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题不能总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
8．用数学归纳法证明不等式eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,n＋n)>eq \f(13,14)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式左边( )
A．增加了一项eq \f(1,2（k＋1）)
B．增加了两项eq \f(1,2k＋1)，eq \f(1,2（k＋1）)
C．增加了A中的一项，但又减少了另一项eq \f(1,k＋1)
D．增加了B中的两项，但又减少了另一项eq \f(1,k＋1)
9.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq \f(n4＋n2,2)(n≥2，n∈N＋)，当验证n＝2时，左端的式子为____________，当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上的项为________.
10．若f(n)＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,3n－1)(n∈N＋)，用数学归纳法验证关于f(n)的命题时，第一步计算f(1)＝______；第二步“从n＝k到n＝k＋1时”，f(k＋1)＝f(k)＋________.
11．已知数列{an}满足a1＝1，(an＋4)an＋1＝4an.
(1)计算a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
12．已知n∈N＋，n>2.
求证：1＋eq \f(1,\r( ,2))＋eq \f(1,\r( ,3))＋…＋eq \f(1,\r( ,n))>eq \r( ,n＋1).
13.用数学归纳法证明(1－eq \f(1,4))(1－eq \f(1,9))(1－eq \f(1,16))…(1－eq \f(1,n2))＝eq \f(n＋1,2n)(n≥2，n∈N＋).
14．用数学归纳法证明：1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋…＋eq \f(1,n2)≥eq \f(3n,2n＋1)(n∈N＋).
15．已知数列{an}满足a1＝1，且4an＋1－anan＋1＋2an＝9(n∈N＋).
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想{an}的通项公式an，并用数学归纳法证明．
5．5 数学归纳法
必备知识基础练
1．答案：C
解析：因为多边形的边数最少是3，即三角形，所以在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为eq \f(1,2)n(n－3)条时，第一步验证n等于3.故选C.
2．答案：C
解析：当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)·…·(k＋k)·eq \f(（2k＋1）（2k＋2）,k＋1)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·2(2k＋1).故选C.
3．答案：D
解析：此同学从n＝k到n＝k＋1的证明过程中没有应用归纳假设．故选D.
4．答案：C
解析：选项A中，n＝1时，式子应为1＋k；选项B中，n＝1时，式子应为1；选项C中，当n＝1时，式子应为1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)；选项D中，f(k＋1)＝f(k)＋eq \f(1,3k＋2)＋eq \f(1,3k＋3)＋eq \f(1,3k＋4)－eq \f(1,k＋1).故选C.
5．答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
解析：(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.
6．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2×(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，等式成立，
即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.
则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3，
即当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)知，等式对任何n∈N＋都成立．
关键能力综合练
7．答案：ABC
解析：根据题意，对于A，当k＝1或2时，不一定有f(k)≥k2成立；对于B，不能得出任意的k≤5时，均有f(k)≥k2成立；对于C，若f(7)<49成立，不能推出当k≥8时，均有f(k)8．答案：D
解析：当n＝k时，左边＝eq \f(1,k＋1)＋eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,k＋k)，
当n＝k＋1时，
左边＝eq \f(1,（k＋1）＋1)＋eq \f(1,（k＋1）＋2)＋…＋eq \f(1,（k＋1）＋（k＋1）)
＝eq \f(1,k＋2)＋eq \f(1,k＋3)＋…＋eq \f(1,k＋k)＋eq \f(1,2k＋1)＋eq \f(1,2（k＋1）)，
所以由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式左边增加了eq \f(1,2k＋1)，eq \f(1,2（k＋1）)，减少了eq \f(1,k＋1).故选D.
9．答案：1＋2＋3＋4 (k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
解析：1＋2＋3＋…＋n2＝eq \f(n4＋n2,2)(n≥2，n∈N＋)，
当验证n＝2时，左端的式子为1＋2＋3＋4.
n＝k时，等式左端＝1＋2＋…＋k2，
当n＝k＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，增加了项(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.
10．答案：eq \f(3,2) eq \f(1,3k)＋eq \f(1,3k＋1)＋eq \f(1,3k＋2)
解析：因为f(n)＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,3n－1)(n∈N＋)，
所以f(1)＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，
所以f(k＋1)＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,3（k＋1）－1)
＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,3k－1)＋eq \f(1,3k)＋eq \f(1,3k＋1)＋eq \f(1,3k＋2)
＝f(k)＋eq \f(1,3k)＋eq \f(1,3k＋1)＋eq \f(1,3k＋2).
11．解析：(1)因为数列{an}满足a1＝1，
(an＋4)an＋1＝4an，
所以当n＝1时，(a1＋4)a2＝4a1，得a2＝eq \f(4,5)，
当n＝2时，(a2＋4)a3＝4a2，(eq \f(4,5)＋4)a3＝4×eq \f(4,5)，
得a3＝eq \f(4,6)，
当n＝3时，(a3＋4)a4＝4a3，(eq \f(4,6)＋4)a4＝4×eq \f(4,6)，
得a4＝eq \f(4,7)，
由此猜想an＝eq \f(4,n＋3)(n∈N＋).
(2)用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，a1＝eq \f(4,1＋3)＝1，猜想成立；
②假设当n＝k(k∈N＋)时猜想成立，
即ak＝eq \f(4,k＋3)，有ak＋4≠0；
则当n＝k＋1时，(ak＋4)ak＋1＝4ak，
得ak＋1＝eq \f(4ak,ak＋4)＝eq \f(4×\f(4,k＋3),\f(4,k＋3)＋4)＝eq \f(4×4,4＋4（k＋3）)＝eq \f(4,（k＋1）＋3)，
所以当n＝k＋1时猜想成立．
根据①②可知猜想正确．
12．证明：(1)当n＝3时，左边＝1＋eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(3))，
右边＝eq \r(3＋1)＝2，左边>右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥3)时，不等式成立，
即1＋eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(3))＋…＋eq \f(1,\r(k))>eq \r(k＋1).
当n＝k＋1时，
1＋eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(3))＋…＋eq \f(1,\r(k))＋eq \f(1,\r(k＋1))>eq \r(k＋1)＋eq \f(1,\r(k＋1))＝eq \f(k＋1＋1,\r(k＋1))＝eq \f(k＋2,\r(k＋1)).
因为eq \f(k＋2,\r(k＋1))>eq \f(k＋2,\r(k＋2))＝eq \r(k＋2)＝eq \r(（k＋1）＋1)，
所以1＋eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(3))＋…＋eq \f(1,\r(k))＋eq \f(1,\r(k＋1))>eq \r(（k＋1）＋1)，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知对一切n∈N＋，n>2，不等式恒成立．
核心素养升级练
13．证明：(1)当n＝2时，左边＝1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)，右边＝eq \f(2＋1,2×2)＝eq \f(3,4)，所以左边＝右边，所以n＝2时等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，等式成立，即(1－eq \f(1,4))(1－eq \f(1,9))(1－eq \f(1,16))…(1－eq \f(1,k2))＝eq \f(k＋1,2k)，
则当n＝k＋1时，(1－eq \f(1,4))(1－eq \f(1,9))(1－eq \f(1,16))…(1－eq \f(1,k2))[1－eq \f(1,（k＋1）2)]＝eq \f(k＋1,2k)[1－eq \f(1,（k＋1）2)]＝eq \f(k＋1,2k)·eq \f(k（k＋2）,（k＋1）2)＝eq \f(k＋2,2（k＋1）)＝eq \f(（k＋1）＋1,2（k＋1）)，
即当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)知，等式对任何n≥2，n∈N＋恒成立．
14．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝eq \f(3×1,2×1＋1)＝1，命题成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)时，命题成立，
即1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋…＋eq \f(1,k2)≥eq \f(3k,2k＋1).
当n＝k＋1时，
1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋…＋eq \f(1,k2)＋eq \f(1,（k＋1）2)≥eq \f(3k,2k＋1)＋eq \f(1,（k＋1）2).
令f(k)＝eq \f(3k,2k＋1)＋eq \f(1,（k＋1）2)－eq \f(3（k＋1）,2（k＋1）＋1)，
则f(k)＝eq \f(1,（k＋1）2)－eq \f(3,（2k＋1）（2k＋3）)
＝eq \f(（2k＋1）（2k＋3）－3（k＋1）2,（k＋1）2（2k＋1）（2k＋3）)
＝eq \f(k（k＋2）,（k＋1）2（2k＋1）（2k＋3）).
因为k≥1，所以f(k)>0，
即eq \f(3k,2k＋1)＋eq \f(1,（k＋1）2)>eq \f(3（k＋1）,2（k＋1）＋1).
由(1)(2)知，不等式对任何n∈N＋都成立．
15．解析：(1)由题意4an＋1－anan＋1＋2an＝9(n∈N＋)，
a1＝1，则4a2－a2＋2＝9，a2＝eq \f(7,3)，4a3－eq \f(7,3)a3＋eq \f(14,3)＝9，
a3＝eq \f(13,5)，4a4－eq \f(13,5)a4＋eq \f(26,5)＝9，a4＝eq \f(19,7).
(2)猜想an＝eq \f(6n－5,2n－1).
证明：(ⅰ)n＝1，命题成立，
(ⅱ)假设n＝k时命题成立，即ak＝eq \f(6k－5,2k－1)，
则n＝k＋1时，由4ak＋1－eq \f(6k－5,2k－1)ak＋1＋eq \f(2（6k－5）,2k－1)＝9，解得ak＋1＝eq \f(6k＋1,2k＋1)＝eq \f(6（k＋1）－5,2（k＋1）－1)，命题成立．
综上，当n∈N＋时，命题成立，即an＝eq \f(6n－5,2n－1).必备知识基础练
关键能力综合练
核心素养升级练

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