高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.4 数学建模活动:描述体重与脉搏率的关系复习练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.4 数学建模活动:描述体重与脉搏率的关系复习练习题，共8页。试卷主要包含了某厂生产某种产品x件的总成本，答案，解析等内容，欢迎下载使用。

A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,6)))eq \s\up12(3)πB．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,3)))eq \s\up12(3)π
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,4)))eq \s\up12(3)πD．eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,4)))eq \s\up12(3)π
2．在三棱锥O­ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O­ABC体积的最大值为( )
A．4B．8
C．eq \f(4,3)D．eq \f(8,3)
3．某产品的销售收入y1(单位：万元)关于产量x(单位：千台)的函数为y1＝15eq \r(x)(x>0)；生产成本y2(单位：万元)关于产量x(单位：千台)的函数为y2＝eq \f(2,3)xeq \r(x)－eq \r(x)(x>0)，为使利润最大，应生产产品( )
A．9千台B．8千台
C．7千台D．6千台
4．(多选题)某厂要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，则( )
A．堆料场的长为32m
B．堆料场的宽为16m
C．围墙的长的最大值为64m
D．围墙的长的最小值为64m
5．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋eq \f(2,75)x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为______件．
6．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0，4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为________.
7.圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，则它的高与底面半径的比为( )
A．2∶1B．1∶2
C．1∶4D．4∶1
8．某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润(单位：万元)情况如下：
该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润(单位：万元)是( )
A．eq \f(9,2)B．eq \f(65,16)
C．eq \f(35,8)D．eq \f(17,4)
9.某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)＝ax2＋eq \f(101,50)x－blneq \f(x,10)，a，b为常数．当x＝10时，y＝19.2；当x＝30时，y＝50.5.(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6)
(1)求f(x)的解析式；
(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)
10．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10km时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问：此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？
11．已知A，B两地相距200km，某船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h(v>8).若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当v＝12km/h，每小时的燃料费为720元．
(1)求比例系数k；
(2)当8(3)设t>8，当812．某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．如图，已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段，AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴，O是AB的中点．拟在这块地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上．经测量，直路AB段长为60米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米．以O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
(1)求该段抛物线的方程；
(2)当CD长为多少米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？
13.某食品厂进行蘑菇的深加工，每千克蘑菇的成本为20元，并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2≤t≤5)，设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40)，根据市场调查，日销售量q与ex成反比，当每千克蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100千克．
(1)求该食品厂的每日利润y(单位：元)与每千克蘑菇的出厂价x(单位：元)的函数关系式；
(2)若t＝5，当每千克蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的利润y最大，并求最大值．
14．如图所示，两村庄A和B相距10km，现计划在两村庄外以AB为直径的半圆弧eq \x\t(AB)上选择一点C建造自来水厂，并沿线段CA和CB铺设引水管道．根据调研分析，CA段的引水管道造价为2万元/km，CB段的引水管道造价为m万元/km，设CA＝xkm，铺设引水管道的总造价为y万元，且已知当自来水厂建在半圆弧eq \x\t(AB)的中点时，y＝40eq \r(2)万元．
(1)求m的值，并将y表示为x的函数；
(2)分析y是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
6．3 利用导数解决实际问题
6．4 数学建模活动：描述体重与脉搏率的关系
1．答案：A
解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，
则4r＋2h＝l，
所以h＝eq \f(l－4r,2)，
V＝πr2h＝eq \f(l,2)πr2－2πr3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0V′＝lπr－6πr2，
令V′＝0，得r＝0或r＝eq \f(l,6)，而r>0，
所以r＝eq \f(l,6)是其唯一的极值点．
所以当r＝eq \f(l,6)时，V取得最大值，最大值为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,6)))eq \s\up12(3)π.故选A.
2．答案：C
解析：依题意V＝eq \f(1,3)×eq \f(2x2,2)·y＝eq \f(x2y,3)＝eq \f(x2（3－x）,3)＝eq \f(3x2－x3,3)(0V′＝eq \f(6x－3x2,3)＝2x－x2＝x(2－x).
令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去).
所以当x＝2时，V取极大值且为最大值，最大值为eq \f(4,3).故选C.
3．答案：B
解析：由题意，得利润y＝y1－y2＝16eq \r(x)－eq \f(2,3)xeq \r(x)(x>0).
令t＝eq \r(x)，则y＝16t－eq \f(2,3)t3，y′＝16－2t2，
令y′＝16－2t2＝0，得t＝2eq \r(2)(t>0)，
当t∈(0，2eq \r(2))时，y′>0，
当t∈(2eq \r(2)，＋∞)时，y′<0，
所以函数在(0，8)上为增函数，在(8，＋∞)上为减函数．
所以当x＝8时，y有最大值．故选B.
4．答案：ABD
解析：设新建堆料场与原墙平行的一边长为x(m)，其他两边长为y(m)，则xy＝512，
新建围墙的长l＝x＋2y＝eq \f(512,y)＋2y(y>0)，
令l′＝－eq \f(512,y2)＋2＝0，解得y＝16(负根已舍去)，
当016时，l′>0.
所以当y＝16时，函数取得极小值，也是最小值，最小值为eq \f(512,16)＋2×16＝64(m)，此时x＝eq \f(512,16)＝32.故选ABD.
5．答案：25
解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题意，知a＝eq \f(500,\r(x)).
总利润y＝500eq \r(x)－eq \f(2,75)x3－1200(x>0)，
y′＝eq \f(250,\r(x))－eq \f(2,25)x2，
由y′＝0，得x＝25，当x∈(0，25)时，y′>0，
当x∈(25，＋∞)时，y′<0，
所以当x＝25时，y取最大值．
6．答案：3.2%
解析：用y表示银行的收益，x表示存款利率，由题可知存款额是kx2，银行应付的利息为kx3，银行应获得的贷款利息为0.048kx2.
所以y＝0.048kx2－kx3，x∈(0，0.048)，
y′＝0.096kx－3kx2＝3kx(0.032－x)，
令y′＝0，解得x＝0.032或x＝0(舍去)，
当00，
当0.032所以当x＝0.032时，y取极大值，也是最大值．
7．答案：A
解析：设其体积为V，高与底面半径分别为h，r，
则V＝πr2h，即h＝eq \f(V,πr2).
由题意知，当表面积S最小时所用材料最省，
S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2πreq \f(V,πr2)＝2πr2＋eq \f(2V,r).
令S′＝4πr－eq \f(2V,r2)＝0，得r＝eq \r(3,\f(V,2π))，
当r＝eq \r(3,\f(V,2π))时，h＝eq \f(V,π（\r(3,\f(V,2π))）2)＝eq \r(3,\f(4V,π)).
则当h∶r＝2∶1时，表面积S最小．故选A.
8．答案：B
解析：因为甲产品的利润与投入资金成正比，
所以设y1＝k1x，当投入4万元时，利润为1万元，
即4k1＝1，得k1＝eq \f(1,4)，即y1＝eq \f(x,4).
因为乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，
所以设y2＝k2eq \r(x)，当投入4万元时，利润为2.5万元，
即eq \r(4)k2＝eq \f(5,2)，得2k2＝eq \f(5,2)，即k2＝eq \f(5,4)，即y2＝eq \f(5\r(x),4).
设乙产品投入资金为x万元，
则甲产品投入资金为(10－x)万元，0≤x≤10，
设销售甲、乙两种产品所得利润为y万元，
则y＝eq \f(1,4)(10－x)＋eq \f(5\r(x),4)，
则y′＝－eq \f(1,4)＋eq \f(5,8\r(x))＝eq \f(5－2\r(x),8\r(x))，
由y′>0，得5－2eq \r(x)>0，即0≤x由y′<0，得5－2eq \r(x)<0，即eq \f(25,4)即当x＝eq \f(25,4)时，函数取得极大值同时也是最大值，此时y＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－\f(25,4)))＋eq \f(5,4)×eq \r(\f(25,4))＝eq \f(15,16)＋eq \f(50,16)＝eq \f(65,16).故选B.
9．解析：(1)由条件可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a×102＋\f(101,50)×10－bln1＝19.2，,a×302＋\f(101,50)×30－bln3＝50.5，))
解得a＝－eq \f(1,100)，b＝1，
则f(x)＝－eq \f(x2,100)＋eq \f(101,50)x－lneq \f(x,10)(x≥10).
(2)T(x)＝f(x)－x＝－eq \f(x2,100)＋eq \f(51,50)x－lneq \f(x,10)(x≥10)，
则T′(x)＝－eq \f(x,50)＋eq \f(51,50)－eq \f(1,x)＝－eq \f(（x－1）（x－50）,50x)，
令T′(x)＝0，则x＝1(舍去)或x＝50，
当x∈[10，50)时，T′(x)>0，
因此T(x)在[10，50)上是增函数；
当x∈(50，＋∞)时，T′(x)<0，
因此T(x)在(50，＋∞)上是减函数，
所以当x＝50时，T(x)取最大值．
T(50)＝－eq \f(502,100)＋eq \f(51,50)×50－lneq \f(50,10)＝24.4(万元).
即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元．
10．解析：设轮船速度为x(x>0)km/h的燃料费用为每小时Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103，
可得k＝eq \f(3,500)，
所以Q＝eq \f(3,500)x3.
所以行驶每千米的总费用y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,500)x3＋96))·eq \f(1,x)＝eq \f(3,500)x2＋eq \f(96,x)，
所以y′＝eq \f(6x,500)－eq \f(96,x2).
令y′＝0，得x＝20.
所以当x∈(0，20)时，y′<0，此时函数单调递减，
当x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增．
所以当x＝20时，y取得最小值，
所以此轮船以20km/h的速度航行时，行驶每千米的费用总和最小．
11．解析：(1)设每小时的燃料费为y1，则y1＝kv2，
当v＝12km/h，每小时的燃料费为720元，
代入得k＝eq \f(720,122)＝5.
(2)由(1)得y1＝5v2.
设全程燃料费为y，则y＝5v2×eq \f(200,v－8)＝eq \f(1000v2,v－8)(8所以y′＝eq \f(1000v2－16000v,（v－8）2)，
令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16，
所以当v∈(8，16)时，y′<0，函数单调递减；当v∈(16，20]时，y′>0，函数单调递增．
所以当v＝16时，y取得最小值，
故为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为8km/h.
(3)由(2)得当8所以当v＝t时，y取得最小值；
若t>16时，则y在区间(8，16)内单调递减，在区间[16，t]上单调递增，
则当v＝16时，y取得最小值．
综上，当t>16时，船的实际前进速度为8km/h，全程燃料费最省；
当812．解析：(1)设该抛物线的方程为y＝ax2＋c，由条件知，B(30，0)，P(0，40)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝40,a×302＋c＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝40,a＝－\f(2,45)))，
故该段抛物线的方程为y＝－eq \f(2,45)x2＋40，－30≤x≤30.
(2)由(1)可设C(x，40－eq \f(2,45)x2)，所以梯形ABCD的面积S＝eq \f(1,2)(2x＋60)(40－eq \f(2,45)x2)＝2(x＋30)(20－eq \f(1,45)x2)，0设f(x)＝(x＋30)(20－eq \f(1,45)x2)，0则f′(x)＝－eq \f(1,15)x2－eq \f(4,3)x＋20＝－eq \f(（x－10）（x＋30）,15)，令f′(x)＝0，解得x＝10，
当00，f(x)在(0，10)上是增函数；
当10所以当x＝10时，f(x)取得极大值，也是最大值．
故当CD长为20米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大．
13．解析：(1)设日销量q＝eq \f(k,ex)，则eq \f(k,e30)＝100，
所以k＝100e30，所以日销量q＝eq \f(100e30,ex)，
所以y＝eq \f(100e30（x－20－t）,ex)(25≤x≤40).
(2)当t＝5时，y＝eq \f(100e30（x－25）,ex)，
y′＝eq \f(100e30（26－x）,ex)，
由y′>0，得x<26，由y′<0，得x>26，
所以y在[25，26)上单调递增，在(26，40]上单调递减，
所以当x＝26时，ymax＝100e4.
所以当每千克蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e4元．
14．解析：(1)因为AB为半圆弧的直径，则∠ACB＝90°，
则BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(100－x2)，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>0,100－x2>0))，可得0当点C在eq \x\t(AB)的中点时，x＝5eq \r(2)，此时y＝5eq \r(2)(2＋m)＝40eq \r(2)，
解得m＝6，因此y＝2x＋6eq \r(100－x2)(0(2)因为y＝2x＋6eq \r(100－x2)，
则y′＝2－eq \f(6x,\r(100－x2))＝eq \f(2（\r(100－x2)－3x）,\r(100－x2))，
因为函数f(x)＝eq \r(100－x2)－3x在(0，10)上为减函数，
令f(x)＝0，即eq \r(100－x2)－3x＝0，可得x＝eq \r(10)，
当00，此时函数y＝2x＋6eq \r(100－x2)单调递增；
当eq \r(10)故当x＝eq \r(10)时，y＝2x＋6eq \r(100－x2)取最大值，即ymax＝20eq \r(10).必备知识基础练
关键能力综合练
投入资金
甲产品利润
乙产品利润
4
1
2.5
核心素养升级练