专题22.5 高频题型专题：二次函数的图象信息题之五大考点-九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

这是一份专题22.5 高频题型专题：二次函数的图象信息题之五大考点-九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版），文件包含专题225高频题型专题二次函数的图象信息题之五大考点原卷版docx、专题225高频题型专题二次函数的图象信息题之五大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc27382" 【典型例题】 PAGEREF _Tc27382 \h 1
\l "_Tc13376" 【考点一 二次函数与一次函数图象共存问题】 PAGEREF _Tc13376 \h 1
\l "_Tc28904" 【考点二 二次函数与反比例函数图象共存问题】 PAGEREF _Tc28904 \h 6
\l "_Tc9097" 【考点三 含字母参数的二次函数的图象和性质】 PAGEREF _Tc9097 \h 11
\l "_Tc31555" 【考点四 二次函数的图象和性质与系数a,b,c的问题】 PAGEREF _Tc31555 \h 16
\l "_Tc26862" 【考点五 二次函数的图象与几何动点问题】 PAGEREF _Tc26862 \h 26
【典型例题】
【考点一 二次函数与一次函数图象共存问题】
例题：（2023·安徽合肥·统考三模）在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，可知，抛物线开口向上，直线自左向右呈下降趋势，故排除A；当时，二次函数值为，一次函数值为，互为相反数，排除B和D，即可得出答案．
【详解】由，可知，抛物线开口向上，直线自左向右呈下降趋势，故排除A；
当时，二次函数值为，一次函数值为，互为相反数，排除B和D．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，掌握图象和性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可．
【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线知，，∴A正确；
B、由抛物线可知，，由直线知，，∴B错误；
C、由抛物线可知，，由直线知，，∴C错误；
D、由抛物线可知，，由直线知，，∴D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）已知抛物线和直线分别交于A点和B点，则抛物线的图象可能是（ ）

A．B．C． D．
【答案】C
【分析】求出求出交点、的坐标，根据已知图象确定，与点的横坐标的正负，进而推断新抛物线的图象的开口方向，对称轴位置，从而确定答案．
【详解】解：由，得，
解得，或，
抛物线和直线分别交于点和点，
，的横坐标为：，
抛物线的开口向上，交点在第三象限内，
，，
抛物线中，，对称轴，
此抛物线的开口向下，对称轴在轴的左边，
符合此条件的图象是C，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象与性质，关键是由已知条件确定和点横坐标的取值．
3．（2023·山东济南·统考三模）在同一坐标系下，一次函数与二次函数的图象大致可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数与二次函数图象的位置，逐项判断系数的符号即可得出正确选项．
【详解】A、由一次函数图象可知，由二次函数的图象可知，故选项A不符合题意；
B、由一次函数图象可知，由二次函数的图象可知，故选项B不符合题意；
C、由一次函数图象可知，由二次函数的图象可知，故选项C不符合题意；
D、由一次函数图象可知，由二次函数的图象可知，故选项D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象，熟练掌握函数图象的位置与系数间的关系是解题的关键．
4．（2023·四川成都·统考二模）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】先由二次函数的图像得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图像，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
5．（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据抛物线对称轴为直线推出，再根据当时，，得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴
∵当时，，
∴，即，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，且与y轴交于，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，正确推出，是解题的关键．
6．（2023·山东青岛·统考二模）如图，二次函数的图象开口向下，且经过第二象限的点P．若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致如（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限即可．
【详解】解：由二次函数的图象可知，
，，
当时，，
∴的图象在第二、三、四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．
【考点二 二次函数与反比例函数图象共存问题】
例题：（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据可知，二次函数图象与y轴交点为时，即二次函数图象过原点．再分两种情况即，时结合二次函数中a，b同号对称轴在y轴左侧，a，b异号对称轴在y轴右侧来判断出二次函数与反比例函数图象所在象限，找到符合题意的即为正确答案．
【详解】解：①当时，二次函数开口向上，过原点，对称轴在y轴左侧，故二次函数在一、二、三象限，反比例函数在一、三象限；
②当时，二次函数开口向下，过原点，对称轴在y轴左侧，故二次函数在二、三、四象限，反比例函数在二、四象限，
观察图象可知只有D符合，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象以及反比例函数图象的性质，解题的关键是根据二次函数中a的取值确定二次函数以及反比例函数的图象．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】根据a的符号变化判断反比例函数和二次函数所在象限即可得出答案．
【详解】解：当时，的图像开口向上，过一、二象限；的图像位于一、三象限，可知，D正确；
当时，的图像开口向下，过三、四象限；的图像位于二、四象限，无此选．
故选：D
【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的图像，理解函数表达式中的系数与函数图像的关系是解题的关键．
2．（2023·山东东营·统考二模）二次函数（）的图象如图所示，则一次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由二次函数的图象可得：，，，可得一次函数的图象经过一，三，四象限，的图象在二，四象限，从而可得答案．
【详解】解：由二次函数的图象可得：，，，
∴一次函数的图象经过一，三，四象限，
的图象在二，四象限，
∴B，C，D不符合题意，A符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键．
3．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）已知二次函数（b，c是常数）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由抛物线开口向上得到；由抛物线对称轴的位置确定，由抛物线与y轴的交点位置确定，然后根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数经过第一、三、四象限，根据反比例函数的性质得到反比例函数图象在第二、四象限，由此可对各选项进行判断．
【详解】∵抛物线开口方向向上，
∴；
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴，
∴；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴，
对于一次函数，
∵，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限；
对于反比例函数，
∵，
∴，反比例函数图象分布在第二、四象限
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断及反比例函数、二次函数图象综合判断，熟练掌握二次函数系数的符号是解决问题的关键
4．（2023秋·广西南宁·九年级校联考阶段练习）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出，根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象所在的象限，再由当时，可知，故可得出反比例函数的图象在二四象限，据此得出结论．
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∵与轴的正半轴相交，
∴，
∴一次函数的图象经过第一二四象限，
∵当时，，
∴，
∴反比例函数的图象在二四象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与轴的交点坐标等确定出、、的情况是解题的关键．
5．（2023·山东青岛·统考三模）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点，判断出、、的正负，然后根据、、的正负去判断一次函数和二次函数在坐标系中的位置即可．
【详解】解：由图可知，
，，
∴
即
∵二次函数与轴有两个不同的交点
∴
∴一次函数经过一、二、三象限
当时，
∴
∴反比例函数经过一、三象限
故选：A．
【点睛】本题综合考查了一次函数、二次函数、反比例函数的图象与系数的关系．根据二次函数图象求出、、的正负是解决本题的关键．
【考点三 含字母参数的二次函数的图象和性质】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）已知二次函数，下列说法正确的是( )
A．点在该函数的图象上 B．当且时，
C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
当时：，
∵，
∴，
即：点不在该函数的图象上，故A选项错误；
当时，，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，，
∴当时，有最大值为，
当时，有最小值为，
∴，故B选项错误；
∵，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；
当时，抛物线的对称轴为：，
∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A．①②B．②③C．②D．③④
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可．
【详解】解：∵抛物线对称轴为，，
∴二次函数图象必经过第一、二象限，
又∵，
∵，
∴，
当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，
当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，
故①错误；②正确；
∵抛物线对称轴为，，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，故③正确；
∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键．
2．（2023·江苏南京·校考三模）已知整式，下列关于整式的值的结论：
①的值可能为；
②当时，的值随的增大而增大；
③当为小于的实数时，的值大于；
④不存在这样的实数，使得的值小于．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的知识，二次函数的图象和性质，依次判断，即可．
【详解】当，
∴，
解得：，，
∴的值可能为，
∴正确；
设函数的解析式为：，如图
∴对称轴为：，函数图象的开口向上，
∴当，函数随的增大而增大，
∴正确；
同理，当，函数随的增大而减小，
∴当时，函数在轴是上方，即，
∴正确；
设函数的解析式为：，如图
∴当时，函数有最小值，最小值为：
∴无论取任何数，
∴正确；
综上所述：正确的为：
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握解一元二次方程，二次函数图象和性质，实数的性质．
3．（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数为实数，下列四个结论：
当时，图象与坐标轴所夹的锐角为；
若，则当时，随着的增大而减小；
不论为何值，若将函数图象向左平移个单位长度，则图象经过原点；
当时，抛物线顶点在第一象限．
其中正确的结论是 （填写序号）
【答案】
【分析】由一次函数即可判断；根据二次函数的性质即可判断；得到平移后的解析式即可判断；求得顶点坐标即可判断．
【详解】解：当时，函数为一次函数，由于系数为，所以图象与坐标轴所夹的锐角不为，故错误；
若，抛物线的对称轴为直线，则当时，随着的增大而减小，故正确；
当函数图象向左平移个单位时，解析式为，则其图象过原点，故正确；
当时，对称轴直线，顶点纵坐标为，故抛物线顶点在第一象限，故正确；
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
4．（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）对于二次函数．有下列说法：
①若，则二次函数的图象与y轴的负半轴相交；
②若，当时，y有最大值3；
③若a为整数，且二次函数的图象与x轴的两个公共点都为整数点，则a的值只能等于1；
④若，且为该函数图象上的三点，则．
其中正确的是 ．（只需填写序号）
【答案】①②④
【分析】求出的取值即可判断①；由对称轴方程可判断出当时，函数在时，y有最大值3，故可判断②；根据二次函数的图象与x轴的两个公共点都为整数点可知对称轴也是整数，可求出a，进而判断③；分别求出A，B，C三点对应的函数值，再进行比较即可判断④．
【详解】解：①对于，令，得，由可得，即二次函数的图象与y轴的负半轴相交，故①正确；
②二次函数对称轴方程为直线，
∵，
∴
又抛物线的开口向上，
∴二次函数的图象在内，当时，y有最大值，最大值为：3；故②正确；
③∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴，
∵a为整数，
∴，即a为任意整数；
又二次函数的图象与x轴的两个公共点都为整数点，
∴对称轴必为整数，此时a的值不只能等于1，也可以是，故③错误；
④∵为函数图象上的三点，
∴当时，；
当时，；
当时，；
∵，
∴，即．故④正确，
所以，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用数形结合，从开口方向、对称轴、与x轴（y轴）的交点进行判断是解题的关键．
【考点四 二次函数的图象和性质与系数a,b,c的问题】
例题：（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）某二次函数的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有（ ）
①；②；③； ④．

A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①函数的对称轴在轴右侧，则，抛物线与轴交于负半轴，则，则，故①正确；
②函数的对称轴为，函数和轴的一个交点是，则另外一个交点为，当时，，故②错误；
③函数的对称轴为，即，故③错误；
④由②③得，，，故，而抛物线开口向上，则，即，故，故④正确；
故选：B．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·山东德州·九年级德州市第十中学校考阶段练习）如图，二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①，②，③，④，⑤当时，．其中正确结论的个数是（ ）

A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】利用抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得，则可对①进行判断；根据二次函数图像上点的坐标特征得，则所以，于是可对②④进行判断；由于，利用可得，再根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在和之间，则时，函数值为正数，即，由此可对③进行判断；观察函数图像得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，则可对⑤进行判断．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
对称轴位于轴的右侧，
，
，
，故①正确；
点和都在抛物线上，
，，
，
，故②错误，④正确；
，
，
，即，
抛物线与轴的一个交点坐标为，而抛物线的对称轴位于轴的右侧，在直线的左侧，
抛物线与轴的另一个交点坐标在和之间，
时，，即，
，故③正确；
当时，抛物线由部分在轴的上方，有部分在轴的下方，
或或，故⑤错误，
综上所述①③④正确，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像和性质，熟练掌握二次函数的性质与特征是解答本题的关键．
2．（2023·四川成都·统考一模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于x的一元二次方程的一个根．其中正确的有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可得a、b、c的取值范围，由此可判断①；根据结合抛物线对称性对②进行判断；当时，函数有最小值可判断③；由可得B的坐标，代入解析式由点B坐标结合对称轴可得点A坐标，据此可判断④．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴下方，
∴，
∴，所以①正确；
根据对称性可知，当和时函数值相等，且为负值，
即，所以②错误；
当时，有最小值，
当时，函数值，
∵
∴，
即，所以③正确；
∵点，
，
又∵对称轴为直线，
∴，
∴是关于x的一元二次方程的一个根，所以④正确；
综上正确的有3个，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合的思想．
3．（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④．正确结论的个数为（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①， 由开口方向和对称轴以及根据抛物线时的函数的取值即可判断 ②，根据抛物线时的函数的取值即可判断③，根据抛物线时的函数的取值即可判断④；
【详解】∵对称轴为直线
∴，①正确；
∵抛物线开口向上，与 轴的交点在轴下方
由题意可知时，
②正确；
由题意可知时，
若则
时，二次函数取得最小值
，③正确；
由题意可知时，
，④正确；
正确的是：①②③④
故选：D
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．
4．（2023·广东汕尾·校考模拟预测）已知二次函数的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：，下列结论：①；②；③；④；上述结论中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由抛物线开口向下，可得；结合抛物线的对称轴为直线，可得，；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得，可判断①不符合题意；由图象的对称性可得函数与x轴的另一个交点在与之间，可得，可判断②符合题意；③符合题意；由时，y有最大值，可得当时，，可判断④符合题意．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴，
∴，所以①不符合题意；
由图象的对称性可得函数与x轴的另一个交点在与之间，
∴，
∴，
∴，所以②符合题意；
∴，所以③符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴时，y有最大值，
∴当时，，
∴，所以④符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：当，抛物线的开口向下，当时，函数值最大；抛物线与y轴的交点坐标为，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
5．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④已知、在该二次函数图像上，当且时，都有．其中正确的结论有 ．（填序号）

【答案】①③④
【分析】根据开口方向、与y轴的交点、对称轴即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据图象过点得到，由得到，则，即可判断③；分三种情况根据二次函数的性质即可判断④．
【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，，
∵对称轴为直线，即，
∴，
∴，故①正确；
∵图象过点，对称轴为直线，
∴当时，，即，
则，故②错误；
∵图象过点，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
故③正确；
当时，，不符合题意，
当时，∵，
∴，
∵抛物线开口向下，
∴，
当时，，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，故④正确；
正确的结论有①③④，
故答案为：①③④
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，根据图象和性质判断式子的符号，比较函数值的大小等知识，数形结合是解题的关键．
6．（2023·全国·九年级假期作业）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论：
①；
②；
③（m为任意实数）；
④若，是抛物线上的两点，当时，；
⑤若方程的两根为，，且，则．
其中正确的是 ．（填写序号）
【答案】②③④
【分析】根据图象得出系数的正负性，可判断①；根据当时，，可判断②；当时，函数有最小值，可判断③；由抛物线的对称性可判断④；由二次函数的交点式可得，进而判断⑤.
【详解】解：①由图象可知：，，，
∴，
∴，故①错误；
②∵抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
③由图象可知，当时，函数有最小值，
∴（为任意实数），
∴，故③正确；
④∵，是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：，
∴当时，，故④正确；
⑤∵图象过点，对称轴为直线．抛物线与x轴的另外一个交点坐标为，
∴
若方程，
即方程的两根为，，
则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标，
∵，
∴，故⑤错误；
故答案为：②③④．
【点睛】此题考查二次函数图象和性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，掌握二次函数解析式的系数和图象之间的关系．
【考点五 二次函数的图象与几何动点问题】
例题：（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）如图，在中，．动点从点出发，沿线段以1单位长度/秒的速度运动，当点与点重合时，整个运动停止．以为一边向上作正方形，若设运动时间为秒，正方形与重合部分的面积为，则下列能大致反映与的函数关系的图象是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题目所给条件，分当时和当时，建立函数关系式，利用二次函数的性质，即可得到答案．
【详解】解；当时，正方形与重合部分的面积为正方形的面积，
∴，
∴此时函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线；
当时，设与相交于，与相交于，
，
此时正方形与重合部分的面积为正方形的面积减去三角形的面积，
∵是等腰直角三角形，，
，
，
∴，
∵，
∴二次函数的图象为开口向下的抛物线，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的解析式与图象的关系，正确列出函数关系式和判断二次函数的开口方向是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据，求出与之间函数关系式，再判断即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
，
故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出与之间函数关系式，再判断与之间函数类型．
2．（2023·安徽合肥·校考三模）如图，正方形中，，动点分别从同时出发，点以每秒的速度沿运动，点以每秒的速度沿运动，点到达点时运动停止．设点运动（秒）时，的面积，则关于的函数图象大致为：（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分两种情况：当点在上，即时，此时，利用三角形面积公式得到关于的函数关系；当点在上，即时，此时，利用正方形和三角形面积公式得到关于的函数关系．进而可得关于的分段函数，根据函数解析式即可判断函数图象．
【详解】解：当点在上，即时，如图，

此时，，
；
当点在上，即时，如图，

此时，，，
，，
，
；．
综上，．
故选：B．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键．
3．（2023·河南南阳·统考一模）如图，在矩形中，，动点P从A点出发，以的速度沿的方向运动，动点Q同时从A点出发，以的速度沿的方向运动，两动点到达C点停止运动．设运动的时间为，的面积为，则下列y关于x的函数图像正确的是（ ）

A． B．C． D．
【答案】D
【分析】先找出运动轨迹几何运动的转折点，据此可分三段进行求解：①当点P在上运动，点Q在上运动，即时；②当点P在上运动，点Q在上运动，即时；③当点P在上运动，点Q在上运动，即时．再根据三角形的面积公式分段求出y关于t的函数关系式，最后根据关系判断函数图像即可．
【详解】解：①当点P在上运动，点Q在上运动，即时，此时，
∴；
②如图：当点P在上运动，点Q在上运动，即时，

∴；
③如图：当点P在上运动，点Q在上运动，即时，

∴，
∴
,
＝；
综上，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，理解题意、分段求出函数解析式是解题关键．