专题22.7 难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题-九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21467" 【典型例题】 PAGEREF _Tc21467 \h 1
\l "_Tc15643" 【考点一 新定义型二次函数——关联抛物线】 PAGEREF _Tc15643 \h 1
\l "_Tc15927" 【考点二 新定义型二次函数——友好同轴二次函数】 PAGEREF _Tc15927 \h 7
\l "_Tc27774" 【考点三 新定义型二次函数——衍生抛物线】 PAGEREF _Tc27774 \h 11
\l "_Tc21576" 【考点四 新定义型二次函数——同轴对称抛物线】 PAGEREF _Tc21576 \h 17
\l "_Tc28350" 【考点五 新定义型二次函数——孔像抛物线】 PAGEREF _Tc28350 \h 20
\l "_Tc27856" 【考点六 新定义型二次函数——伴随抛物线】 PAGEREF _Tc27856 \h 23
\l "_Tc364" 【考点七 新定义型二次函数——美丽抛物线】 PAGEREF _Tc364 \h 27
\l "_Tc29068" 【考点八 新定义型二次函数——系列平移抛物线】 PAGEREF _Tc29068 \h 30
【典型例题】
【考点一 新定义型二次函数——关联抛物线】
例题：如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1＝x2+x与C2：y2＝ax2+x+c是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）．
(1)直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；
(2)抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1＝0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2＝0），令S＝S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．
【答案】(1)A（﹣2，﹣1），B（2，3）；抛物线C2的解析式为y2＝﹣+x+2
(2)存在，点E的坐标E（6，﹣1）或E（10，﹣13）
(3)﹣2≤x≤2，当t＝2时，S的最大值为16
【分析】（1）将抛物线C1改为顶点式可得A(-2，-1)，将A(-2，-1)，D（6，-1）代入，求得，即可求出B（2，3）；
（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，①若B为直角顶点，BE⊥AB，E（6，-1）；②若A为直角顶点，AE⊥AB，E（10，-13）；③若E为直角顶点，设E（m，），不符合题意；
（3）由y1≤y2，得-2≤x≤2，设，且，易求直线AF的解析式：y＝-x-3，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，，设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），，所以，即当t＝2时，S的最大值为16．
【详解】（1）抛物线C1：
∴A(-2，-1)，
将A(-2，-1)，D(6，-1)代入抛物线：，得：，
解得：，
∴，
∴B（2，3）；
（2）设直线AB的解析式为：，
则，
解得：
∴直线AB的解析式：y＝x+1，
①若B为直角顶点，BE⊥AB，kBE·kAB=-1，
∴kBE=-1，
故可设直线BE解析式为，
将B点坐标代入，得：，
解得：，
直线BE解析式为．
联立，
解得，，
∴E（6，-1）；
②若A为直角顶点，AE⊥AB，
同理得AE解析式：．
联立，
解得，，
∴E（10，-13）；
③若E为直角顶点，设E（m，）
由AE⊥BE得kBE·kAE=-1，
即，
整理，得：，
∴m+2＝0或m-2＝0或（无解），
∴解得m＝2或-2（不符合题意舍去），
∴点E的坐标E（6，-1）或E（10，-13）；
（3）∵，
∴，
设，且，
设直线AF的解析式为，则，
解得：
∴直线AF的解析式：y＝-x-3，
如图，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，
则，
∴．
设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），
，
∴，
∴当t＝2时，S的最大值为16．
【点睛】本题为二次函数综合题，考点有利用待定系数法求函数解析式，二次函数的顶点，两直线垂直其比例系数相乘等于-1等知识，为压轴题．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．
(1)写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；
(2)若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，．
①当时，求点的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
【答案】(1)，顶点为
(2)①或；②或．
【分析】（1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）①设，则，，根据题意建立方程解方程即可求解；
②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．
【详解】（1）解：抛物线的“关联抛物线”为，
根据题意可得，的解析式
顶点为
（2）解：①设，则，
∴
当时，
解得，
当时，方程无解
或
②的解析式
顶点为，对称轴为
，
当时，即时，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得（，舍去）
当时，且即时，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得（，舍去）
当时，即时，抛物线开向上，对称轴右侧随的增大而增大，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
即
即
解得（舍去）
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．
【考点二 新定义型二次函数——友好同轴二次函数】
例题：（2023·贵州遵义·统考三模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．
(1)函数的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________．
(2)已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为．
①若函数的图象与函数的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段的长；
②当时，函数的最大值与最小值的差为8，求a的值．
【答案】(1)直线，
(2)①4；②或3
【分析】（1）将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得；
（2）①根据友好同轴二次函数的定义求出函数，联立函数，，解方程可求出点的坐标，由此即可得；
②分且且、两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：函数的对称轴为直线，
因为，
所以设函数的友好同轴二次函数为，
所以，解得，
所以函数的友好同轴二次函数为，
故答案为：直线，．
（2）解：①二次函数，
则设，
所以，解得，
所以，
联立得：，
解得或，
当时，；当时，，
所以，
所以；
②函数的对称轴为直线，
（Ⅰ）当且且时，抛物线的开口向上，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，最小值为，
当时，取得最大值，最大值为4，
所以，
解得，符合题设；
（Ⅱ）当时，抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，最大值为，
当时，取得最小值，最小值为4，
所以，
解得，符合题设；
综上，的值为或3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键．
【变式训练】
1．【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”，例如：的“友好对称二次函数”为．
【特例求解】（1）的“友好对称二次函数”为______________；的“友好对称二次函数”为____________．
【性质探究】（2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是___________（填入正确的序号）
①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；
②二次项系为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；
③的“友好对称二次函数”为．
④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点．
【拓屐应用】
（3）如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与y轴交于点A，点B，C分别在，上，点B，C的横坐标均为，它们关于的对称轴的称点分别力，，连接，，，．
①若，且四边形为正方形，求m的值；
②若，且四边形邻边之比为，直接写出a的值．
【答案】（1）y＝x2，y＝x2+2x－5；（2）①②③；（3）①m的值为；②a的值为－或或或
【分析】（1）根据题中“友好对称二次函数”的性质：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同，据此求解即可；
（2）根据题中“友好对称二次函数”的性质逐个判断即可得；
（3）①根据题意可得：二次函数L1：，二次函数L2：，点B的坐标为，点C的坐标为，则可得点，点的坐标，然后得出线段，的长，根据四边形为正方形，得出方程求解即可；
②当时，点B的坐标为，点C的坐标为，则可得点，点的坐标，然后得出线段，的长，根据题意：四边形的邻边之比为1：2，得出或，求解即可得．
【详解】解：（1）∵，
∴函数的“友好对称二次函数”为；
，原函数的对称轴为：，
∴，
∴，，
∴函数的“友好对称二次函数”为，,
故答案为：；；
（2）∵，
∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，①正确；
∵，
∴二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，②正确；
由定义，的“友好对称二次函数”为，③正确；
若，则其“友好对称二次函数”为，此时这两条抛物线与x轴都没有交点，④错误；
故答案为：①②③；
（3）二次函数L1：的对称轴为直线，其“友好对称二次函数”L2：．
①∵，
∴二次函数L1：，二次函数L2：，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
，
∵四边形为正方形，
∴，即，
解得：，（不合题意，舍去），
∴m的值为；
②当时，点B的坐标为，点C的坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∵四边形的邻边之比为1：2，
∴或，
即或，
解得：，，，，
∴a的值为－或或或．
【点睛】题目主要考查二次函数拓展运用，正方形的性质，两点之间的距离等，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键．
【考点三 新定义型二次函数——衍生抛物线】
例题：（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验：
(1)已知抛物线经过点，则b＝ ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点成中心对称的抛物线表达式是 ．
抽象感悟：
我们定义：对于抛物线，以y轴上的点为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．
问题解决：
(3)已知抛物线．
①若抛物线y的衍生抛物线为，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线y关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为，…（为正整数）．求的长（用含n的式子表示）．
【答案】(1)；；；
(2)
(3)①；衍生中心的坐标为；②
【分析】（1）把代入 即可求出，然后把抛物线解析式变为顶点式即可求得抛物线的顶点坐标，继而可得顶点关于的对称点，从而可写出原抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式；
（2）先求出抛物线 的顶点是，从而求出 关于的对称点是，得 ，根据两抛物线有交点，可以确定方程 有解，继而求得的取值范围即可；
（3）①先求出抛物线以及抛物线的衍生抛物线为，的顶点坐标，根据两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求的值及再根据中点坐标公式即可求出衍生中心的坐标；
②根据中心对称，由题意得出 ， … 分别是 ， … 的中位线，继而可得 ， ，… ，再根据点的坐标即可求得的长，即可求解．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴，
∴顶点坐标是，
∵关于的对称点，
∴成中心对称的抛物线表达式是：，
即 ，
故答案为：，，；
（2）∵ ，
∴ 顶点是
∵关于的对称点是，
∴ ，
∵ 两抛物线有交点，
∴ 有解，
∴ 有解，
∴ ，
∴ ；
（3）①∵，
∴顶点，
代入 得：①
∵，
∴顶点，
代入 得：②
由① ②得 ，
∵ ，，
∴ ，
∴ 两顶点坐标分别是，，
由中点坐标公式得“衍生中心”的坐标是；
②如图，设，…，与轴分别相于，… ，，
则，，…，分别关于，…， 中心对称，
∴ ， … 分别是 ， … 的中位线，
∴ ， ，… ，
∵ ， ，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，理解题意，画出符合题意的图形借助数形结合思想解决问题是关键．
【变式训练】
1．我们定义：对于抛物线（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M成中心对称的抛物线y'，则我们称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
（1）已知抛物线经过点（-1，0），则b=_______，顶点坐标为_______，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线的表达式是_______；
（2）已知抛物线关于点（0，m）的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围；
（3）已知抛物线（a≠0）．若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为yn，其顶点为An；…（n为正整数），直接写出AnAn+1的长_________（用含n的式子表示）．
【答案】（1），（-2，1），；（2）m≤5；（3）4n+2
【分析】（1）利用待定系数法求出b的值，进而求出顶点坐标，在抛物线上取一点（0，-3），求出点（-2，1）和（0，-3）关于（0，1）的对称点坐标，利用待定系数法即可得出结论；
（2）求出抛物线的顶点坐标（-1，6），进而利用待定系数法求出衍生函数解析式，联立即可得出结论；
（3）求出抛物线顶点关于（0，k+n2）和（0，k+（n+1）2）的对称点坐标，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx-3经过点（-1，0），
∴-1-b-3=0，
∴b=-4，
∴抛物线解析式为y=-x2-4x-3=-（x+2）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（-2，1），
∴抛物线的顶点坐标（-2，1）关于（0，1）的对称点为（2，1），
即：新抛物线的顶点坐标为（2，1），
y=-x2-4x-3中，令x=0，
∴y=-3，
∴（0，-3）关于点（0，1）的对称点坐标为（0，5），
设新抛物线的解析式为y=a（x-2）2+1，
∵点（0，5）在新抛物线上，
∴5=a（0-2）2+1，
∴a=1，
∴新抛物线解析式为y=（x-2）2+1=x2-4x+5，
故答案为-4，（-2，1），y=x2-4x+5；
（2）∵抛物线y=-x2-2x+5=-（x+1）2+6①，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，6），
设衍生抛物线为y′=a（x-1）2+2m-6，
∵抛物线y=-x2-2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，
∴a=1，
∴衍生抛物线为y′=（x-1）2+2m-6=x2-2x+2m-5②，
联立①②得，x2-2x+2m-5=-x2-2x+5，
整理得，2x2=10-2m，
∵这两条抛物线有交点，
∴10-2m≥0，
∴m≤5；
（3）抛物线y=ax2+2ax-b的顶点坐标为（-1，-a-b），
∵点（-1，-a-b）关于点（0，k+n2）的对称点为（1，a+b+2k+2n2），
∴抛物线yn的顶点坐标An为（1，a+b+2k+2n2），
同理：An+1（1，a+b+2k+2（n+1）2）
∴AnAn+1=a+b+2k+2（n+1）2-（a+b+2k+2n2）=4n+2．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线顶点坐标的求法，新定义的理解和掌握，点的对称点坐标的求法，理解新定义是解本题的关键．
【考点四 新定义型二次函数——同轴对称抛物线】
例题：定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．
例如：的“同轴对称抛物线”为．
(1)请写出抛物线的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”的顶点坐标 ；写出抛物线的“同轴对称抛物线”为 ．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接、、、，设四边形的面积为．
①当四边形为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)①a；②或
【分析】（1）根据顶点式的顶点坐标为；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；
（2）①写出点B的坐标，再由对称轴求出点，然后结合正方形的性质列出方程求 a；②先由对称性分析得到封闭区域内在x轴上整点的个数，然后针对抛物线L开口的不同进行分类讨论．
【详解】（1）解：由知顶点坐标为，由知顶点坐标为，
∴抛物线的“同轴对称抛物线”为；
故答案为：，，．
（2）①当时，，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线L的对称轴为直线，
∴点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，即，
解得：（舍）或．
②抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为，
∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，
∴整点数也是关于x轴对称出现的，
∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，
（i）当时，
∵L开口向上，与y轴交于点，
∴封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，
∴当时，，当时，，
解得：；
（ii）当时，
∵L开口向下，与y轴交于点，
∴封闭区域内在x轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，
∴当时，，当时，，
解得：，
综上所述：或．
【点睛】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”．
【考点五 新定义型二次函数——孔像抛物线】
例题：二次函数的图象交轴于原点及点．
【感知特例】
(1)当时，如图1，抛物线：上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如表：
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
【形成概念】
我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
【探究问题】
(2)①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为______；
②若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，直接写出的值______；
③在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”都有唯一交点，这条抛物线的解析式为____________．
【答案】(1)①；②见解析；
(2)①；②；③
【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；
（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象L′的顶点为，再根据题意即可求解；③根据题意得：二次函数的“孔像抛物线”为，设符合条件的抛物线M的解析式为，，再由抛物线M与有唯一交点，分两种情况：当时，无论取任何值，都会存在对应的m使得，此时符不符合题意；当时，有，根据当m取何值时，两抛物线都有唯一的交点，可得当m取任意实数时，上述等式成立，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：①∵点与点关于点A中心对称，
∴点A的坐标为，即，
故答案为：2，0；
②描点，连线，得到的图象如图所示：
（2）解：①当时，抛物线L为，对称轴为，
∴它的“孔像抛物线”的解析式为，对称轴为，
画出草图如图所示：
∴抛物线L与它的“孔像抛物线”的函数值都随着x的增大而减小，
则x的取值范围为：；
②L：，设顶点为，过点P作轴于点M，“孔像抛物线”的顶点为，过点作轴于点，
由题意得：，
∴，
∴ ，
∵抛物线L及“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，
∴或，
解得m=0，
当时，与只有一个交点，不合题意，舍去，
∴．
③根据题意得：二次函数的“孔像抛物线”为，
∴设符合条件的抛物线M的解析式为，
∴，
整理得：，
∵抛物线M与有唯一交点，
当时，无论取任何值，都会存在对应的m使得，
此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；
当时，
，
即，
整理得：，
∵当m取何值时，两抛物线都有唯一的交点，
∴当m取任意实数时，上述等式成立，
∴，
解得：，
∴该函数解析式为．
故答案为：
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
【考点六 新定义型二次函数——伴随抛物线】
例题：定义：如图，若两条抛物线关于直线成轴对称，当时，取顶点左侧的抛物线的部分；当时，取顶点在右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线的一对伴随抛物线．例如：抛物线与抛物线就是关于直线轴的一对伴随抛物线．
(1)求抛物线关于直线的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式．
(2)设抛物线交轴于点，交直线于点．
①求直线平行于轴时的的值．
②求是直角时抛物线关于直线的“伴随抛物线”的顶点横坐标．
③已知点、的坐标分别为、，直接写出抛物线及其关于直线的“伴随抛物线”与矩形不同的边有四个公共点时的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②或；③或且或．
【分析】（1）先求出“伴随抛物线”的顶点坐标，即可求解；
（2）①先求出点，点坐标，代入解析式可求的值；
②根据是直角确定点在轴上，进而得点坐标，代入抛物线的解析式便可求得的值即原抛物线的顶点横坐标，进而求得伴随抛物线的顶点坐标；
③当点在轴下方时，抛物线及其关于直线的“伴随抛物线”与矩形不同的边有四个公共点，求出此时的取值范围便可．
【详解】（1）抛物线的顶点坐标，
关于直线的对称点坐标为
“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式为：；
（2）①抛物线交轴于点，
点，
直线平行于轴，抛物线交直线于点．
点，
，
（舍去），，
；
②如图1和图2，
，
点在轴上，
点的坐标是，
把代入中，得
，
解得，或，
的顶点横坐标为：，
即抛物线的顶点横坐标为或，
则抛物线关于直线的“伴随抛物线”的顶点横坐标为：
，或，
“伴随抛物线”的顶点横坐标为或；
③如图3和图4，
点、的坐标分别为、，，抛物线及其关于直线的“伴随抛物线”与矩形不同的边有四个公共点，
点在轴下方，
设，则，
把代入中，得，
，
由二次函数图象可知，
当时，若，则；
当时，若，则．
又，
且，
故或且．
当点在线段上时，，解得，
此时抛物线的顶点的纵坐标小于0，不符合题意，
当点在的上方，抛物线的顶点在与之间时，符合题意，
则有，解得，，
综上所述，满足条件的的值为或且或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及了抛物线的解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，着重理解互称为“伴随抛物线”抛物线这个新定义，本题（2）问的关键是运用了数形结合和分类思想解决问题．
【考点七 新定义型二次函数——美丽抛物线】
例题：已知如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以线段为对角线的正方形的另两顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把抛物线称为美丽抛物线，正方形为它的内接正方形．
（1）当抛物线是美丽抛物线时，________；当抛物是美丽抛物线时，________．
（2）若抛物线是美丽抛物线，请直接写出的a，k数量关系．
（3）若抛物线是美丽抛物线，（2）中a，k数量关系仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（4）已知系列美丽抛物线（n为正整数，）的顶点为均在直线上，且它们中恰有两个美丽抛物线与（s，t为正整数，，）的内接正方形的面积之比为1：4，试求的值．
【答案】（1），；（2）；（3）成立，理由见解析；（4）或或
【分析】（1）先求出抛物线得对称轴及顶点坐标，得出AC的长，由AC=BD，B，D关于对称轴对称可得B，D的坐标，将其中一点的坐标代入抛物线解析式，即可求解；
（2）同（1）的方法得B，D的坐标，将其中一点的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论；
（3）分，两种情况，先求出点D的坐标，代入抛物线解析式，即可得出结论；
（4）由题意可得，美丽抛物线的内接正方形的面积为，根据题意得出，从而得出，根据题中的范围得出的值，再得出的值，然后由即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线中，令，则，
∴对称轴是，顶点坐标，
∴对称轴与轴交于点C的坐标是，
∴AC=1，
∵正方形中，AC，BD是对角线，
∴AC=BD=1，
又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，
∴，或，，
∴将代入抛物线中，得
，解得：；
∵抛物线中，令，则，
∴对称轴是，顶点坐标，
∴对称轴与轴交于点C的坐标是，
∴AC=k，
∵正方形中，AC，BD是对角线，
∴AC=BD=k，
又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，
∴，或，，
∴将代入抛物线中，得
，
解得：（不合题意，舍去）；，
∴；
故答案为：，；
（2），
∵抛物线中，令，则，
∴对称轴是，顶点坐标，
∴对称轴与轴交于点C的坐标是，
∴AC=k，
∵正方形中，AC，BD是对角线，
∴AC=BD=k，
又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，
∴，或，，
∴将代入抛物线中，得
，
解得：，（不合题意，舍去）；
∴；
（3）a，k数量关系仍成立．
当时，
∵抛物线是美丽抛物线，正方形，
又∵点A是抛物线的顶点，直线AC是对称轴，
∴AC=BD=，，
∴点D的坐标为，
∵点D在抛物线，
∴，解得，
∴；
当时，同理可得．
∴若抛物线是美丽抛物线，a，k数量关系仍为；
（4）由题意可得，美丽抛物线的内接正方形的面积为，
∵系列美丽抛物线（n为正整数，）的顶点为均在直线上，
∴，
∵美丽抛物线与的内接正方形的面积之比为1：4，
∴，
∵，在直线上，
∴，
∵s，t为正整数，，，
∴或或，
∴或或，
∵，
∴或或，
∴或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，主要涉及抛物线的对称轴及顶点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，综合性较强，熟练掌握方程思想是解题的关键．
【考点八 新定义型二次函数——系列平移抛物线】
例题：【特例感知】
（1）如图1，对于抛物线，，，下列结论正确的序号是_______；
①抛物线都经过点；
②抛物线的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；
③抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等．
【形成概念】
（2）把满足（为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．
【知识应用】
在（2）中，如图2．
①“系列平移抛物线”的顶点依次为，用含的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标与横坐标之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：，其横坐标分别为（为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．
③在②中，直线分别交“系列平移抛物线”于点连接，判断是否平行？并说明理由．
【答案】（1）①②③；（2）①，，②相邻两点之间的距离都相等，理由见解析；③与不平行,理由见解析
【分析】（1）①当时，分别代入抛物线，，，即可得；
②，的对称轴分别为，，的对称轴，
③当时，则，可得或；，可得或；，可得或；所以相邻两点之间的距离都是1，
（2）①的顶点为，，可得；
②横坐标分别为，，，，为正整数），当时，，纵坐标分别为，，，，，相邻两点间距离分别为；
③由题可知，，，．比较，即可得出结论与不平行．.
【详解】解：解：（1）①当时，分别代入抛物线，，，即可得；①正确；
②，的对称轴分别为，，
的对称轴，
由向左移动得到，再向左移动得到，
②正确；
③当时，则，
或；
，
或；
，
或；
相邻两点之间的距离都是1，
③正确；
故答案为①②③；
（2）①的顶点为，，
令，，
；
②相邻两点之间的距离都相等．
理由：根据题意得：，．
∴两点之间的铅直高度．
两点之间的水平距离．
∴由勾股定理得．
∴．
③与不平行．
理由：
根据题意得：，，，．
过分别作直线的垂线，垂足为，，
所以，．
在中，
．
在中，
．
∵，
∴．
∴，
∴与不平行．
【点睛】本题考查二次函数图象及性质，平行线的性质；能够结合题意，分别求出抛物线与定直线的交点，抛物线上点的横坐标求出相应的纵坐标，结合勾股定理，直线的解析式进行综合求解是关键．
【变式训练】
1．在平面直角坐标系中，有系列抛物线（n为正整数）．系列抛物线的顶点分别为，，，…，．
(1)下列结论正确的序号是______．
①系列抛物线的对称轴是直线；
②系列抛物线有公共交点和；
③系列抛物线都是由抛物线平移所得；
④任意两条相邻抛物线顶点的距离相等；
(2)对于任意一条与x轴垂直的直线，与系列抛物线的交点分别为，，，…，．
①当时，______；
②试判断相邻两点之间的距离是否相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由；
③以为边作正方形，若正方形的另二个点落在对称轴上，求a的值．
【答案】(1)①②④
(2)①-1；②相邻两点之间的距离相等，距离为NnNn-1=；③a的值为或．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴、顶点坐标的求法，以及平移的性质即可求解；
（2）根据题意求得NnNn-1= yn-1- yn=；①令a=0，代入求解即可；②相等距离就是；③分两种情况讨论，列出一元二次方程，求解即可．
(1)
解：系列抛物线的对称轴是直线，故①正确；
yn=，
令，解得x1=-4，x2=1，
∴系列抛物线有公共交点为（-4，1），（1，1），故②正确；
∵系列抛物线二次项的系数为，与抛物线的系数不同，
∴系列抛物线不是由抛物线平移所得，故③错误；
∵yn=，
∴系列抛物线的顶点坐标为（，），
∴MnMn-1=，即任意两条相邻抛物线顶点的距离都等于，故④正确；
综上，正确的有①②④，
故答案为：①②④；
(2)
解：当x=a时，yn=，
yn-1=
=，
∴NnNn-1= yn-1- yn=；
①当a=0时，NnNn-1=-1；
②相邻两点之间的距离相等，距离为NnNn-1=；
③∵系列抛物线的对称轴是直线，
当时，
由题意得：，
整理得，解得（舍去）或；
当时，
由题意得：，
整理得，解得（舍去）或；
综上，a的值为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象的基本特征等，正确理解题意是本题解题的关键．
2．我们把抛物线：（n为正整数）称为“拉手系列抛物线”，为了探究的它性质，某同学经历如下过程：
【特例求解】
（1）当n=1时，抛物线y1的顶点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ；
（2）当n=2时，抛物线y2的顶点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ；
（3）当n=3时，抛物线y3的顶点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ；
【性质探究】
（4）那么抛物线：（n为正整数）的下列结论正确的是 （请填入正确的序号）．
①抛物线与x轴有两个交点；
②抛物线都经过同一个定点；
③相邻两支抛物线与x轴都有一个公共的交点；
④所有抛物线的顶点都在抛物线上．
【知识应用】
若“拉手系列抛物线”：（n为正整数），y1与x轴交于点O，A1，顶点为D1，y2与x轴交于点A1，A2，顶点为D2，…，yn与x轴交于点，顶点为Dn．
（5）求线段的长（用含n的式子表示）；
（6）若△的面积与△的面积比为1:125，求的解析式．
【答案】（1）（1，1），（0，0），（2，0）；（2）（4，4），（2，0），（6，0）；（3）（9，9），（6，0），（12，0）；（4）①, ③ ；（5）；（6）
【分析】（1）将n=1代入解析式中求出，即可求出结论；
（2）将n=2代入解析式中求出，即可求出结论；
（3）将n=1代入解析式中求出，即可求出结论；
（4）求出即可判断①；并不能求出所有抛物线经过同一点，即可判断②；求出和与x轴的交点坐标，即可判断③；求出的顶点坐标即可判断④；
（5）求出与x的轴的两个交点坐标即可得出结论；
（6）由（5）知：，，根据面积比求出k的值，即可求出结论．
【详解】解：（1）当n=1时，抛物线的解析式为=
∴该抛物线的顶点坐标为（1，1）
当时，
解得：x=0或x=2
∴与x轴的交点坐标是（0，0），（2，0）
故答案为：（1，1）；（0，0），（2，0）．
（2）当n=2时，抛物线的解析式为=
∴该抛物线的顶点坐标为（4，4）
当时，
解得：x=2或x=6
∴与x轴的交点坐标是（2，0），（6，0）
故答案为：（4，4）；（2，0），（6，0）．
（3）当n=3时，抛物线的解析式为=
∴该抛物线的顶点坐标为（9，9）
当时，
解得：x=6或x=12
∴与x轴的交点坐标是（6，0），（12，0）
故答案为：（9，9）；（6，0），（12，0）．
（4）
=
=
∵n为正整数
∴＞0
即
∴抛物线与x轴有两个交点，故①正确；
抛物线并不经过同一个定点，故②错误；
第n支抛物线的解析式为，
当时，即
解得：或
∴该抛物线与x轴的两个交点为（，0），（，0）；
它的下一支抛物线的解析式为
当时，即
∴该抛物线与x轴的两个交点为（，0），（，0）
∴相邻两支抛物线与x轴都有一个公共的交点，故③正确；
=
∴该抛物线的顶点坐标为（）
∴该抛物线的顶点都在直线y=x上，故④错误．
故答案为：①, ③ ．
（5）当时，即
解得，
∴．
∴
（6）由（5）知：，
∴=，=．
∴，
解得k=5．
∴ 的解析式为：．
【点睛】此题考查的是二次函数的综合大题，此题难度较大，掌握求抛物线的顶点坐标、与x轴的交点坐标是解决此题的关键．
…
（___，___）
…
…
…