专题22.8 实际问题与二次函数之六大题型-九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc8047" 【典型例题】 PAGEREF _Tc8047 \h 1
\l "_Tc22856" 【题型一 拱桥问题】 PAGEREF _Tc22856 \h 1
\l "_Tc1373" 【题型二 销售问题】 PAGEREF _Tc1373 \h 6
\l "_Tc15026" 【题型三 投球问题】 PAGEREF _Tc15026 \h 11
\l "_Tc23207" 【题型四 喷水问题】 PAGEREF _Tc23207 \h 19
\l "_Tc13528" 【题型五 图形问题】 PAGEREF _Tc13528 \h 27
\l "_Tc19018" 【题型六 图形运动问题】 PAGEREF _Tc19018 \h 33
【典型例题】
【题型一 拱桥问题】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度为120米，与中点O相距30米处有一高度为27米的系杆．以所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系．

(1)求抛物线的解析式；
(2)正中间系杆的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米（不考虑系杆的粗细），是否存在一根系杆的长度恰好是长度的？请说明理由．
【答案】(1)
(2)正中间系杆的长度是36米，不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出正中间系杆的长度是36米，再建立方程求解即可．
【详解】（1）结合图象由题意可知：，，
设该抛物线解析式为：，
则：，
解得：，
∴．
（2）当时，，
∴正中间系杆的长度是36米．
设存在一根系杆的长度是的，即这根系杆的长度是12米，
则，
解得．
∵相邻系杆之间的间距均为3米，最中间系标在轴上，
∴每根系杆上的点的横坐标均为整数．
∴与实际不符．
∴不存在一根系杆的长度恰好是长度的．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，涉及到了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程等知识，解题关键是读懂题意，找出数量关系，列出方程，并根据实际意义求解．
【变式训练】
1．（2023秋·山西晋城·九年级校考期末）如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽为，拱顶内高．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中（原点O是的中点）．

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽，高的大型货运卡车是否可以通过？为什么？
【答案】(1)
(2)一辆宽，高的大型货运卡车可以通过，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出当时，x的值，再根据车辆宽且只能在中心的两侧行驶进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，点C的坐标为，点A和点B的坐标分别为，
设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：一辆宽，高的大型货运卡车可以通过，理由如下：
在中，当时，解得，
∵，
∴，
∴一辆宽，高的大型货运卡车可以通过．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
2．（2023·河南郑州·校考三模）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为20米时，拱顶点O距离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

(1)求抛物线的解析式；
(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为5米，宽为3米的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）．
【答案】(1)该抛物线的解析式；
(2)水面宽度为米．
【分析】（1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为，把点A的坐标代入求出a，c的值即可；
（2）把代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再把代入计算即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，

∴桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面高度为4米，
∴点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式；
（2）解：∵船宽5米，
∴当时，，
若该渔船能安全通过，此时水面高为米，
∴当时，，
解得，
∴水面宽度为米．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，运用二次函数解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
3．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）某公司生产A型活动板房的成本是每个3500元．图1表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点E到的距离为．

(1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；
(2)现将A型活动板房改造成为B型活动板房．如图2，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点G、M在上，点F、N在抛物线上，窗户的成本为150元/．已知，求每个B型活动板房的成本．（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户的成本）
【答案】(1)
(2)每个B型活动板房的成本为3725元
【分析】（1）根据题意得出，设该抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得出，继而求出矩形的面积，列式求解即可．
【详解】（1）∵长方形的长，宽，抛物线的最高点E到的距离为，
∴，
∴，
∴，
设该抛物线的函数表达式为，
把代入，得，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）∵，
∴，
当时，，
∴，，
∴，
∴（元），
所以，每个B型活动板房的成本为3725元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，准确理解题意，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【题型二 销售问题】
例题：（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）某超市以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系、经过市场调查获得部分数据如下表：
(1)请直接写出与之间的函数关系式______；
(2)超市应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)超市每销售1千克这种农产品需支出元（）的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为243元，求的值．
【答案】(1)
(2)40元/千克
(3)2
【分析】（1）由题意知，销售价格每增加5元，销售量减少15千克，设与之间的函数关系式为，待定系数法求得，然后作答即可；
（2）设日销售利润为元，由题意得：，根据二次函数的图象与性质进行判断求解即可；
（3）设日获利为元，由题意得：，则对称轴为直线，①若，则当时，有最大值，最大值为：，即不符合题意，舍去；②若，则当时，有最大值，将代入，得：，当时，，解得，（舍去）．
【详解】（1）解：由题意知，销售价格每增加5元，销售量减少15千克，
所以p与x之间的函数关系为一次函数关系；
设与之间的函数关系式为，
将，代入得，，解得，
∴，
故答案为：；
（2）解：设日销售利润为元，
由题意得：，
∵，抛物线开口向下，
∴当时，有最大值300．
∴这批农产品的销售价格定为40元/千克，才能使日销售利润最大；
（3）解：设日获利为元，
由题意得：，
∴对称轴为直线，
①若，则当时，有最大值，最大值为：
，
∴不符合题意，舍去；
②若，则当时，有最大值，将代入，得：
，
当时，，
解得，（舍去），
综上所述，的值为2．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式训练】
1．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元．若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤，若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．
(1)若降价2元，则每天的销售利润是多少元？
(2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降低多少元？（其他成本忽略不计）
(3)将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)若降价2元，则每天的销售利润是1040元；
(2)应降低5元；
(3)将商品的销售单价定为元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大，最大利润是元．
【分析】（1）根据题意，每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，若每斤的价格降低2元，则可增加20斤，再根据每斤利润×销量可得解；
（2）根据每天盈利1100元列方程，解出x的值即可求解；
（3）设每天盈利y元，根据题意建立二次函数，根据二次函数的图象及性质即可求得．
【详解】（1）解：根据题意，降价2元则销售量为（斤），
销售利润为：（元），
答：若降价2元，则每天的销售利润是1040元；
（2）解：设每斤“阳光玫瑰葡萄”应降价x元，
根据题意得：，
整理得：，
解得，
∵为了尽快减少库存，
∴，
此时，
答：每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤25元；
（3）解：设水果商每天获得的利润为y元，
根据题意得： ，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为，
此时，
答：将商品的销售单价定为元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用问题，根据等量关系列方程及二次函数，利用二次函数的图象及性质求解是解题的关键．
2．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）某农户生产经销一种地方特产．已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w元
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于每千克30元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【答案】(1)
(2)该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元
(3)每千克25元
【分析】（1）根据利润=销量×一件的利润列出关系式即可；
（2）把函数关系式化成顶点式求解即可；
（3）把代入关系式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∴w与x之间的函数解析式为；
（2）解：由（1）得：，
∵，
∴当时，w有最大值，且最大值为；
∴该产品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
（3）解：当时，可得，
解得：，
∵，
∴舍去，
∴该农户想要每天获得150元的销售利润，售价应定为每千克25元；
【点睛】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，根据条件得出函数解析式或方程是解题的关键．
3．（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）2022年北京冬奥会期间，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到人们的广泛欢迎．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融．

(1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
(2)预计冬奥会闭幕后需求会有所下降，该网店需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，因此决定降价出售．经过市场调查发现：销售单价每降低10元，每天可多卖出两套当销售单价降低m元时，每天的利润为W．求当m为何值时利润最大最大利润是多少？
【答案】(1)每次上涨的百分率为
(2)当降价钱数m为20元时，每天的利润W可达到最大，最大利润是2000元
【分析】（1）设每次上涨的百分率为x，根据销售单价经过两次的调整，从每套150元上涨到每套216元，列出方程，即可求解；
（2）根据题意列出W关于m的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设每次上涨的百分率为x，根据题意得：
，
解得：（不合题意，舍去），
答：每次上涨的百分率为；
（2）解：根据题意得：


∴当时，W最大，最大值为2000，
答：当降价钱数m为20元时，每天的利润W可达到最大，最大利润是2000元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【题型三 投球问题】
例题：（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．

(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能；理由见解析
【分析】（1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解；
（2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意设关于的函数表达式为，
把代入解析式得，，
解得，，
∴关于的函数表达式为：，
即：．
（2）解：不能得满分，理由如下，
根据题意，令，且，
∴，
解方程得，，（舍去），
∵，
∴不能得满分．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·河南安阳·统考一模）小红为了研究抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离．如图，用计算机编程模拟显示，当弹跳球以某种特定的角度和初速度从坐标为的点处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，其最高点的坐标为．弹跳球落到倾斜角为的斜面上反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，且开口大小和方向均不变，但最大高度只是抛物线的．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若斜面被坐标平面截得的截图与轴的交点的坐标为，求抛物线的对称轴．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，由题意得，该抛物线的顶点坐标是，抛物线经过点，待定系数法求解析式即可求解．
（2）由题意，设解析式为，将点代入，得出解析式为，联立抛物线的解析式得出反弹点的坐标为，依题意，设抛物线的解析式为，将代入抛物线的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ．
由题意得，该抛物线的顶点坐标是，
．
该抛物线经过点，
解之，得．
（2）由题意，设解析式为，将点代入，
，
解得：,
∴
令，
解之，得舍去，
反弹点的坐标为．
由题意，设抛物线的解析式为
将代入抛物线的解析式，得舍去或
即抛物线的对称轴为直线
【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
2．（2023·河北·统考中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．

(1)写出的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
【答案】(1)的最高点坐标为，，；
(2)符合条件的n的整数值为4和5．
【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值；
（2）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴的最高点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为，令，则；
（2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为，
当经过时，，
解得；
当经过时，，
解得；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和5．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
3．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：
(1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；

(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________；
②求满足条件的抛物线解析式；
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】(1)见解析
(2)①；；②
(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为
【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，；
②待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，

（2）①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是，
当时，，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：；．
②设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（3）∵当时，抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
依题意，当时，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
4．（2023·河南信阳·校考三模）实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m，实心球运动至最高点时距地面3.4m，距出手点的水平距离为4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为y（m），实心球距出手点的水平距离为x（m）．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．

(1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式．
(2)若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到12.4m为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分．
(3)第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记小军第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为，则______（填“＞”“＜”“＝”）．
【答案】(1)
(2)不能得满分
(3)＜
【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入解得a即可；
（2）令，解得x，与12.4m比较即可；
（3）令，解得x，根据（2）所得即可比较与．
【详解】（1）由题意，可知抛物线最高点的坐标为，
设抛物线的表达式为，
将代入，得，
解得．
∴第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为；
（2）令，解得（负值已舍去），
∴实心球出手点与着陆点的水平距离为m．
∵，即，∴，
∴小军第一次投掷实心球不能得满分．
（3）∵，
解得（负值已舍去），
，，
，，
∴．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【题型四 喷水问题】
例题：（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）某公司为城市广场上一雕塑安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，距离地面，喷出的水柱轨迹呈抛物线型．据此建立如图的平面直角坐标系．若喷出的水柱轨迹上，任意一点与支柱的水平距离x（单位：）与广场地面的垂直高度为y（单位：）满足关系式，且点在抛物线上

(1)求该抛物线的表达式；
(2)求水柱落地点与雕塑的水平距离；
(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到的距离）控制在7到14之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度
【答案】(1)
(2)14米
(3)米
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可；
（2）求出抛物线与x轴正半轴交点的横坐标即可；
（3）利用待定系数法求出抛物线的表达式，化为顶点式，求出最大值，与（2）中水柱喷水的半径为时的最大高度比较后即可得到答案．
【详解】（1）解：把，代入，
得，
解得，
∴；
（2）在中，
令，得，
解得或（舍去），
∴水柱落地点与雕塑的水平距离是14米；
（3）当水柱喷水的半径为时，抛物线经过，，代入，得
，
解得．
∴，
∴当时，喷水池水柱的最大高度是米；
由（2）知，当水柱喷水的半径为时，，
∴当时，喷水池水柱的最大高度是米．
∵，
∴喷水池水柱的最大高度是米．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，用到了待定系数法、函数的顶点式和最值问题等知识，读懂题意准确计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．

(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．
【答案】(1)y关于x的函数表达式为；
(2)运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为．
【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解；
（2）令，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，
设抛物线的表达式为，
∴，解得，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：令，则，
解得（负值舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．
2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米如图，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围．
【答案】(1)，喷出水的最大射程为
(2)点的坐标为
(3)
【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标；
（3）根据，求出点的坐标，利用灌溉车行驶时距离绿化带的增减性可得的最大值和最小值，从而得出答案．
【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
∴，
，
上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得，舍去，
喷出水的最大射程为；
（2）解：∵对称轴为直线，
点的对称点为，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
点的坐标为；
（3）解：∵，
点的纵坐标为，
，
解得，
，
，
当时，随的增大而减小，
当时，要使，
则，
当时，随的增大而增大，且时，，
当时，要使，则，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
的最小值为，
综上所述，的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
3．（2023·江西抚州·校联考三模）如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装置灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点．

(1)的值为______；
(2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；
(3)若点B横坐标为18，水柱能超过点B，则a的取值范围为______；
(4)若时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由．
【答案】(1)1
(2)水柱与坡面之间的最大铅直高度为米
(3)
(4)水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树，理由见解析
【分析】（1）代入抛物线与y轴的交点的坐标即可求解；
（2）根据已知条件求出抛物线解析式及直线解析式，设抛物线上一点P点横坐标为t，作作轴交于点Q，用t表示P点和Q点的坐标，并计算的长度，建立关于t的二次函数，在取值范围内求最大值即可；
（3）代入B点横坐标到一次函数解析式，求出对应纵坐标；代入点、抛物线对称轴及B点横坐标到二次函数解析式，建立不等式进行求解；
（4）根据平移求得平移后的抛物线解析式，代入到抛物线解析式和直线解析式进行对比即可．
【详解】（1）代入到抛物线解析式，得：；
故答案为：1；
（2）设抛物线的解析式为
将点代入，得
抛物线的解析式为
即
坡地经过点
的解析式为
如解图，

设抛物线上一点，过点P作轴交于点Q，
则，的长为
，
函数图像开口向下，d有最大值
根据顶点公式当时，有最大值
水柱与坡面之间的最大铅直高度为米；
故答案为：水柱与坡面之间的最大铅直高度为米；
（3）由（2）知，直线的解析式为，
时，
，
抛物线的解析式为，即，
当时，，要使水柱能超过点B则，
解得
故答案为：；
（4）不能；
当灌溉装置水平向后移动4米时，由（2）可得平移后的抛物线解析式为．
将代入抛物线解析式，得，
将代入直线OB解析式，得
水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求解二次函数解析式和直线解析式、平移规律求二次函数解析式、根据坐标关系及二次函数求线段最大值是解题的关键．
【题型五 图形问题】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五象站铁路枢纽接入地铁4号线．目前4号线剩余的东段（五象火车站-龙岗站）已经在建设中，施工方决定对终点站龙岗站施工区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长的砖墙，然后打算用长的铁皮围栏靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏（平行于）的长方形施工区域．

(1)设施工区域的一边为，施工区域的面积为．请求出S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当围成的施工区域面积为时，的长是多少？
(3)该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/，项目方打算拨款120000元用于施工，请你通过计算判断项目方的拨款能否够用．
【答案】(1)；
(2)当的长是12米时，围成的施工区域面积为；
(3)拨款够用．理由见解析
【分析】（1）根据题意可得到S与x的函数关系式为：，自变量x的取值范围是：；
（2）当围成的施工区域面积为时：，解一元二次方程即可求得；
（3）由，结合，利用二次函数的性质即可求得最大面积，以及所需费用，即可判断.
【详解】（1）解：根据题意得：，
，
解得：，
∴S与x的函数关系式为：；
（2）解：由（1）知：，
∵围成的施工区域面积为，
∴，
解得：（舍去）或，
∴当的长是12米时，围成的施工区域面积为；
（3）解：拨款够用．解析如下：
∵，
∵，函数图像的对称轴为直线：，
∴当时，S随x的增大而减小，
∴当时，施工区域有最大面积，
所需费用为，
答：拨款够用．
【点睛】本题是面积问题(二次函数综合)，考查了二次函数的性质及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）某景区要建一个游乐场（如图所示），其中分别靠现有墙（墙长为27米，墙足够长），其余用篱笆围成．篱笆将游乐场隔成等腰直角和长方形两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．设的长为x米．
(1)则的长为 米（用含x的代数式表达）；
(2)当多长时，游乐场的面积为320平方米？
(3)直接写出当为多少米时，游乐场的面积达到最大，最大值为多少平方米？
【答案】(1)
(2)当长为16米时，游乐园的面积是320平方米；
(3)当为12米时，游乐场的面积达到最大，最大值为360平方米．
【分析】（1）根据的长=篱笆总长得出结论；
（2）根据矩形的面积与等腰直角三角形的面积的和=320列出方程，解方程即可，并根据BE的取值范围得出结论；
（3）根据游乐场的面积=矩形的面积与等腰直角三角形的面积的和列出函数解析式，由函数的性质求出最大．
【详解】（1）解：由题意知，，
设的长为x米，则的长为米，
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
解得，
∵，
解得，
∴，
答：当长为16米时，游乐园的面积是320平方米；
（3）解：设游乐场的面积为y平方米，
由题意得：，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为360，
答：当为12米时，游乐场的面积达到最大，最大值为360平方米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意用x表示的长．
2．（2023·广东深圳·统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；

(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；

(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．

【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
∵四边形为矩形，为的中垂线，
∴，，
∵，
∴点，代入，得：
，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵四边形，四边形均为正方形，，
∴，
延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，

∴，
∴，
∵，当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴；
（3）∵，垂直平分，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
∵太阳光为平行光，
设过点平行于的光线的解析式为，
由题意，得：与抛物线相切，
联立，整理得：，
则：，解得：；
∴，当时，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
【题型六 图形运动问题】
例题：（2023·江苏·模拟预测）如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动：同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）．
(1)当t为何值时，的面积为；
(2)求四边形面积的最小值．
【答案】(1)或时，的面积为；
(2)四边形面积的最小值为．
【分析】（1）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论；
（2）利用配方法求出函数顶点坐标求得面积的最大值，即得四边形面积的最小值．
【详解】（1）解：由题意得：，，
；
由题意得：，
解得或，
∴或时，的面积为；
（2）解：∵且，
∵，
∴当时，的面积最大，最大值是．
此时，四边形面积取得最小值，最小值为．
【点睛】此题是三角形和二次函数的综合题，主要考查了动点运动问题，三角形的面积，二次函数的应用，难度适中，正确表示出的长是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·四川宜宾·九年级统考期中）如图，等腰三角形的直角边，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以每秒1个单位的速度做匀速运动，已知点P沿射线运动，点Q沿射线运动，的连线与直线相交于点D．设点P运动的时间为，的面积为S．
(1)求S关于的函数关系式．
(2)当t为多少时，的面积与的面积相等？
(3)当点P在边上运动时，过点P作于点E．在点P，Q运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当，的面积与的面积相等
(3)线段的长度是定值，
【分析】（1）分点在线段上，和点在线段的延长线上两种情况，讨论求解即可．
（2）求出的面积，令列式计算即可．
（3）过作，交直线于点，证明和都是等腰直角三角形，推出，进而，得到连接，得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，得到，即可得解．
【详解】（1）解：∵点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以每秒1个单位的速度做匀速运动，
∴在边的运动时间为：；
①当时，，
此时：，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②当时：此时：，
∴；
综上：；
（2）解：∵等腰三角形的直角边，
∴，
①当时，，即：，
此方程无解；
②当时，，即：，
整理，得：，
解得：（舍去）；
∴当，的面积与的面积相等；
（3）解：线段的长度是定值；
过作，交直线于点，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴和都是等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴，即：，
连接，则四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，是解题的关键．注意分类讨论．
2．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在中，，，，点P从点A出发以的速度向点C运动，到点C停止，过点P作交点Q，以线段的中点为对称中心将旋转得到，点A的对应点为点D，设点P的运动时间为，与重合部分的面积为S（）．

(1)求当点D落在边上时t的值；
(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
(3)直接写出当是等腰三角形时t的值．
【答案】(1)2
(2)
(3)1或或
【分析】（1）由题意易得，然后可得方程，进而问题可求解；
（2）由题意可分当时和当时，进而分类求解即可；
（3）由题意可当时，当时，当时，然后分类求解即可．
【详解】（1）解：如图，当点D落在边上时，

．
由，解得，
所以当点D落在边上时t的值是2．
（2）解：当时，如图，

，．
；
当时，如图，

，，
．
综上，；
（3）解：当时，如图，

，
由，解得；
当时，如图5，
，，
由，解得（负值舍去）；

当时，如图6，
，，
由，
解得，（舍去）．
综上，当是等腰三角形时t的值为1或或．
【点睛】本题主要考查勾股定理、二次函数的综合及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理、二次函数的综合及等腰三角形的性质是解题的关键．
销售价格（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量（千克）
60
45
30
15
0
水平距离x/
竖直高度y/