2023-2024学年北京八十中高三（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京八十中高三（下）开学数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={1,2,3}，B={x|x2−1=0}，则A∪B=( )
A. {1,2,3}B. {−1,1,2,3}C. {1}D. {−1,0,1,2,3}
2.复数z=i1−i(i是虚数单位)的共轭复数z在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知向量a,b满足|a|=1，|b|= 2，a−b=( 3, 2)，则|a+b|=( )
A. 2 2B. 10C. 1D. 2 5
4.下列函数既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=1x−1B. f(x)=(12)|x|
C. f(x)=lg(x2+1)D. f(x)=x−1x
5.( x−1x)5的展开式中，x的系数为( )
A. −5B. −10C. 5D. 10
6.设F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.在△ABC中，AD为∠A的角平分线，D在线段BC上，若|AB|=2，|AD|=|AC|=1，则|BD|=( )
A. 22B. 2C. 2D. 3 22
8.已知函数f(x)=ax+a，则“a>−1”是“函数f(x)在[1,+∞)上存在最小值”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.已知数列{an}满足：an+1⋅an+an+1−4an+2=0，则下列命题正确的是( )
A. 若数列{an}为常数列，则a1=1
B. 存在a1∈(1,2)，使数列{an}为递减数列
C. 任意a1∈(0,1)，都有{an}为递减数列
D. 任意a1∈(2,+∞)，都有20)上有且仅有2个零点，求t的取值范围．
条件①：函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；
条件②：函数f(x)的图象经过点(π2,1)；
条件③：函数f(x)的最大值与最小值的和为1．
18.(本小题15分)
某公司在2013～2022年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：
注：年返修率=年返修台数÷年生产台数．
(1)从2013～2021年中随机抽取两年，求这两年中至少有一年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；
(2)公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013～2021年中随机选出3年，记X表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求X的分布列和期望；
(3)记公司在2013～2017年，2018～2022年的年生产台数的方差分别为s12，s22.若s12=s22，请写出a的值.(只需写出结论)
(注：s2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋯+(xn−x−)2]，其中x−为数据x1，x2，⋯，xn的平均数)
19.(本小题15分)
已知椭圆C：x2m+y2=1(m>0)，F1、F2为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，满足|MF1|+|MF2|=2 2，O为坐标原点．
(Ⅰ)求椭圆C的方程和离心率．
(Ⅱ)设点P(0,2)，过P的直线l与椭圆C交于A、B两点，满足PA=tPB，点D满足AD=tDB满足，求证：点D在定直线上．
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=eax−x−1
(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若对任意的实数k，b，函数y=f(x)+kx+b与直线y=kx+b总相切，则称函数f(x)为“恒切函数”.当a=1时，若函数g(x)=ex2f(x)+m是“恒切函数”，求证：−180时，根据复合函数的单调性可知，f(x)单调递增，符合题意；
f(x)=x−1x为奇函数，不符合题意．
故选：C．
结合基本初等函数及复合函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本初等函数及复合函数奇偶性及单调性的判断，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：( x−1x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r×( x)5−r×(−1x)r=C5r×(−1)r×x52−32r，
令52−32r=1，得r=1，
∴x的系数为C51×(−1)1=−5．
故选：A．
先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得x的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F(p2,0)，准线方程x=−p2，
显然点A的横坐标为2，
根据抛物线定义得|AF|=2+p2=3，∴p=2．
故选：B．
先根据题意求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，再利用抛物线的几何性质，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属基础题．
7.【答案】B
【解析】解：如图所示，依题意设∠BAD=∠CAD=θ，
由S△ABC=S△ABD+S△ADC，可得
12|AB||AC|sin2θ=12|AB||AD|sinθ+12|AC||AD|sinθ，
即sin2θ=sinθ+12sinθ=32sinθ，即2sinθcsθ=32sinθ，
显然sinθ≠0，可得csθ=34，
在△ABD中，由余弦定理可得
csθ=|AB|2+|AD|2−|BD|22|AB||AD|=22+12−|BD|22×2×1=34，
解得|BD|= 2．
故选：B．
根据角平分线利用三角形等面积公式可得cs∠BAD=34，再由余弦定理即可求得|BD|= 2．
本题考查三角形中的几何计算，考查倍角公式及余弦定理，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：(1)当a=0时，f(x)=0恒成立，所以f(x)在[1,+∞)上存在最小值，最小值为0；
(2)当a>0时，f(x)=ax+a，其图象可以看作是由函数y=ax(a>0)的图象向左平移a个单位长度得到的，所以f(x)在[1,+∞)上只有最大值，没有最小值；
(3)当a2成立，
由选项B知，对任意 an>2，
则数列{an}为递减数列，
故an≤a1，
故D正确．
故选：D．
解方程判断A，利用单调性结合数学归纳法判断BD，举反例判断C．
本题考查了数列的递推关系，重点考查了数学归纳法，属中档题．
10.【答案】A
【解析】解：以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图，
则A(0,0,0)，B(3,0,0)，D(0,3,0)，C1(3,3,3)，AB=(3,0,0),AD=(0,3,0),AC1=(3,3,3)，
不妨设平面α的法向量为n=(x,y,z)，且x，y，z>0，
由已知dB=|AB⋅n||n|=1dD=|AD⋅n||n|= 2，得9x2=x2+y2+z29y2=2(x2+y2+z2)，
则y2=2x2，z2=6x2，
则dC1=|AC1⋅n||n|=3|x+y+z| x2+y2+z2= 6+ 2+1．
故选：A．
设平面α的法向量为n=(x,y,z)，且x，y，z>0，应用向量法表示点面距，进而求C1到平面α的距离．
本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间向量及其应用，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】{x|x>1，且x≠2}
【解析】解：函数y=1lg(x−1)的定义域为x−1>0lg(x−1)≠0，
解得{x|x>1，且x≠2}．
故答案为：{x|x>1，且x≠2}．
由题设知函数y=1lg(x−1)的定义域为x−1>0lg(x−1)≠0，由此能求出其结果．
本题考查对数函数的定义域，解题时要注意分母不能为0．
12.【答案】2 33
【解析】解：由双曲线y2−mx2=1，得y2−x21m=1，
则a=1，b= 1m，其渐近线方程为y=± mx，即 mx±y=0，
∵双曲线y2−mx2=1的一条渐近线为 3x−y=0，
∴ m= 3，可得m=3，则c= 1+1m=2 33．
∴该双曲线的离心率为e=ca=2 33．
故答案为：2 33．
由已知求解m值，进一步求出c，则双曲线的离心率可求．
本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】12 23
【解析】解：当a=12，b=23时，满足a+b≥1，但a3+b3=18+827