苏科版九年级下册数学第5章《二次函数》检测卷（附答案解析）

这是一份苏科版九年级下册数学第5章《二次函数》检测卷（附答案解析），共28页。
九年级下册数学检测卷第5章《二次函数》姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________一、单选题（共24分）1．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝ax＋2b（ab≠0）的图象大致如图（ ）A． B． C． D．2．（3分）二次函数的图象上有两点和，则此抛物线的对称轴是直线（ ）A． B． C． D．3．（3分）将抛物线y＝5x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（　　）A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x+2）2﹣3C．y＝5（x﹣2）2+3 D．y＝5（x﹣2）2﹣34．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点一定不在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（3分）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥AB距离为（ ）A．180m B．200m C．220m D．240m6．（3分）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：从上表可知，下列说法正确的个数是（ ）①抛物线与x轴的一个交点为 ②抛物线与y轴的交点为③抛物线的对称轴是：直线 ④在对称轴左侧y随x的增大而增大A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）如图所示是函数的部分图象，与轴交于点，对称轴是直线．下列结论：（1）；（2）；（3）当时，；（4），（为任意实数）．其中正确结论的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（3分）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．若点在函数的图象上，则其“可控变点”的纵坐标关于的函数图象大致正确的是（ ）A． B． C． D．二、填空题（共30分）9．（3分）用配方法把二次函数y＝﹣x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为______．10．（3分）已知，二次函数的部分对应值如下表，则____.11．（3分）已知函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围为______．12．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，请直接写出不等式ax2+bx+c＞0的解集_____．13．（3分）已知函数y＝﹣x2+2x+1，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，则实数a的取值范围是_____．14．（3分）若抛物线与直线的公共点的坐标是（1，4），（5，4），则这条抛物线的对称轴是直线____________．15．（3分）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于，两点，拱桥最高点到的距离为，，，为拱桥底部的两点，且，若的长为，则点到直线的距离为______．16．（3分）如图，将函数y＝ （x－2）2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A′，B′，若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是__________.17．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2＋4x＋c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是_______ ．18．（3分）如图，一段抛物线y＝﹣x2+4x（0≤x≤4），记为C1，它与x轴交于点O、A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3⋯如此进行下去，直至得抛物线C2021．若点P（m，3）在第2021段抛物线C2021上，则m＝___．三、解答题（共96分）19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，5）．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）连接AC、BC，求△ABC的面积．20．（10分）小明同学在用描点法画二次函数图象时，由于粗心，他算错了一个y值，列出了下面表格：（1）请指出这个错误的y值，并说明理由；（2）若点M（m，y1），N（m+4，y2）在二次函数y＝ax2+bx+c图象上，且m＞1，试比较y1与y2的大小．21．（10分）某企业接到一批电子产品的生产任务，按要求在30天内完成，约定这批电子产品的出厂价为每件70元．该企业第x天生产的电子产品数量为y件，y与x满足如下关系式：（1）求该企业第几天生产的电子产品数量为400件；（2）设第x天每件电子产品的成本是Р元，P与x之间的关系可用下图中的函数图像来表示．若该企业第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？22．（10分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．（1）P，Q两点出发2秒后，△PBQ的面积是多少？（2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2，请写出S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．23．（10分）已知抛物线与轴有两个交点和，与轴交于点，顶点为点．（1）求的取值范围；（2）若，求的值；（3）若，点在抛物线上，且是直角三角形，直接写出点的坐标．24．（10分）国庆期间，某商场销售一种商品，进货价为20元/件，当售价为24元/件时，每天的销售量为200件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件．设销售单价为x（元/件）（x≥24），每天销售利润为y（元）．（1）直接写出y与x的函数关系式为：　 　；（2）若要使每天销售利润为1400元，求此时的销售单价；（3）若每件小商品的售价不超过36元，求该商场每天销售此商品的最大利润．25．（12分）已知二次函数y=ax2的图象与直线y=x+2交于点（2，m）（1）判y=ax2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以及当x>0时，y的值随x值的增大而变化的情况；（2）设直线y=x+2与抛物线y=ax2的交点分别为A、B．如图所示，试确定A、B两点的坐标；（3）连接OA、OB，求△AOB的面积．26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（−1，3）的“可控变点”为点（−1，−3）．（1）点（−5，−2）的“可控变点”坐标为______；（2）若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标是7，求“可控变点”Q的横坐标；（3）若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标的取值范围是，直接写出实数a的值．27．（12分）如图，二次函数的图象与轴正半轴交于点，平行于轴的直线与该抛物线交于、两点（点位于点左侧），与抛物线对称轴交于点．（1）求的值；（2）设、是轴上的点（点位于点左侧），四边形为平行四边形．过点、分别作轴的垂线，与抛物线交于点，、，．若，求、的值．x…012…y…04664…x…﹣10123…y＝ax2+bx+c…53236…参考答案1．B【分析】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；C、由抛物线可知a＞0，b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质．2．D【分析】利用二次函数的对称性可求得对称轴．【详解】解：两点（3，-8）和（-5，-8）关于对称轴对称，对称轴x=，则此抛物线的对称轴是直线x=-1．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是注意二次函数关于对称轴左右对称．3．B【分析】先确定抛物线y=-5x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后得到点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】解：抛物线y=-5x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到点的坐标为（-2，-3），所以平移后的抛物线解析式为y=-5（x+2）2-3．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4．D【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，再根据的取值范围，分类讨论，即可判断顶点所在的象限．【详解】解：（1）∵，∴顶点坐标为∴当时，，，顶点在第三象限；当时，，，顶点在第二象限；当时，，，顶点在第一象限；综上所述，抛物线的顶点一定不在第四象限，故选：D．【点睛】本题考察了二次函数解析式的转化，坐标轴上点的性质，熟悉相关性质是解题的关键．5．B【分析】以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，则可知顶点的坐标，从而可得此抛物线顶端到连桥距离．【详解】解：以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：，，，设抛物线的解析式为，将代入，得：，解得：，，抛物线顶端的坐标为，此抛物线顶端到连桥距离为．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键．6．C【分析】根据表格中信息，可得点，在抛物线上，从而得到①②正确；又有当 时， ，当 时，，可得抛物线的对称轴为 ，故③错误；根据 ，得到抛物线开口向下，可判断④正确；即可求解．【详解】解：根据表格中信息，得：当 时， ，当时 ， ，∴点，在抛物线上，故①②正确；根据表格中信息，得：当 时， ，当 时，，∴抛物线的对称轴为 ，故③错误；∵ ，∴抛物线开口向下，∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，故④正确；所以正确的有①②④，共3个．故选：C．【点睛】此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与自变量和的函数值的对应关系，也考查了利用自变量和对应的函数值确定抛物线的对称轴和增减性，熟练掌握相关知识点是解题的关键．7．D【分析】先求出抛物线与轴的另一交点（-1，0），确定＞0， b＜0， c＜0符号，由符号法则可判断（1）正确；利用当=-1时的函数值可判断（2）正确；由时，抛物线图像在轴下方可判断（3）正确；当=1时，抛物线取最小值y=，利用函数图像上任意一点的函数值可判断（4）正确即可．【详解】解：∵与轴交于点，对称轴是直线，设与轴另一交点为（n,0），∴，解得，∴另一交点为（-1，0），抛物线开口向上，＞0；对称轴在y轴右侧，b＜0，抛物线与y轴交点在轴下方，则c＜0，∴，故（1）正确；当=-1时，，故（2）正确；当时，抛物线图象在x轴下方，即当时，，故（3）正确；当=1时，抛物线取最小值=设函数图像上任意一点的横坐标为m，其函数值，整理得，故（4）正确其中正确结论的个数有4个故选择D．【点睛】本题考查抛物线的符号，函数值，不等式问题，掌握抛物线的性质是解题关键．8．A【分析】画出函数y=-x2+2x+3的图象，根据“可控变点”的定义找出y′关于x的函数图象，由此即可得出结论．【详解】解：画出函数y=-x2+2x+3的图象，如图所示．将y轴右侧的图象关于x轴颠倒过来，即可得出y′关于x的函数图象．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解“可控变点”的定义．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象的变换找出图形是关键．9．y＝﹣（x+1）2+5．【解析】【分析】直接利用配方法表示出顶点式即可．【详解】解：∵y=-x2-2x+4=-（x2+2x）+4=-（x+1）2+5．故答案为：y=-（x+1）2+5．【点睛】此题主要考查二次函数的三种形式，正确配方法是解题关键．10．12.【分析】根据二次函数的对称性结合表格数据可知，x=-3时的函数值与x=5时的函数值相同．【详解】由表格可知，f（-3）=f（5）=12．故答案是：12．【点睛】考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获取信息是解题的关键．11．k≤4【分析】分为两种情况：①当k-3≠0时，（k-3）x2+2x+1=0，求出Δ=b2-4ac=-4k+16≥0的解集即可；②当k-3=0时，得到一次函数y=2x+1，与x轴有交点；即可得到答案．【详解】解：①当k-3≠0时，（k-3）x2+2x+1=0，Δ=b2-4ac=22-4（k-3）×1=-4k+16≥0，解得：k≤4；②当k-3=0时，y=2x+1，与x轴有交点；故k的取值范围是k≤4，故答案为：k≤4．【点睛】本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．12．1＜x＜3【解析】【分析】直接写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集为1＜x＜3．故答案为1＜x＜3．【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．13．a≥1【解析】【分析】结合函数y=-x2+2x+1的图象和性质，及已知中当-1≤x≤a时函数的最大值是2，可得实数a的取值范围．【详解】解：函数 y=-（x-1）2+2的图象是开口朝下且以x=1为对称轴的抛物线，当且仅当x=1时，函数取最大值2，∵函数y=-x2+2x+1，当-1≤x≤a时，函数的最大值是2，∴a≥1，故答案为a≥1【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．14．x=3【分析】因为点（1，4），（5，4）的纵坐标都为4，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=求解即可．【详解】解：抛物线与直线的公共点的坐标是（1，4），（5，4），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x=，即x=3．故答案为：3．【点睛】本题考查抛物线与x轴的平行线交点问题．掌握抛物线的性质，会利用关于对称轴对称的两点坐标求对称轴是解题关键．15．10m【分析】以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，求出点B坐标，设该抛物线的表达式为y=ax2，代入点B坐标求出解析式，进而求得点E坐标，即可求解．【详解】解：根据题意，以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B（12，﹣8），设该抛物线的表达式为y=ax2，将B（12，﹣8）代入，得：﹣8=a·122，解得：a=，∴该抛物线的表达式为y=x2，当x=18时，y=×182=﹣18，∴E（18，﹣18），∴点到直线的距离为﹣8﹣（﹣18）=10m，故答案为：10m．【点睛】本题考查二次函数的应用、求二次函数的解析式式，建立适当的平面直角坐标系，借助二次函数数学模型解决实际问题是解答的关键．16．y＝(x－2)2＋4【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4-1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解．【详解】∵函数y=（x-2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1-2）2+1=1，n=（4-2）2+1=3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC=4-1=3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=9，∴AA′=3，即将函数y=（x-2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=（x-2）2+4．故答案是：y=（x-2）2+4.【点睛】考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题关键．17．2≤m≤4【分析】根据完美点的概念令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，方程的根为，从而求得a＝﹣1，c＝，所以函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．【详解】解：令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，又方程的根为，解得a＝﹣1，c＝，故函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，∴2≤m≤4，故答案为：2≤m≤4．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程之间的关系，解决本题的关键是能利用解一元二次方程求出二次函数的解析式，能利用二次函数图像的增减性求出自变量的取值范围，本题对学生的数形结合的能力有一定的要求．18． 或【分析】先利用抛物线与 轴的交点问题得到，利用旋转的性质得到 ,同理可得： ,依次规律得到 ,抛物线 可看成抛物线 向右平移个单位长度得到的，确定抛物线 上点 和点 向右平移 个单位所得到的坐标为 ， ，由此得到答案．【详解】解： ， 图象与轴交点坐标为 ， ， ,将 绕点 旋转 得到 ,交轴于点 ， ,同理可得： , , ,由题意可知：抛物线 可看成抛物线向右平移 个单位长度得到的，令 ，解得 或 ， 点 和点 向右平移 个单位所得到的坐标为 ，， 的值为 或．故答案为： 或．【点睛】此题考查抛物线与几何变换，抛物线与 轴交点坐标，抛物线上特殊点的坐标，旋转的性质，平移的性质，图形的变换规律，正确确定抛物线的平移规律是解题的关键．19．（1）；（2）【分析】（1）由条件直接设出抛物线的顶点式，把C点的坐标代入解析式就可以求出值，从而求出解析式；（2）连接AC、BC，利用解析式求出A、B的坐标，从而求出AB的值，由三角形的面积公式就可以求出△ABC的面积．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为， 把C（0，4）代入中得：，，抛物线的解析式为：；（2）如图所示：连接AC、BC， 抛物线的解析式为，当时，则，，，，，，．【点睛】本题考查二次函数综合题，设计了抛物线的顶点式以及三角形面积的求法，熟练掌握待定系数法和x轴交点的求法是解题的关键．20．（1）5，理由见解析；（2）【分析】（1）先根据待定系数法求解析式，再根据二次函数图象关于对称轴对称，进而判断错误的值；（2）根据二次函数的性质判断即可．【详解】（1）根据二次函数图象关于对称轴对称，由在函数图象上，将代入得解得函数解析式为对称轴为可知时，，故这个错误的y值为5；（2）点M（m，y1），N（m+4，y2）在二次函数图象上，且m＞1，二次函数的对称轴为，开口向上，当时，随的增大而增大【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．21．（1）第20天；（2）第19天时，利润最大，最大值为15210元【分析】（1）根据求得x即可；（2）先根据函数图象求得P关于x的函数解析式，再结合x的范围分类讨论，根据“总利润=单件利润×数量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可．【详解】解：（1）若，则，与不符，∴，解得，符合，故第20天生产了400件电子产品；（2）由图像得，当时，；当时，设，把，代入得，，解得，∴．分三种情况：①当时，，当时，w有最大值，最大值为8600（元）；②当时，，当时，w有最大值，最大值为15050（元）；③当时，，当时，w有最大值，最大值为15210（元）．综上，第19天时，利润最大，最大值为15210元．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题．22．（1）经过2秒后，△PBQ的面积等于8cm2；（2）S=-t2+6t，△PBQ面积的最大值为9cm2．【分析】（1）由题意，PB=4，BQ=4，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=BP×BQ，解答出即可；（2）利用三角形面积公式表示S=×（6-t）×2t=-t2+6t=-（t-3）2+9，利用二次函数的性质解题．【详解】解：（1）经过2秒后，PB=6-2=4，BQ=2×2=4，∴S△PBQ=BP×BQ=×4×4=8(cm2)答：经过2秒后，△PBQ的面积等于8cm2；（2）经过t秒后，PB=6-t，BQ=2t，∴S=×PB×BQ=×（6-t）×2t=-t2+6t=-（t-3）2+9，∴在移动过程中，△PBQ的最大面积是9cm2．【点睛】本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意，列出相应的函数关系式，运用二次函数的性质解题．23．（1）m＞-1；（2）；（3）点P的坐标为（2，-1）或（3，2）．【分析】（1）由抛物线与轴有两个交点A和，可得有两个不等实根，由△=4+4m＞0，解不等式即可；（2）由，可得，，可求点A（），B（）由，可求，解方程即可；（3），抛物线为可得，点D（1，-2）点C（0，-1），设点P的横坐标为，点P（，）分别求出CD，DP，CP，分类考虑当∠D=90°，∠C=90°，∠P=90°时，根据勾股定理，列出方程求解即可．【详解】解：（1）抛物线与轴有两个交点A和，令y=0，即有两个不等实根，∴△=4+4m＞0，解得m＞-1；（2）∵解得∴，∴点A（），B（）∵∴，∴∴；（3）∵，∴∴点D（1，-2）令=0,y=-1,点C（0，-1）设点P的横坐标为，点P（，）∴CD=，DP=，CP=当∠D=90°时，根据勾股定理CP2=CD2+DP2，则，解得或（舍去）点P（2，-1）当∠C=90°时，根据勾股定理DP2=CD2+CP2，则解得或（舍去）点P（3，2）当∠P=90°时，过点D作DE⊥y轴于E，延长CP交DE于F，点E（0，-2）∠CED=90°，∵点P在△CED内，∴∠CPD＞∠PFD＞∠CED，∴此种情况不存在点P，使∠P=90°综合点P的坐标为（2，-1）或（3，2）．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴两交点距离，抛物线内接三角形是直角三角形，勾股定理，三角形外角先性质，掌握抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴两交点距离，抛物线内接三角形是直角三角形，根据勾股定理建构方程是解题关键．24．（1）；（2）此时的销售单价为30元或34元；（3）该商场每天销售此商品的最大利润为1440元．【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）由（1）及题意可得，进而求解方程即可；（3）由可得该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，进而根据二次函数的性质可求解．【详解】解：（1）由题意得：y与x的函数关系式为：；故答案为；（2）由题意得：，解得：；答：此时的销售单价为30元或34元．（3）由可得，∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，∵每件小商品的售价不超过36元，∴当时，该商场每天销售此商品的利润为最大，最大值为1440；答：该商场每天销售此商品的最大利润为1440元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质及一元二次方程的求解是解题的关键．25．（1）抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），当x>0时，y随x的增大而增大；（2）A点坐标为（2，4），B点坐标为（-1，1）；（3）3．【分析】（1）将点（2，m）代入y=x+2可求得m，即可确定交点坐标，然后把代入y=ax2可得a的值；再根据二次函数的性质确定顶点坐标、对称轴以及当x>0时，y随x的增大而变化的情况；（2）联立两个函数解析式，即可求得A、B两点的坐标；（3）先求出y=x+2与y轴交点的坐标，然后根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：（1）将点（2，m）代入y=x+2，解得m=4，所以交点坐标为（2，4），把（2，4）代入y=ax2可得a=1所以二次函数解析式为y=x2，所以抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；所以当x>0时，y随x的增大而增大；（2）由题意得x2=x+2，解得x=2或x=-1，则y=4或y=1；所以A点坐标为（2，4），B点坐标为（-1，1）；（3）由y=x+2与y轴交点的坐标为（0，2）所以△AOB的面积=．【点睛】本题主要考查二次函数的性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标与二次函数解析式的关系是解答本题的关键．26．（1）（-5，2）；（2）3或-；（3）a=4．【分析】（1）根据可控变点的定义，可得答案；（2）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【详解】解（1）∵-5＜0，∴y'=-y=2，即点（-5，-2）的“可控变点”坐标为（-5，2）；（2）由题意得y=-x2+16的图象上的点P的“可控变点”必在函数y′=的图象上，∵“可控变点”Q的纵坐标y′的是7，∴当-x2+16=7时，解得x=3，当x2-16=7时，解得x=-，故答案为：3或-；（3）由题意得∵-16≤y′≤16，∴-16=-x2+16，∴x=4，观察图象可知，实数a=4．【点睛】本题是新定义题型，根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．27．（1）；（2）或．【分析】（1）根据直线与抛物线对称轴交于点可得对称轴为直线，由此即可求得b 的值；（2）先求得点B、C的坐标，可得，再根据四边形为平行四边形可得，即，最后根据，，可得或，由此分别与联立方程组求解即可．【详解】解：（1）∵直线与抛物线的对称轴交于点，∴抛物线的对称轴为直线，即，∴．（2）由（1）得：抛物线的解析式为，把代入抛物线的解析式，得，解得或3，∴、两点的坐标为，，∴，∵四边形为平行四边形，∴，∴，又∵，，，∴，即∴，∴或，由，解得由解得∴、的值为或．【点睛】本题考查了二次函数的图像性质以及平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的相关性质是解决本题的关键。