2023-2024学年湖北省武汉市江岸区七一华源中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市江岸区七一华源中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列事件是随机事件的是( )
A. 在标准大气压下，水在100℃沸腾B. 买一张福利彩票，中奖
C. 实数的绝对值是负数D. 度量一个三角形的三个内角，和为180°
2.以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.解方程x2−2x−3=0，可用配方法将其变形为( )
A. (x−1)2=4B. (x+1)2=4C. (x−1)2=2D. (x+1)2=2
4.已知一元二次方程x2+4x−1=0的两根分别为m，n，则mn−m−n的值是( )
A. 5B. 3C. −3D. −5
5.某市“菜花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2016年约为20万人次，2018年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是( )
A. 20(1+2x)=28.8B. 28.8(1+x)2=20
C. 20(1+x)2=28.8D. 20+20(1+x)+20(1+x)2=28.8
6.已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定
7.已知点A(−3,y1)，B(−1,y2)，C(2,y3)在函数y=−x2−2x+b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为
( )
A. y18.有A、B两个不透明的盒子，A中装有红球2个、黄球1个，B中装有红球、黄球各1个，这些球除颜色外都相同.现从A、B两个盒子中任意各摸出一个球，摸出的两个球都为红球的概率是( )
A. 13B. 23C. 34D. 56
9.如图，AB是半圆⊙O的直径，点C在半圆上，I是△ABC的内心，连AI、BI、OI，OI⊥BI，下列结论：①∠AIO=45°；②BI=2OI；③AI= 2BI；④AB+BC=2AC.其中正确的结论个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.已知二次函数y=ax2+bx(a≠0)经过点P(m,2).当y≤−1时，x的取值范围为n−1≤x≤−3−n，则下列四个值中有可能为m的是( )
A. −2B. −3C. −4D. −5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在平面直角坐标系中，点P(3,−4)关于原点对称点P′的坐标是______．
12.如图，A、B在⊙O上，点C在劣弧AB弧上，∠AOB=130°，则∠ACB的度数为______．
13.一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的弧长为______.(结果保留π)
14.一个口袋中有7个黑球和若干个白球，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色……，不断重复上述过程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，根据上述数据，可估计口袋中的白球大约有______个.
15.关于二次函数y=2x2−mx+m−2(m为常数)的结论：
①该函数的图象与x轴总有公共点；
②不论m为何值，该函数图象必经过一个定点；
③若该函数的图象与x轴交于A、B两点，且AB>1，则m>6；
④若x>1时，y随x的增大而增大，则m≤4.其中说法正确的是______．
16.在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，点D为平面上一点，∠ADC=45°，连接BD，若CD=4，BD=8，则AD的长度为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
若关于x的一元二次方程x2−6x+2m+1=0有两个相等的实数根，求m的值及此时方程的根．
18.(本小题8分)
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，D是BC边上一点，把点D绕点A逆时针旋转100°得到点E，且点E在BA的延长线上，连接CE，DE．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求证：EC=ED．
19.(本小题8分)
2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目.小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
(1)小明购买门票在A区观赛的概率为______；
(2)求小明和小张在同一区域观看比赛的概率.(请用画树状图或列表等方法说明理由)
20.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12.∠BAC的平分线AD交BC于D，经过A、D两点的⊙O交AB于E，且点O在AB上．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)求AF的长．
21.(本小题8分)
如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、C在格点上，点B在网格线上，以AB为直径的半圆的圆心为O，请用无刻度的直尺作图．
(1)在BC延长线上找一点M，使∠AMB=90°；
(2)在BC上找一点D，使OD=12AC；
(3)在半圆上找一点E，使AE平分∠CAB；
(4)在线段AB上作一点P，满足AP=AC．
22.(本小题10分)
某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元/件，设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是z=15,0(1)直接写出m、n的值：m= ______，n= ______；
(2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y=5x+20，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？
(3)若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，直接写出实数a的取值范围______．
23.(本小题10分)
(1)如图1，在△ABC与△ADE中，若AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，则存在一对全等三角形，请写出这对全等三角形并证明；
(2)如图2，在等边△ABC中，BC=6，点D在BC上，以AD为边在其右侧作等边三角形ADE，F是DE的中点，连结BF，若BD=2，求BF的长；
(3)如图3，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=12，点D在CB的延长线上，以AD为斜边在其右侧作等腰Rt△ADE，连结BE，直接写出BE的最小值为______．
24.(本小题12分)
已知二次函数y=ax2−4ax+c的最小值为−1，该函数图象与x轴交于点A、B(A在B右侧)，与y轴交于点C，点B坐标为(1,0)．

(1)求二次函数解析式；
(2)如图1，点P是抛物线对称轴l上一点，且点P的纵坐标为t，当△PAC是锐角三角形时，求t的取值范围；
(3)如图2，点E为y轴负半轴一点，AE与抛物线交于M，作E关于x轴的对称点F，连结AF，交抛物线于点N，连结MN，请你探究线段MN与线段EF的数量关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、在标准大气压下，水在100℃沸腾属于必然事件，不合题意；
B、买一张福利彩票，中奖，属于随机事件，符合题意；
C、实数的绝对值是负数，属于不可能事件，不合题意；
D、度量一个三角形的三个内角，和为180°是必然事件，不合题意，
故选：B．
随机事件是可能发生也可能不发生的事件，依据定义找到正确选项即可．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念；必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2.【答案】D
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵x2−2x−3=0，
∴x2−2x=3，
则x2−2x+1=3+1，即(x−1)2=4，
故选：A．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
4.【答案】B
【解析】解：∵一元二次方程x2+4x−1=0的两根为m，n，
∴m+n=−4，mn=−1，
∴mn−m−n=mn−(m+n)=−1+4=3．
故选：B．
利用一元二次方程的根与系数的关系进行计算即可．
本题考查了根与系数的关系，正确记忆根与系数的关系式是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20(1+x)2=28.8，
故选：C．
设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2016年约为20万人次，2018年约为28.8万人次”，可得出方程．
主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
6.【答案】C
【解析】解：∵⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，3<5，
∴直线l与⊙O相离．
故选：C．
根据“若dr，则直线与圆相离”即可得到结论．
本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d>r时，直线l和⊙O相离是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质，找出所求问题需要的条件．根据二次函数图象具有对称性和二次函数图象上点的坐标特征，可以判断y1、y2、y3的大小，从而可以解答本题．
【解答】
解：∵y=−x2−2x+b，
∴函数y=−x2−2x+b的对称轴为直线x=−1，开口向下，
当x<−1时，y随x的增大而增大，当x>−1时，y随x的增大而减小，
∵−1−(−3)=2，−1−(−1)=0，2−(−1)=3，
∴y3故选B．
8.【答案】A
【解析】解：画树形图如下
共有6种等可能的结果，摸出的两个球都为红球的结果有2种，
所以摸出的两个球都为红球的概率为26=13，
故选：A．
画树状图展示所有6种等可能的结果数，摸出的两个球都为红球的结果有2种，由概率公式即可得出结果．
本题考查了列表法与树状图法，解答本题的关键是明确：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
9.【答案】D
【解析】解：∵AB是半圆⊙O的直径，
∴∠C=90°，∠CAB+∠CBA=90°，
∵I是△ABC的内心，
∴∠CAI=∠BAI=12∠CAB，∠CBI=∠ABI=12∠CBA，
∴∠BAI+∠ABI=12(∠CAB+∠CBA)=45°，
∴∠AIB=180°−(∠BAI+∠ABI)=135°，
∵OI⊥BI，
∴∠BIO=90°，
∴∠AIO=∠AIB−∠BIO=45°，①正确，故符合要求；
如图，延长IO到E，使IO=OE，连接AE，
∵IO=OE，∠BOI=∠AOE，BO=AO，
∴△BOI≌△AOE(SAS)，
∴∠AEI=∠BIO=90°，AE=BI，
∴∠IAE=45°=∠AIE，
∴AE=IE=2OI，
∴BI=2OI，②正确，故符合要求；
由勾股定理得，AI= AE2+IE2= 2AE= 2BI，③正确，故符合要求；
如图，延长BI交AC于F，
∴∠AIF=90°−∠AIO=45°=∠AIO，
∵∠AIF=∠AIO，AI=AI，∠IAF=∠IAO，
∴△AIF≌△AIO(ASA)，
∴IF=IO，
设IF=OI=a，则BI=2a，BF=3a，
由勾股定理得OB= OI2+BI2= 5a，AB=2OB=2 5a，
∵∠OBI=∠FBC，∠BIO=90°=∠BCF，
∴△BIO∽△BCF，
∴OBBF=BIBC，即 5a3a=2aBC，解得，BC=6 5a5，
由勾股定理得，AC= AB2−BC2=8 5a5，
∵2 5a+6 5a5=16 5a5=2×8 5a5，
∴AB+BC=2AC，④正确，故符合要求；
故选：D．
由AB是半圆⊙O的直径，可得∠C=90°，由I是△ABC的内心，可求∠BAI+∠ABI=12(∠CAB+∠CBA)=45°，则∠AIB=135°，∠AIO=45°，可判断①的正误；如图，延长IO到E，使IO=OE，连接AE，证明△BOI≌△AOE(SAS)，则可证BI=2OI，进而可判断②的正误；由勾股定理得，AI= AE2+IE2= 2AE= 2BI，进而可判断③的正误；如图，延长BI交AC于F，证明△AIF≌△AIO(ASA)，则IF=IO，设IF=OI=a，则BI=2a，BF=3a，由勾股定理得OB= 5a，AB=2 5a，证明△BIO∽△BCF，求得BC=6 5a5，由勾股定理得，AC=8 5a5，计算求解可判断④的正误．
本题考查了直径所对的圆周角为直角，内心，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，内心，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：当y≤−1时，ax2+bx≤−1，x的取值范围为n−1≤x≤−3−n，
∴(n−1,−1)，(−3−n,−1)为抛物线上的点，且抛物线开口向上，
∴对称轴为x=n−1−3−n2=−2，
∴−b2a=−2，
∴b=4a，
∴y=ax2+4ax=a(x+2)2−4a，
∴−4a≤−1，
∴a≥14，
将(m,2)代入解析式中得，am2+4am=2，
∴a=2m2+4m≥14，
∴0解得−2−2 3≤m<−4或0故选：D．
由当y≤−1时，ax2+bx≤−1，x的取值范围为n−1≤x≤−3−n，得到对称轴为x=n−1−3−n2=−2，从而b=4a，将(m,2)代入解析式中得，am2+4am=2，用含m的式子表示a，由−4a≤−1，得a≥14，进而求出a的范围即可得答案．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征．
11.【答案】(−3,4)
【解析】解：点P(3,−4)关于原点对称点P′的坐标是(−3,4)．
故答案为：(−3,4)．
直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
12.【答案】115°
【解析】解：∵∠AOB=130°，
∴∠ADB=12∠AOB=65°，
∵∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠ACB=115°．
故答案为：115°．
根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算即可．
本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
13.【答案】2π
【解析】解：根据弧长的公式l=nπr180，
得到：l=120π×3180=2π，
故答案是：2π．
根据弧长的公式l=nπr180进行计算即可．
本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
14.【答案】28
【解析】解：由题可得出摸到黑球的概率是：20100=15，
因此摸到白球概率是1−15=45，
设口袋中约有x个白球，由题可得x7+x=45，
解得：x=28，
所以口袋中大约有28个白球．
由小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，可估计出摸到白球的概率为45；设口袋中约有x个白球，依据概率公式列出关于x的方程求解即可．
本题主要考查的是用频率估计概率，掌握概率公式是解题的关键．
15.【答案】①②④
【解析】解：∵Δ=(−m)2−4×2×(m−2)=m2−8m+16=(m−4)2≥0，
∴该函数的图象与x轴总有公共点，所以①正确；
∵y=2x2−mx+m−2，
∴(x−1)m=2x2−y−2，
当m有无数个值时，x−1=0且2x2−y−2=0，
解得x=1，y=0，
∴不论m为何值，该函数图象必经过点(1,0)，所以②正确；
解方程2x2−mx+m−2=0得x1=m−22，x2=1，
∴点A、B的坐标为(m−22,0)，(1,0)，
∵AB>1，
∴|m−22−1|>1，
解得m>6或m<2，所以③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=−−m2×2=m4，
而抛物线的开口向上，
∴当x≥m4时，y随x的增大而增大
∵x>1时，y随x的增大而增大，
∴m4≤1，
解得m≤4，所以④正确．
故答案为：①②④．
通过计算根的判别式得到Δ=(m−4)2≥0，则根据根的判别式的意义可对①就判断；把二次函数解析式变形为关于m的不定方程得到(x−1)m=2x2−y−2，由于m有无数个值，x则−1=0且2x2−y−2=0，解得x=1，y=0，所以该函数图象经过点(1,0)，从而可对②进行判断；利用公式法解方程2x2−mx+m−2=0得点A、B的坐标为(m−22,0)，(1,0)，所以|m−22−1|>1，然后解不等式得到m>6或m<2，则可对③进行判断；由于抛物线的对称轴为直线x=m4，抛物线的开口向上，根据二次函数的性质得到当x≥m4时，y随x的增大而增大，而x>1时，y随x的增大而增大，所以m4≤1，然后解不等式得m≤4，于是可对④进行判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
16.【答案】6 2或2 6
【解析】解：若点D在AC的左侧，过点A作AF⊥AD，交DC的延长线于点F，连接BF，如图：
则∠DAF=90°=∠BAC，∠AFD=45°=∠ADC，
∴AF=AD，
∴∠CAD=∠DAF−∠CAF=∠BAC−∠BAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△BAD和△CAF中，
AB=AC∠BAD=∠CAF,AD=AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴CF=BD=8，
∴FD=CF+CD=8+4=12，
在Rt△ADF中，AD=DF⋅cs∠ADC=12× 22=6 2；
若点D在AC的右侧，过点A作AF⊥AD，交DC的延长线于点F，连接BF，如图：
则∠DAF=90°=∠BAC，
∠AFD=45°=∠ADC，
∴∠DAF−∠CAF=∠BAC−∠CAF，
即∠CAD=∠BAF，AF=AD，
在△BAF和△CAD中，
AB=AC∠BAF=∠CAD,AF=AD
∴△BAF≌△CAD(SAS)，
∴BF=CD=4，∠AFB=∠ADC=45°，
∴∠BFD=∠AFB+∠AFD=90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理，得DF= BD2−BF2= 82−42=4 3，
在Rt△ADF中，AD=DF⋅cs∠ADC=4 3× 22=2 6，
综上所述，AD的长度为6 2或2 6．
故答案为：6 2或2 6．
分为点D在AC的左侧和点D在AC的右侧，分别画图计算即可
本题主要考查解直角三角形、全等三角形的判定与性质及勾股定理得综合运用，熟练掌握解直角三角形和全等三角形的判定和性质是解题的关键．
17.【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2−6x+2m+1=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(−6)2−4×1×(2m+1)=0，
解得：m=4，
∴原方程为x2−6x+9=0，即(x−3)2=0，
解得：x1=x2=3，
∴m的值为4，此时方程的根为3．
【解析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ=0，可列出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及配方法解一元二次方程，牢记“当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
18.【答案】证明：(1)∵点D绕点A逆时针旋转100°得到点E，
∴AD=AE，∠DAE=100°，
∵∠BAC=100°，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE−∠DAC=∠BAC−∠DAC，即∠EAC=∠DAB，
在△ABD和△ACE中，AB=AC∠DAB=∠EACAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
(2)∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠ACB=40°，
∵AD=AE，∠DAE=100°，
∴∠AED=∠ADE=40°，
∴∠B=40°=∠AED，
∴BD=DE，
由(1)知△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴CE=DE．
【解析】(1)根据点D绕点A逆时针旋转100°得到点E，可得AD=AE，∠DAE=100°，从而∠DAE=∠BAC，得即∠EAC=∠DAB，用SAS即可证明△ABD≌△ACE；
(2)根据AB=AC，∠BAC=100°，得∠B=∠ACB=40°，而AD=AE，∠DAE=100°，得∠AED=∠ADE=40°，即知∠B=40°=∠AED，BD=DE，再利△ABD≌△ACE，即可求证．
本题考查旋转的性质，全等三角形判定与性质，解题的关键是掌握旋转的旋转，熟练应用全等三角形判定定理．
19.【答案】14
【解析】解：(1)由题意得，小明购买门票在A区观赛的概率为14．
故答案为：14．
(2)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果有4种，
∴小明和小张在同一区域观看比赛的概率为416=14．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小张在同一区域观看比赛的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20.【答案】(1)证明：如图所示，连接OD，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BAC的平分线AD交BC于D，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD/​/AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；

(2)解：如图所示，过点O作OM⊥AC于M，连接OF，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，
∴tanB=ACBC=34，AB= AC2+BC2=15，
∴sin∠BAC=BCAB=45，
设CD=x，则BD=BC−CD=12−x，
在Rt△BOD中，tanB=ODBD=34，
∴OD=34BD=9−34x，
∵OM⊥AC，BC⊥AC，OD/​/AC，
∴OM=CD=x，
在Rt△AOM中，sin∠OAM=OMOA=45，
∴x9−34x=45，
解得x=92，
∴OM=92,OA=458，
∴AM= OA2−OM2=278，
∵OM⊥AF，
∴AF=2AM=274．

【解析】(1)如图所示，连接OD，根据等边对等角得到∠OAD=∠ODA，由角平分线的性质得到∠OAD=∠CAD，进而证明∠ODA=∠CAD推出OD/​/AC，则∠ODB=∠C=90°，由此即可证明结论；
(2)如图所示，过点O作OM⊥AC于M，连接OF，先解Rt△ABC得到tanB=34，AB=15，则sin∠BAC=45，设CD=x，则BD=12−x，则解Rt△BOD，得到OD=9−34x，再由平行线的性质得到OM=CD=x，再解Rt△AOM得到x9−34x=45，解得x=92，则OM=92,OA=458，利用勾股定理得到AM=278，则由垂径定理可得AF=2AM=274．
本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，垂径定理，平行线的性质与判定，等边对等角，角平分线的定义等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图：延长BC与圆交于M，则点M即为所求；

根据圆周角定理即可得出∠AMB=90°；
(2)如图：取AC的中点K，连接BK，CO交于S，连接并延长AS交BC于D，则D是BC的中点，点D即为所求；

由题意可得点S即为△ABC的重心，点D即为边BC的中点，OD即为△ABC的中位线，故OD=12AC；
(3)取AC的中点K，连接BK，CO交于S，连接并延长AS交BC于D，则D是BC的中点，连接OD并延长交半圆于E，连接AE，点E即为所求；

由(2)可知AC/​/OE，OE=OA，
∴∠CAE=∠OAE，∠OAE=∠OEA，
∴∠CAE=∠OAE，
∴OE是∠CAB的角平分线；
(4)如图：
同(2)作BC的中点D，连接OD并延长交半圆于E，连接AE交BC于G，连接并延长BE交AC延长线于F，连接FG并延长交AB于P，点P即为所求；

由(3)知OE是∠CAB的角平分线，
∵∠AEB=90°，
∴△ABF、△GBF是等腰三角形，
∴AF=AB，GB=GF，
∴∠AFB=∠ABF，∠GFB=∠GBF，
∴∠AFG=∠ABG，
∴△AFP≌△ABG(ASA)，
∴AP=AC．
【解析】(1)延长BC与圆交于M，则点M即为所求；
(2)利用网格线的特征作出AC的中点K，连接BK，CO交于S，连接并延长AS交BC于D，则D是BC的中点，点D即为所求；
(3)取AC的中点K，连接BK，CO交于S，连接并延长AS交BC于D，则D是BC的中点，连接OD并延长交半圆于E，连接AE，点E即为所求；
(4)同(2)作BC的中点D，连接OD并延长交半圆于E，连接AE交BC于G，连接并延长BE交AC延长线于F，连接FG并延长交AB于P，可证△AFP≌△ABC，故点P满足AP=AC，点P即为所求；
本题考查作图−应用与设计作图，涉及圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形中位线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】−14 18 400【解析】解：(1)把x=16时，z=14；x=20时，z=13代入y=mx+n得：
16m+n=1420m+n=13，
解得m=−14,n=18；
故答案为：−14，18；
(2)设第x个生产周期创造的利润为w万元，由(1)知，
当0∴w=(z−10)y=5(5x+20)=25x+100，
∵5>0，0∴当x=12时，w取得最大值，最大值为400，
当12∴w=(z−10)y=(−14x+18−10)(5x+20)=(−14x+8)(5x+20)=−54x2+35x+160=−54(x−14)2+405，
∵−54<0,12∴当x=14时，w取得最大值，最大值为405，
∴综上，当x=14时，w取得最大值，最大值为405，
∴工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元；
(3)当0∴w=(15−10)(5x+20=25x+100,
∴w=25x+100(0则w与x的函数图象如图所示：
由图象可知，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，
∴当x=13，15时w=403.75，
当x=12，16时，w=400，
∴a的取值范围400(1)用待定系数法求出m，n的值即可；
(2)当0(3)求出0本题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．
23.【答案】3 2
【解析】解：(1)△BAD≌△CAE；理由如下：
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)；
(2)如图2，连接CE，取DC中点H，连接FH，过点F作FN⊥CD于N，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°=∠ABC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE=2，∠ABD=∠ACE=60°，
∴∠BCE=120°，
∵BC=6，BD=2，
∴CD=4，
∵H是CD的中点，
∴DH=CH=4，
又∵F是DE中点，
∴FH=12CE=1,FH//EC，
∴∠DHF=∠BCE=120°，
∴∠FHC=60°，
∵FN⊥CD，
∴∠HFN=30°，
∴HN=12FH=12,FN= 3HN= 32，
∴BN=92，
∴BF= BN2+FN2= 21；
(3)如图3，过点A作AH⊥BC于点H，连接HE，过点E作EN⊥BC于点N，
设BD=x，BE=y，
在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=12，AH⊥BC，
∴BH=CH=AH=6，∠BAH=∠ABH=45°，
∴AB= 2AH，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE,∠DAE=45°,AD= 2AE，
∴∠DAE=∠BAH，
∴∠BAD=∠HAE，
∵ABAH= 2=ADAE，
∴△ABD∽△AHE，
∴∠AHE=∠ABD=45°,BDHE=ABAH= 2，
∴∠EHN=45°,HE= 22x，
∵EN⊥BC，
∴∠HEN=∠EHN=45°，
∴EN=HN，
∴EH= 2EN，
∴EN=12x=HN，
∵BE2=EN2+BN2，
∴y=14x2+(6+12x)2=12x2+6x+36=12(x+6)2+18．
∴y的最小值为18，
∴BE的最小值为3 2，
故答案为：3 2．
(1)由“SAS”可证△BAD≌△CAE；
(2)由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE=2，∠ABD=∠ACE=60°，由三角形中位线定理可求FH=1，FH/​/EC，由勾股定理可求解；
(3)通过证明△ABD∽△AHE，可得HE=∠ABD=45°,BDHE=ABAH= 2，可得HE= 22x，由等腰直角三角形的性质可求EN，HN的长，由勾股定理可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键．
24.【答案】解：(1)将点B坐标为(1,0)代入得：0=a−4a+c，即3a=c，
二次函数y=ax2−4ax+3a的对称轴为：x=−−4a2a=2，
最小值为−1，y=4a−8a+3a=−1，
解得：a=1，
故y=x2−4x+3；
(2)由题意得：抛物线对称轴为x=2，
当t>0时，如图1，过点C作CG⊥AC交直线x=2于点G，

当点P与点G重合时，△PAC是直角三角形；
当∠APC=90°时，△PAC是直角三角形．
设AC交直线x=2于点H，
∵直线AC对应的函数表达式为y=−x+3，
∴当x=2时，y=1，
∴H(2,1)，
∴yC=3，xA=3，
∴∠CHG=∠ACO=45°，
∴∠CHG=∠GCH=45°，
∴CH= (0−2)2+(3−1)2=2 2．
∴CG=CH=2 2，
∴△CHG是等腰直角三角形．
∴HG= 2CH= 2×2 2=4．
∴G(2,5)．
设P(2,q)，则AP2=12+q2，CP2=22+(q−3)2=q2−6q+13．
∵AC2=32+32=18．
∴当∠APC=90°时，18=q2−6q+13+12+q2，
解得q=3− 172(不合题意，舍去)或q=3+ 172，
∴P(2,3+ 172)．
∵△PAC是锐角三角形，
∴3+ 172当t<0时，如图2，过点A作AM⊥AC交直线x=2于点M，

当点P与点M重合时，△ACM是直角三角形，
当AM⊥AC时，M(2,−1)，
当∠APC=90°时，同理可得AP2+PC2=AC2，
即18=q2−6q+13+12+q2．
解得q=3− 172或q=3+ 172(不合题意，舍去)，
∴−1综上所述，当△PAC是锐角三角形时，3+ 172(3)设F(m,0)，E(−m,0)，
∵点B坐标为(1,0)，对称轴为：x=2，
∴A(3,0)，
设AE解析式为：y=k′x+b′，将A(3,0)，E(−m,0)代入解得：k′=−m3b′=m，
∴AE解析式为：y=−m3x+m，
设AF解析式为：y=k″x+b″，A(3,0)，F(m,0)代入解得：，
∴AF解析式为：y=m3x−m，
设N(t′,t′2−4t′+3)，M(n,n2−4n+3)，
将其代入AE、AF解析式得：t′2−4t′+3=m3t′−m，n2−4n+3=−m3n+m，
整理得：m(t′−3)=3(t′−1)(t′−3)，−m(n−3)=3(n−1)(n−3)，
∵点E为y轴负半轴一点，M、N两点不与点A重合，
∴t′≠3，n≠3，
∴m=3(t′−1)，−m=3(n−1)，
即t′=m3+1，n=−m3+1，
∴MN2=(t′−n)2+(t′2−4t′+3−n2+4n−3)2
=(t′−n)2+(t′2−n2−4t′+4n)2
=(t′−n)2+[(t′−n)(t′+n)−4(t′−n)]2
=(t′−n)2+(t′−n)2(t′+n−4)2
=(t′−n)2[1+(t′+n−4)2]
将t′=m3+1，n=−m3+1代入得：MN2=(23m)2[1+(2−4)2]=209m2，
∵m>0，
∴MN=2 53m，
∵EF=2m，
∴MN= 53EF．
【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)分为t>0和t<0两种情况分别画图找出临界点解答即可；
(3)设F(m,0)，E(−m,0)，求出AE、AF解析式，设N(t′,t′2−4t′+3)，M(n,n2−4n+3)，将其代入AE、AF解析式，得出t′=m3+1，n=−m3+1，从而表示出MN=2 53m，EF=2m，即可求解．
该题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数解析式求解，二次函数解析式求解，等知识点，解题的关键是能够运用数形结合的思想进行解答．