2023-2024学年湖北省随州市随县九年级（上）联考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省随州市随县九年级（上）联考数学试卷（12月份）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(2,−3)，则它的图象也一定经过的点是( )
A. (−2,−3)B. (−3,−2)C. (1,−6)D. (6,1)
3.下列事件中，属于随机事件的有( )
①任意画一个三角形，其内角和为360°；
②投一枚骰子得到的点数是奇数；
③经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；
④从日历本上任选一天为星期天．
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④
4.关于x的方程x2+mx+6=0的一个根为−2，则另一个根是( )
A. −3B. −6C. 3D. 6
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=145°，则∠AOC的大小是( )
A. 75°
B. 100°
C. 70°
D. 60°
6.在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移5个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是( )
A. y=3(x−5)2+5B. y=3(x−5)2−5
C. y=5(x+5)2+5D. y=3(x+5)2−5
7.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得到△ADE，若∠E=70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC=( )
A. 80°
B. 85°
C. 90°
D. 95°
8.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是( )
A. 6米B. 8米C. 18米D. 24米
9.2024元旦将近，九(3)班数学社团在迎新聚会上，大家长都相互握了一次手互祝新年顺利，经统计所有人一共握了66次手，则这次参加聚会的人数是( )
A. 11B. 12C. 22D. 33
10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的大致图象为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O，H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为( )
A. 73π−78 3B. 43π+78πC. πD. 43π+ 3
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
12.已知a、b、c满足a3=b4=c6，a、b、c都不为0，则a+bc−b=______．
13.如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于______度时，AC才能成为⊙O的切线．
14.如图，点A是反比例函数y=12x(x>0)的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y=kx(x>0)的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点.若△PAB的面积为2，则k的值为______．
15.关于x的一元二次方程x2+x=n有两个不相等的实数根，则抛物线y=x2+x−n的顶点在第 象限．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
请选择适当方法解下列方程：
(1)2x(x−3)+x=3；
(2)2x2−6x+1=0(公式法)．
17.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1)、B(−3,2)、C(−1,4)．
(1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1．
(2)画出△ABC绕C点逆时针旋转90°后得到的△A2B2C.
18.(本小题6分)
邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：
某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．
(1)在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是______；
(2)在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．
19.(本小题8分)
如图，反比例函数y1=kx(k≠0)与一次函数y2=−x+b的图象在第一象限交于A(1,3)、B(3,n)两点．
(1)则k= ______，b= ______，n= ______．
(2)观察图象，请直接写出满足y1≥y2的取值范围．
(3)若Q为y轴上的一点，使QA+QB最小，求点Q的坐标．
20.(本小题8分)
今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
21.(本小题8分)
如图，BE是圆O的直径，A在EB的延长线上，∠AOD=∠APC，弦PD垂直于BE于点C．
(1)求证：AP为圆O的切线；
(2)若OC：CB=1：2，AB=6，求圆O的半径及PCCE的值．
22.(本小题9分)
如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为(−32,−10).运动员(将运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原点O的抛物线.在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为(1,54)，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误.运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM=212,EN=272，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a(x−h)2+k，且顶点C距水面5米，若该运动员出水点D在MN之间(包括M，N两点)，请直接写出a的取值范围______．
23.(本小题10分)
问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边△ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE．

(1)【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；
(2)【探究应用】如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC；
(3)【拓展提升】如图3，若△ABC是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE.点D在运动过程中，△DEC的周长最小值= ______(直接写答案)．
24.(本小题12分)
如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A和B(3,0)两点，与y轴交于C(0,−2)，对称轴为直线x=54，连接BC，在直线BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点N，交x轴于点M，
(1)求抛物线与直线BC的函数解析式；
(2)设点M的坐标为(m,0)，求当以PN为直径的圆与y轴相切时m的值；
(3)若点P在线段BC上运动，则是否存在这样的点P，使得△CPN与△BPM相似，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请写出理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
将(2,−3)代入y=kx(k≠0)即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(2,−3)，
∴k=2×(−3)=−6，
A、−2×(−3)=6≠−6，故A不正确，不符合题意；
B、(−3)×(−2)=6≠−6，故B不正确，不符合题意；
C、1×(−6)=−6，故C正确，符合题意；
D、6×1=6≠−6，故D不正确，不符合题意．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：①任意画一个三角形，其内角和为360°，是不可能事件；
②投一枚骰子得到的点数是奇数，是随机事件；
③经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件；
④从日历本上任选一天为星期天，是随机事件．
故选：B．
直接利用随机事件以及不可能事件的定义分析得出答案．
此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：设方程的另一根为x1，
又∵x2=−2，
∴根据根与系数的关系可得：x1+(−2)=−mx1⋅(−2)=6，
解得：x1=−3，m=5．
故选：A．
可将该方程的已知根−2代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出m值和方程的另一根．
此题考查根与系数的关系，此题也可先将x=−2代入方程x2+mx+6=0中求出m的值，再利用根与系数的关系求方程的另一根．
5.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∵∠ADC=145°
∴∠B=180°−145°=35°．
∴∠AOC=2∠B=70°．
故选：C．
根据圆内接四边形的性质求得∠B=35°，利用圆周角定理，得∠AOC=2∠B=70°．
此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出∠B的度数是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：抛物线y=3x2的顶点坐标为(0,0)，把点(0,0)向下、向左平移5个单位(−5,−5)，所以在新坐标系中此抛物线的解析式为y=3(x+5)2−5．
故选：D．
该题实际上是将抛物线y=3x2向下、向左平移2个单位，根据“左加右减”的规律解答即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
7.【答案】B
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转65°得△ADE，
∴∠BAD=65°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=85°．
故选：B．
由旋转的性质可得∠BAD=65°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由题意知：光线AP与光线PC，∠APB=∠CPD，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴ABCD=BPPD，
∴CD=1.2×121.8=8(米)．
故选：B．
由已知得△ABP∽△CDP，则根据相似三角形的性质可得ABCD=BPPD，解答即可．
本题综合考查了平面镜反射和相似三角形的知识，是一道较为简单的题，考查相似三角形在测量中的应用．
9.【答案】B
【解析】解：设参加会议有x人，依题意得，
12x(x−1)=66，
整理，得x2−x−132=0，
解得x1=12，x2=−11，(舍去)．
则参加这次会议的有12人．
故选：B．
计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为12x(x−1)．
考查了一元二次方程的应用，正确找到等量关系列出方程是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵二次函数图象开口方向向上，
∴a>0，
∵对称轴为直线x=−b2a>0，
∴b0，
∴y=ax+b的图象经过第一三象限，且与y轴的负半轴相交，
反比例函数y=cx图象在第一三象限，
只有B选项图象符合．
故选：B．
根据二次函数图象开口向上得到a>0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c>0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：连接BH，BH1，
∵O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A1BC1的位置，
∴△OBH≌△O1BH1，
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，
∴AB=2BC=4，
∴AC= AB2−BC2= 42−22=2 3．
∵H为边AC的中点，
∴CH=12AC= 3，
∴BH= BC2+CH2= 22+( 3)2= 7，
∴阴影部分面积=120π(BH2−BC2) 360=120π×(7−4)360=π．
故选：C．
整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为以点B为圆心，OB，BH为半径的两个扇形组成的一个环形．
本题考查的是扇形面积的计算，涉及到直角三角形的性质及旋转的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
12.【答案】72
【解析】【分析】
此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．
设已知比例式值为k，表示出a，b，c，代入原式计算即可得到结果．
【解答】
解：设a3=b4=c6=k(k≠0)，
可得：a=3k，b=4k，c=6k，
把a=3k，b=4k，c=6k代入a+bc−b=3k+4k6k−4k=72，
故答案为：72．
13.【答案】60
【解析】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠OAB=30°，
∴当∠CAB的度数等于60°时，OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线．
由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．
本题考查了切线的判定．
14.【答案】8
【解析】
解：连接OA、OB，
∵AC⊥x轴，
∴AC/​/y轴，
∴S△AOB=S△APB=2，
由反比例函数系数的几何意义可得：S△AOC=6，S△BOC=12k，
∴S△AOC−S△BOC=S△AOB=6−12k=2，
解得：k=8，
故答案为：8．
连接OA、OB，由题可得：S△AOB=S△APB=2，由反比例函数系数的几何意义可得S△AOC=6，S△BOC=12k，所以S△AOC−S△BOC=S△AOB=2，代入计算即可得出k的值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，利用等积转化将△PAB的面积转化为△OAB的面积是解决问题的关键．
15.【答案】三
【解析】【分析】
由于关于x的一元二次方程x2+x=n有两个不相等的实数根，由此可以得到此方程的判别式是正数，这样可以得到关于n的不等式，解不等式求出n的取值范围，代入抛物线y=−x2+x−n的顶点坐标公式中，就可以判断顶点所在象限．
本题考查了抛物线与x轴的交点个数与相应一元二次方程的解的个数的关系，掌握二次函数顶点坐标公式是解题的关键．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程x2+x=n即x2+x−n=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=1−4(−n)>0，
∴n>−14，
∵抛物线y=x2+x−n的对称轴为x=−12，y最小值=4×(−n)−14=−n−14，
∵n>−14，
则−n−14