2023-2024学年浙江省杭州市余杭区八年级（上）月考数学试卷（1月份）（含解析）

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这是一份2023-2024学年浙江省杭州市余杭区八年级（上）月考数学试卷（1月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是( )
A. 1，2，3B. 1，2，4C. 2，3，4D. 2，2，4
3.如果a>b，那么下列不等式成立的是( )
A. a+2b2
4.在平面直角坐标系中，点A(−4,1)关于x轴的对称点的坐标为( )
A. (4,1)B. (4,−1)C. (−4,−1)D. (−1,4)
5.将直线y=2x向下平移2个单位所得的直线的解析式是( )
A. y=2x+2B. y=2x−2C. y=2x+4D. y=2x−4
6.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线.若AE=3，△ABD的周长为9，则△ABC的周长为( )
A. 13B. 14C. 15D. 16
7.若关于x的一元一次不等式组2x−4<0x+1>k有解，则k的取值范围是( )
A. k≤3B. k<3C. k<2D. k≤2
8.如图，在平面直角坐标系中，A(1,0)，B(−2,4)，AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C的坐标是( )
A. (4,3)
B. (4,4)
C. (5,3)
D. (5,4)
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是( )
A. 2.4B. 4C. 4.8D. 5
10.关于函数y=(k−3)x+k，给出下列结论：
①当k≠3时，此函数是一次函数；
②无论k取什么值，函数图象必经过点(−1,3)；
③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是k<0；
④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是0其中正确结论的序号是( )
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.等腰三角形的一个底角是40°，那么顶角是______°.
12.如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上.若BC=8，CE=5，则CF的长为______．
13.已知点P的坐标为(2a−1,5−a)，且点P在x轴上，则点P的坐标是______．
14.已知不等式(2a−4)x<4−2a的解集为x>−1，则a的取值范围是______．
15.已知A(x1,y1)、B(x2,y2)是一次函数y=(2−m)x+3图象上两点，且(x1−x2)(y1−y2)<0，则m的取值范围为______．
16.如图，△ABC的点A、C在直线l上，∠B=120°，∠ACB=40°，若点P在直线l上运动，当△ABP成为等腰三角形时，则∠ABP度数是______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
如图所示，在△ABC中，
(1)作出△ABC的高线AD．
(2)若∠ACB=130°，求∠CAD的度数．
18.(本小题6分)
解下列不等式(组)：
(1)2x−1>x−3；
(2)x−3(x−2)≥4,x−1519.(本小题8分)
已知点P(2a−6,−3b+2)在第二象限，到x轴的距离为5，到y轴的距离为8，求a、b的值．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC与△ADE中，E在BC边上，AD=AB，AE=AC，∠1=∠2，
(1)求证：△ABC≌△ADE．
(2)若∠EAC=36°，求∠BED的度数．
21.(本小题10分)
超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元．
(1)求A、B两种商品每件进价分别是多少元？
(2)若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？
22.(本小题10分)
已知一次函数y=(m+1)x−(2m+4)(m为常数，且m≠−1)．
(1)当函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上时，求m的取值范围．
(2)当函数图象经过第二、三、四象限时，求m的取值范围．
(3)当−2≤x≤4时，一次函数的最大值为4，求m的值．
23.(本小题12分)
如图所示，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题：
(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．
(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D(0,−6)在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)求△ADE的面积；
(3)y轴上是否存在一点P，使得S△PAD=12S△ADE，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：A、1+2=3，不能组成三角形，故A选项错误；
B、1+2<4，不能组成三角形，故B选项错误；
C、2+3>5，能组成三角形，故C选项正确；
D、2+2=4，不能组成三角形，故D选项错误；
故选：C．
根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质，掌握①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
根据不等式的性质判断即可．
【解答】
解：A.若a>b，根据不等式的性质①得，a+2>b+2，原变形不成立，故本选项不符合题意；
B.若a>b，根据不等式的性质③得，−2a<−2b，原变形成立，故本选项符合题意；
C.若a>b，根据不等式的性质②得，12a>12b，原变形不成立，故本选项不符合题意；
D.若a>b，令a=1，b=−3，a2故选：B．
4.【答案】C
【解析】解：点A(−4,1)关于x轴的对称点的坐标为(−4,−1)，
故选：C．
关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解题的关键是把握对称点坐标的特点．
5.【答案】B
【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y=2x向下平移2个单位所得的直线的解析式是y=2x−2，
故选：B．
根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=DC，
∵△ABD的周长为9，
∴AB+AD+BD=9，
∵C△ABC=AB+AC+BC，
∴C△ABC=AB+2AE+BD+DC，
∴C△ABC=AB+BD+AD+2AE=9+2AE，
∵AE=3，
∴C△ABC=9+2AE=15．
故选：C．
根据垂直平分线的性质，得AE=CE，AD=DC；根据△ABD的周长为9，则AB+AD+BD=9，△ABC的周长为：AB+AC+BC=AB+2AE+BD+DC，AE=3，即可．
本题考查线段的垂直平分线，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，三角形的周长公式．
7.【答案】B
【解析】解：2x−4<0①x+1>k②，
解①得x<2，
解②得x>k−1，
因为关于x的一元一次不等式组2x−4<0x+1>k有解，
所以k−1<2，
解得k<3．
故选：B．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有解，利用口诀：大小小大中间找可得关于a的不等式，解之即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F．
∵A(1,0)，B(−2,4)，
∴OA=1，BE=4，OE=2，AE=3，
∵∠AEB=∠AFC=∠BAC=90°，
∴∠B+∠BAE=90°，∠BAE+∠CAF=90°，
∴∠B=∠CAF，
∵AB=AC，
∴△BEA≌△AFC(AAS)，
∴CF=AE=3，AF=BE=4，OF=1+4=5，
∴C(5,3)，
故选：C．
如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F.利用全等三角形的性质求出AF，CF即可解决问题．
本题考查坐标与图形的变化−旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
9.【答案】C
【解析】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2= 62+82=10．
∵S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，
∴CM=AC⋅BCAB=6×810=245，
即PC+PQ的最小值为245．
故选：C．
过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．
10.【答案】D
【解析】解：①根据一次函数定义：k≠3时，此函数为一次函数，故正确；
②y=(k−3)x+k=k(x+1)−3x，故函数过(−1,3)，故正确；
③图象经过二、三、四象限，则k−3<0，k<0，解得：k<0，故正确；
④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则x=k3−k>0，解得：0故选：D．
①根据一次函数定义即可求解；
②y=(k−3)x+k=k(x+1)−3x，即可求解；
③图象经过二、三、四象限，则k−3<0，k<0，解即可求解；
④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则x=k3−k>0，即可求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点，确定函数与系数之间的关系，进而求解．
11.【答案】100
【解析】解：因为其底角为40°，所以顶角=180°−40°×2=100°．
故答案为：100．
知道一个底角，由等腰三角形的性质得到另一个底角的度数，再利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题．
此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；利用三角形内角和求三角形的内角是一种很重要的方法，要熟练掌握．
12.【答案】3
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
又BC=8，
∴EF=8，
∵EC=5，
∵CF=EF−EC=8−5=3．
故答案为：3．
根据全等三角形的对应边相等得到EF=BC=7，计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
13.【答案】(9,0)
【解析】解：∵点P在x轴上，
∴5−a=0，
解得：a=5，
∴2a−1=9，
∴P(9,0)，
故答案为：(9,0)．
根据x轴的坐标特点得出关于a的方程解答即可．
此题考查点的坐标，关键是根据x轴的坐标特点得出关于a的方程解答．
14.【答案】a<2
【解析】解：∵不等式(2a−4)x<4−2a的解集为x>−1，
∴2a−4<0，
∴a<2．
故答案为：a<2．
根据不等式的性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变可得答案．
本题考查了不等式的解集，关键是掌握不等式的性质．
15.【答案】m>2
【解析】解：(x1−x2)(y1−y2)<0，
即：x1−x2>0y1−y2<0或x1−x2<0y1−y2>0，
也就是，y随x的增大而减小，
因此，2−m<0，解得，m>2，
故答案为：m>2．
根据(x1−x2)(y1−y2)<0，得出y随x的增大而减小，再根据2−m<0，求出其取值范围即可．
考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的增减性以及适当的转化是解决问题的关键．
16.【答案】10°或80°或20°或140°
【解析】解：如图，
在△ABC中，∵∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−120°−40°=20°，
①当AB=AP时，∠ABP1=∠AP1B=10°，∠ABP3=∠AP3B=12(180°−20°)=80°，
②当PA=PB时，∠ABP2=∠AP2B=20°
③当BA=BP时，∠ABP4=180°−20°−20°=140°
综上所述，满足条件的∠ABP的值为10°或80°或20°或140°．
分三种情形：AB=AP，PA=PB，BA=BP分别求解即可解决问题．
本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.【答案】解：(1)如图所示：

(2)∵∠ACB=130°，
∴∠ACD=50°，
∴∠CAD的度数为：90°−50°=40°．
【解析】(1)利用三角形高线以及中线的定义分别得出即可；
(2)利用邻补角的定义以及三角形内角和定理进而得出答案．
此题主要考查了复杂作图以及邻补角定义，根据题意得出∠ACD的度数是解题关键．
18.【答案】解：(1)∵2x−1>x−3，
∴2x−x>−3+1，
∴x>−2；
(2)解不等式x−3(x−2)≥4，得：x≤1，
解不等式x−15−73，
则不等式组的解集为−73【解析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式和不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：由点P(2a−6,−3b+2)在第二象限，到x轴的距离为5，到y轴的距离为8，得
−3b+2=5，−(2a−6)=8．
解得b=−1，a=−1．
【解析】根据第二象限内点到x轴的距离是纵坐标，到y轴的距离是横坐标的相反数，可得关于a、b的方程，根据解方程，可得答案．
本题考查了点的坐标，利用第二象限内点到x轴的距离是纵坐标，到y轴的距离是横坐标的相反数得出关于a、b的方程是解题关键．
20.【答案】20.(本题8分)
证明(1)：∵∠1=∠2，
∴∠BAE+∠1=∠BAE+∠2即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAEAB=AD∠B=∠D，
∴△ABC≌△ADE(ASA)；
(2)∵AE=AC，
∴∠AEC=∠C，又∠EAC=36°，
∠AEC=∠C=12(180°=∠EAC)=72°，
又∵△ABC≌△ADE，
∴∠C=∠AED=72°，
∴∠BED=180°=∠AED+∠AEC)=180°−(72°+72°)=36°．
【解析】(1)根据“ASA”可判断△ABC≌△ADE；
(2)先根据全等的性质得到AC=AE，则∠C=∠AEC=70°，再利用三角形内角和定理计算出∠CAE=40°，
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定．
21.【答案】(1)设A甲种商品每件进价x元，B乙种商品每件进价y元，
根据题意，得5y−4x=1020x+10y=160，解得：x=5y=6，
答：A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元．
(2)设A种商品购进a件，则乙种商品(200−a)件，
根据题意，得10(a−30)+0.8×10[200−(a−30)]−5a−6(200−a)≥640，
解得：a≥100，
答：至少购进A种商品100件．
【解析】(1)根据“购进4件甲种商品比购进5件乙种商品少用10元，购进20件甲种商品和10件乙种商品共用去160元”列出方程组解答即可；
(2)设购进甲种商品a件，则乙种商品(200−a) 件，“利润不少于640元”列出不等式解答即可．
此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等或等量关系．
22.【答案】解：(1)∵函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上，
∴−(2m+4)>0，
∴m<−2；
(2)∵函数图象经过第二、三、四象限，
∴m+1<0−(2m+4)<0，
解得−2(3)①当m+1>0时，即m>−1时，
y随x的增大而增大，
∴当x=4时，最大值是4，
∴4(m+1)−(2m+4)=4，
解得m=2；
②当m+1<0时，即m<−1时，
y随x的增大而减小，
∴当x=−2时，最大值是4，
∴−2(m+1)−(2m+4)=4，
解得m=−2.5．
综上，m的值为2或−2.5．
【解析】(1)根据一次函数y=kx+b中，b>0时，与y轴的交点在y轴的正半轴，可得答案．
(2)根据一次函数y=kx+b中，k<0，b<0时，函数的图象经过第二、三、四象限，可得答案．
(3)①根据一次函数y=kx+b中，k>0时，y随x的增大而增大，则当x=4时，最大值是4，②根据一次函数y=kx+b中，k<0时，y随x的增大而减小，则当x=−2时，最大值是4，可得答案．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数y=kx+b，k>0，b>0时，函数的图象经过第一、二、三象限；k<0，b>0时，函数的图象经过第一、二、四象限；k>0，b<0时，函数的图象经过第一、三、四象限；k<0，b<0时，函数的图象经过第二、三、四象限．
23.【答案】解：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB垂直，即△BPQ为直角三角形．
理由是：
∵AB=AC=BC=6cm，∴当点Q到达点C时，BP=3cm，
∴点P为AB的中点．
∴QP⊥BA(等边三角形三线合一的性质)．
(2)假设在点P与点Q的运动过程中，△BPQ能成为等边三角形，
∴BP=PQ=BQ，
∴6−t=2t，
解得t=2．
∴当t=2时，△BPQ是个等边三角形．
【解析】此题考查的是等边三角形的性质和判定，读懂题意是关键．
(1)根据等边三角形性质结合点P和点Q的运动速度可知当点Q到达点C时，点P运动到AB的中点，根据等边三角形三线合一的性质可得答案；
(2)假设△BPQ能成为等边三角形，根据等边三角形边长相等得到关于t的方程，求出方程的解即可得出结论．
24.【答案】解：(1)当x=0时，y=−43x+4=4，
∴点B的坐标为(0,4)；
当y=0时，−43x+4=0，
解得：x=3，
∴点A的坐标为(3,0)．
在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，
∴AB= AO2+OB2= 32+42=5．
由折叠的性质，可知：∠BDA=∠CDA，∠D=∠C，AC=AB=5，
∴OC=OA+AC=8，
∴点C的坐标为(8,0)．

(2)∵∠B=∠C，∠OAB=∠EAC，∠B+∠AOB+∠OAB=180°，∠C+∠AEC+∠EAC=180°，
∴∠AEC=∠AOB=90°=∠AED=∠AOD．
又∵∠BDA=∠CDA，
在Rt△AOD和Rt△AED中，
∠AOD=∠AED=90°∠ODA=∠EDADA=DA，
∴Rt△AOD≌Rt△AED(AAS)，
∴S△ADE=S△AOD=12OA⋅OD=12×3×6=9．
(3)存在点P，且坐标为(0,−3)或(0,−9)，理由如下：
设点P的坐标为(0,m)，则DP=|m+6|．
∵S△PAD=12S△ADE，
∴12OA⋅PD=12×3×|m+6|=12×9，
∴|m+6|=3，
解得：m=−3或m=−9，
∴y轴上存在点P(0,−3)或(0,−9)，使得S△PAD=12S△ADE．
【解析】(1)直线y=−43x+4中，分别令x=0、y=0，确定B、A坐标，运用勾股定理计算AB，根据折叠性质，AC=AB，确定OC的长即可确定点C的坐标；
(2)证明Rt△AOD≌Rt△AED，根据S△ADE=S△AOD计算即可；
(3)设点P的坐标为(0,m)，则DP=|m+6|.根据12|m+6|⋅AO=92，计算m的值即可．
本题考查了一次函数与坐标轴的交点，解析式的确定，折叠的性质，一次函数与几何图形的综合，熟练掌握待定系数法，折叠性质，一次函数与几何图形的综合是解题的关键．

2023-2024学年浙江省杭州市余杭区八年级（上）月考数学试卷（1月份）（含解析）

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