2023年上海市嘉定区高三上学期高考一模数学试卷含详解

这是一份2023年上海市嘉定区高三上学期高考一模数学试卷含详解，共21页。试卷主要包含了 如图为正六棱柱等内容，欢迎下载使用。

一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.第六题有两空，每空2分.
1. 已知集合，是整数集，则________.
2. 已知复数，是虚数单位，则的虚部为________.
3. 直线与直线的夹角大小为________.
4. 已知，若关于的方程解集为，则的值为_________.
5. 已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为________.
6. 某果园种植了棵苹果树，随机抽取的棵果树的产量（单位：千克）分别为：
24 25 36 27 28 32 20 26 29 30 26 33
据此预计，该果园总产量为_______千克以及第百分位数为_______千克.
7. 已知常数，在的二项展开式中，项的系数等于，则_______.
8. 若函数值域是，则此函数的定义域为___________．
9. 如图为正六棱柱.其个侧面的条面对角线所在直线中，与直线异面的共有______条.
10. 关于的方程的解集为_________.
11. 在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为_________.
12. 已知抛物线，动点A自原点出发，沿着轴正方向向上匀速运动，速度大小为.过A作轴的垂线交抛物线于点，再过作轴的垂线交轴于点.当A运动至时，点的瞬时速度的大小为___________.
二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.
13. 已知，那么“”是“为钝角三角形”的（ ）
A. 充分条件但非必要条件B. 必要条件但非充分条件
C. 充要条件D. 以上皆非
14. 已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（ ）
①的开口最为开阔；
②开口比的更为开阔；
③和的开口的开阔程度相同.
A 只有一个正确B. 只有两个正确C. 均正确D. 均不正确
15. 甲、乙两人弈棋，根据以往总共次对弈记录，甲取胜次，乙取胜次.两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得元奖金.第一局、第二局比赛都是甲胜，现在比赛因意外中止.鉴于公平，奖金应该分给甲（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
16. 中国古代数学家用圆内接正边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率的值.若据此证明，则正整数至少等于（ ）
A. B. C. D.
三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17. 如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，.
（1）求证：平面平面；
（2）求点A到平面的距离.
18. 若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项.
（1）求和的调和中项；
（2）已知调和数列，，，求的通项公式.
19. 李先生属于一年工作天的上班族，计划购置一辆新车用以通勤.大致推断每天早八点从家出发，晚上六点回家，往返总距离为公里.考虑从两款车型中选择其一， 款车是燃油车，款车是电动车，售价均为万元.现提供关于两种车型的相关信息：
款车的油耗为升/百公里，油价为每升至元.车险费用元/年.购置税为售价的.购车后，车价每年折旧率为.保养费用平均元/万公里；
款车的电耗为度/百公里，电费为每度至元.车险费用元/年.国务院年出台文件，宣布保持免除购置税政策.电池使用寿命为年，更换费用为万元.购车后，车价每年折旧率为.保养费用平均元/万公里.
（1）除了上述了解到的情况，还有哪些因素可能需要考虑?写出这些因素（至少个，不超过个）；
（2）为了简化问题，请对相关因素做出合情假设，由此为李先生作出买车的决策，并说明理由.
20. 如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点.若点分别为曲线的圆心.
（1）求的方程；
（2）若点分别在上运动，求的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）若点在曲线上运动，点，求的取值范围.
21. 已知，
（1）求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数为自然对数的底）；
（2）根据（1），判断并证明与的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；
（3）已知、是正整数，，，求证：是满足条件的唯一一组值.
2022学年第一学期高三年级质量调研
数学试卷
一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.第六题有两空，每空2分.
1. 已知集合，是整数集，则________.
【答案】
【分析】先用公式法解绝对值不等式确定集合，再取交集即可.
【详解】，
故答案为：.
2. 已知复数，是虚数单位，则的虚部为________.
【答案】
【分析】先利用复数的除法法则计算得到，从而求出的虚部.
【详解】，故虚部为-1.
故答案为：-1
3. 直线与直线的夹角大小为________.
【答案】##
【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．
【详解】因为直线的斜率不存在，倾斜角为，
直线的斜率为，倾斜角为，
故直线与直线的夹角为，
故答案为：．
4. 已知，若关于的方程解集为，则的值为_________.
【答案】
【分析】结合题意，先令方程等号左右两边的常数项相等，求出，验证后得到答案.
【详解】解集为R，
先令等号左右两边的常数项相等，即，解得：，
将代入方程可得：，解集为R，满足要求.
故答案为：2
5. 已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为________.
【答案】
【分析】求出圆锥的底面半径，底面周长，结合圆锥侧面积，列出方程，求出圆锥的母线长，由勾股定理求出圆锥的高，得到圆锥的体积.
【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得：，
则圆锥底面周长为，设圆锥的母线长为，
则，解得：，
由勾股定理得：，
故圆锥的体积为.
故答案为：.
6. 某果园种植了棵苹果树，随机抽取的棵果树的产量（单位：千克）分别为：
24 25 36 27 28 32 20 26 29 30 26 33
据此预计，该果园的总产量为_______千克以及第百分位数为_______千克.
【答案】 ①. ②.
【分析】先计算样本的平均数，然后再估计整体总产量，找出样本的第八与第九的均值表示第百分位数.
【详解】（千克），
所以总产量：千克；
样本总共有12个数，所以，只需找出第9个数字和第10个数字取平均数即可，从小到大排列后第九个数字为30，第十个数字为32，所以第75百分位数为：31
故答案为：2800；31.
7. 已知常数，在的二项展开式中，项的系数等于，则_______.
【答案】
【分析】首先根据展开式中存在一项可知，然后根据二项式展开式的通式结合已知条件列出关于的方程，解方程即可求出参数的值.
【详解】根据已知条件是二项式展开式的某一项，故得.
由，令，得.
得，根据已知可得，解得，即.
故答案为：.
8. 若函数的值域是，则此函数的定义域为___________．
【答案】
【分析】分类讨论分两种情况解不等式即可.
【详解】当时，
当时，
故答案为：
9. 如图为正六棱柱.其个侧面的条面对角线所在直线中，与直线异面的共有______条.
【答案】
【分析】作出辅助线，得到四点共面，不是异面直线，同理得到与共面，再由，与相交，得到与不是异面直线的面对角线，从而得到与异面的面对角线，求出答案.
【详解】连接，
因为六边形为正六边形，所以，
故，所以四点共面，不是异面直线，
同理可得：与共面，不是异面直线，
而，
又与相交，
故条面对角线中，与不是异面直线的面对角线为，
其余面对角线均与异面，分别为，共5条.
故答案为：5
10. 关于的方程的解集为_________.
【答案】
【分析】利用绝对值三角不等式，转化原方程，解不等式得到方程的解集.
【详解】由绝对值三角不等式可得：，
当且仅当，即时，等号成立，
故的解集为.
故答案为：.
11. 在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为_________.
【答案】
【分析】先求出和的坐标，再根据投影向量的定义可得答案.
【详解】依题意：
所以在方向上的投影向量为：
故答案为：
12. 已知抛物线，动点A自原点出发，沿着轴正方向向上匀速运动，速度大小为.过A作轴的垂线交抛物线于点，再过作轴的垂线交轴于点.当A运动至时，点的瞬时速度的大小为___________.
【答案】
【分析】根据进行求解.
【详解】不妨取点B为第一象限的点，则点C位于x轴正半轴，
由可得：，
，
当当A运动至时，B点的纵坐标为100，将其代入上式，
，即点的瞬时速度的大小为.
故答案为：
二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.
13. 已知，那么“”是“为钝角三角形”的（ ）
A. 充分条件但非必要条件B. 必要条件但非充分条件
C. 充要条件D. 以上皆非
【答案】A
【分析】利用余弦定理得到充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案.
【详解】，即，
由余弦定理得：，
因为，所以，故为钝角三角形，充分性成立，
为钝角三角形，若为钝角，则为锐角，则，必要性不成立，
综上：“”是“为钝角三角形”的充分条件但非必要条件.
故选：A
14. 已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（ ）
①开口最为开阔；
②的开口比的更为开阔；
③和的开口的开阔程度相同.
A. 只有一个正确B. 只有两个正确C. 均正确D. 均不正确
【答案】D
【分析】分别计算出四条双曲线的离心率，根据离心率越大开口更开阔进行比较.
【详解】依题意，依次计算出各自的离心率可得：
，比较大小知：
可知：三个结论均为错误；
故选：D
15. 甲、乙两人弈棋，根据以往总共次的对弈记录，甲取胜次，乙取胜次.两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得元奖金.第一局、第二局比赛都是甲胜，现在比赛因意外中止.鉴于公平，奖金应该分给甲（ ）
A 元B. 元C. 元D. 元
【答案】C
【分析】我们需要计算出继续比赛甲获胜的概率按照比例给甲分得奖金.
【详解】依题意知：甲乙胜负的概率都是假设比赛继续，甲只需三场中赢得一场即获得全额奖金，
甲获胜的概率（元）
故选：C
16. 中国古代数学家用圆内接正边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率的值.若据此证明，则正整数至少等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】先求出圆内接正边形的周长，与直径之比与3.14进行比较即可.
【详解】
如图，圆内接边形，为中点，半径为，
圆周率，由计算器可得：
故选：C
三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17. 如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，.
（1）求证：平面平面；
（2）求点A到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【分析】（1）证明出平面，从而得到面面垂直；
（2）等体积法求解点到平面的距离.
【小问1详解】
因为四棱柱为正四棱柱，
所以⊥平面ABCD，且AC⊥BD，
因为平面ABCD，所以⊥BD，
因为，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
设点A到平面的距离为，AC与BD相交于点O，连接，
因为正方形的边长为，，
所以，，
由三线合一可得：⊥BD，且，
由勾股定理得：，
所以，
故，
又，平面
故，
由，
故点A到平面的距离为.
18. 若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项.
（1）求和的调和中项；
（2）已知调和数列，，，求的通项公式.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据题意得到、、成等差数列，从而得到方程，求出，得到答案；
（2）根据题意得到是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求出，得到的通项公式.
【小问1详解】
设和的调和中项为，依题意得：、、成等差数列，
所以，解得：，
故和的调和中项为；
【小问2详解】
依题意，是等差数列，设其公差为，
则，
所以，
故.
19. 李先生属于一年工作天的上班族，计划购置一辆新车用以通勤.大致推断每天早八点从家出发，晚上六点回家，往返总距离为公里.考虑从两款车型中选择其一， 款车是燃油车，款车是电动车，售价均为万元.现提供关于两种车型的相关信息：
款车的油耗为升/百公里，油价为每升至元.车险费用元/年.购置税为售价的.购车后，车价每年折旧率为.保养费用平均元/万公里；
款车的电耗为度/百公里，电费为每度至元.车险费用元/年.国务院年出台文件，宣布保持免除购置税政策.电池使用寿命为年，更换费用为万元.购车后，车价每年折旧率为.保养费用平均元/万公里.
（1）除了上述了解到的情况，还有哪些因素可能需要考虑?写出这些因素（至少个，不超过个）；
（2）为了简化问题，请对相关因素做出合情假设，由此为李先生作出买车的决策，并说明理由.
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【分析】（1）李先生要考虑生活中得各类费用以及车身本身的因素，列出几条即可
（2）通过数据的分析，得出相关的结论对买款或买款车进行分析.
【小问1详解】
李先生可能还需要考虑的因素有：
1、考虑非通勤时段的车辆使用情况；
2、油价和电价的变化；
3、工作单位能否提供免费充电；
4、电动车的国家减免政策的变化；
5、车辆的外观、内饰与品牌效应.
6、车牌费用
【小问2详解】
假设仅考虑通勤时车辆费用，油价和电价保持相对稳定，
电动车的免购置税政策保持不变.
计算时取价格区间的中位数即电价元/度、油价元/升.
车辆费用为车价、能源费用、税费、车险费用、保养费用，并扣除车辆残余价值.
写出至年任意一年中的一组对比数据，
例如：
款车使用年的总费用为：
款车使用年的总费用为：
所以，如果李先生打算开年就按二手车卖掉，可以选款车.
再写出至年任意一年中的一组对比数据，
结论：
使用年数不超过年，建议买款车；
使用年数超过年，建议买款车.
20. 如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点.若点分别为曲线的圆心.
（1）求的方程；
（2）若点分别在上运动，求的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）若点在曲线上运动，点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）最大值为6，，
（3）
【分析】（1）由圆心的横坐标确定的值，再用可得方程；
（2）将运用几何法放缩到过两个半圆的圆心时最大，再根据特殊三角形的角度计算出点的坐标；
（3）需要分情况讨论，在圆上和在椭圆上分开计算，计算圆锥曲线上一点到某定点的最值问题可以用参数方程计算.
【小问1详解】
依题意，，所以，
于是的方程为
【小问2详解】
由对称性，不妨设，，
，
当三点共线，同时三点共线，，
此时，.
【小问3详解】
曲线关于轴对称，不妨设点在曲线
或曲线的右半部分上运动.
①当点在曲线上运动，
设，.
，
；
②当点在曲线上运动，
设，.
，
，
综合①②，.
【点睛】圆锥曲线的组合曲线的问题，一般都需要采用分类讨论的方法，与圆有关系的问题一般都考虑几何法优先.
21. 已知，
（1）求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数为自然对数的底）；
（2）根据（1），判断并证明与的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；
（3）已知、是正整数，，，求证：是满足条件的唯一一组值.
【答案】（1），证明见解析；
（2）答案见解析； （3）证明见解析.
【分析】（1）求导，有导函数正负得到函数的单调性，从而得到在上是严格减函数；
（2）在第一问的基础上，得到，变形后得到，写出一般的结论；
（3）先得到满足要求，再证明唯一性，在第二问的基础上，得到若，可知，与矛盾；若，求出，与矛盾；若，则即，容易验证，成立，当，得到，于是，矛盾，故是满足条件的唯一一组值.
【小问1详解】
的导函数为，令，得，
列表：
所以，函数在上是严格减函数；
【小问2详解】
判断得到，
下面证明：
由（1），，即，所以，
由的单调递增，得到.
推广：对于实数，若，则即，
以下是证明过程：
由（1）知：在上是严格减函数，
因为，所以，则，，
因为单调递增，所以.
【小问3详解】
因为，可见满足，
下面证明唯一性：
①若，由第二问的结论可知，与矛盾；
②若，则即，与矛盾；
③若，则即，
显然不满足，成立，
若，由第二问结论可知：，则，于是，与矛盾.
综上，是满足条件的唯一一组值.
【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对与先取对数变形，再结合第一问中的结论即可证明.使用年数
够车费
里程数
油耗
油费
车险费用
购置税
保养费
车辆残值
总费用
1
300000
10000
600
5100
4000
30000
2000
264000
77100
2
300000
20000
1200
10200
8000
30000
4000
232320
119880
3
300000
30000
1800
15300
12000
30000
6000
204442
158858
4
300000
40000
2400
20400
16000
30000
8000
179909
194491
5
300000
50000
3000
25500
20000
30000
10000
158320
227180
6
300000
60000
3600
30600
24000
30000
12000
139321
257279
7
300000
70000
4200
35700
28000
30000
14000
122603
285097
8
300000
80000
4800
40800
32000
30000
16000
107890
310910
9
300000
90000
5400
45900
36000
30000
18000
94944
334956
10
300000
100000
6000
51000
40000
30000
20000
83550
357450
使用
年数
够车
费
里程数
电耗
电费
车险
费用
购置税
保养费
车辆
残值
电池更换费
总费用
1
300000
10000
2000
1300
6000
0
1000
255000
0
53300
2
300000
20000
4000
2600
12000
0
2000
216750
0
99850
3
300000
30000
6000
3900
18000
0
3000
184238
0
140663
4
300000
40000
8000
5200
24000
0
4000
156602
0
176598
5
300000
50000
10000
6500
30000
0
5000
133112
0
208388
6
300000
60000
12000
7800
36000
0
6000
113145
100000
336655
7
300000
70000
14000
9100
42000
0
7000
96173
100000
361927
8
300000
80000
16000
10400
48000
0
8000
81747
100000
384653
9
300000
90000
18000
11700
54000
0
9000
69485
100000
405215
10
300000
100000
20000
13000
60000
0
10000
59062
100000
423938
极大值