31，湖南省岳阳市弘毅新华中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份31，湖南省岳阳市弘毅新华中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确答案．每小题3分，共30分）
1. 若，则下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把比例式转化乘积式，逐项判断即可．
【详解】解：A.由，可得，不符合题意；
B.由，可得，不符合题意；
C.由，可得，不符合题意；
D.由，可得，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了比例的基本性质，解题关键是熟练掌握比例式与乘积式的互相转化．
2. 下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数，进行分析．
【详解】解：A．是一次函数，不符合题意；
B．是二次函数，符合题意；
C．，当时，不是二次函数，不符合题意；
D．不是二次函数，不符合题意；
故选：B．您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高【点睛】本题主要考查了二次函数的额定义，解题的关键是熟练掌握：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．
3. 将二次函数y＝3x2﹣6x+1化成顶点式是（ ）
A. y＝3（x﹣3）2﹣26B. y＝3（x﹣3）2﹣8
C. y＝3（x﹣1）2﹣2D. y＝3（x﹣1）2
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用配方法将一般式化为顶点式即可．
【详解】y=3x2-6x+1
=3（x2-2x）+1
=3（x-1）2-2．
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确应用配方法是解题关键．
4. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A. B. 2021C. D. 2025
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一个解是，得到即，代入计算即可．
【详解】∵一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握定义是解题的关键．
5. 如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作直径AD，连接CD，如图，利用等边三角形的性质得到∠B=60°，关键圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【详解】解：作直径AD，连接CD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=60°，则∠DAC=30°，
∴CD=AD，
∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(AD)2+32，
∴AD=2，
∴OA=OB=AD=．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形的性质、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
6. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，先分别求出的值，再进行比较即可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上，
，，，
，
，
故选：B．
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，ABC与DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似图形的概念得到ABDE，求出，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵A（1，0），D（3，0），
∴OA＝1，OD＝3，
∵△ABC与△DEF位似，
∴ABDE，
∴＝＝，
∴△ABC与△DEF的位似比为1：3，
∵点B的坐标为（2，1），
∴E点的坐标为（2×3，1×3），
即E点的坐标为（6，3），
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出△ABC与△DEF的位似比是解题的关键．
8. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 相等的圆心角所对的弧相等B. 过任意三点可以画一个圆
C. 等弧所对的圆周角相等D. 平分弦的直径垂直于弦
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是对圆的认识，等弧的含义，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理，利用相关的知识逐项判断是基本的方法．根据确定圆的条件，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理和圆周角定理逐个判断即可．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确；
B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法不正确；
C、等弧所对的圆周角相等，故本选项说法正确；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法不正确；
故选：C．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于点P．若，则的值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标推出特殊角是解题的关键．由可知，与x轴的夹角为，又因为，则为等腰直角形，设，，用勾股定理求进而求解即可．
【详解】解：∵P点坐标为，
则与x轴正方向的夹角为，
又∵，
则，为等腰直角形，
∴，
设，则，
则，
∴，
∴．
故选B
10. 对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是( )
A. c＜﹣3B. c＜﹣2C. c＜D. c＜1
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，由此可知方程x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，即△=1-4c>0，再由题意可得函数y= x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，由此可得关于c的不等式组，解不等式组即可求得答案.
【详解】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，
所以x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等的实数根，
整理，得：x2+x+c＝0，
所以△=1-4c>0，
又x2+x+c＝0的两个不相等实数根为x1、x2，x1＜1＜x2，
所以函数y= x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，
即1+1+c<0，
综上则，
解得c＜﹣2，
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题中的定义，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象性质；用到的知识点为：反比例函数的图象在一、三象限，比例系数大于0．
根据反比例函数的图象分布在第一、三象限，则反比例函数的比例系数大于0列式求值即可．
【详解】解：反比例函数的图象分布在第一、三象限，
∴
解得：，
故答案为：．
12. 一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】先分别确定从袋子中随机摸出一个小球的总结果数和摸出的是白球的结果数，再用概率公式求解即可．
【详解】解：袋子中一共有5个球，从袋子中随机摸出一个小球，总的结果数是5个，
其中，摸出的小球是白球的结果数为3个，
因此，摸出的小球是白球的概率为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式的实际应用，解决本题的关键是读懂题意和牢记概率公式等．
13. 设，是一元二次方程的两根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握，是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系求出和，然后整体代入即可求解．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，，
，，
，
故答案为：．
14. 抛物线与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是______．
【答案】且##且
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴有两个交点问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．直接利用根的判别式列不等式解答，再结合，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，
又∵，
∴k的取值范围是且；
故答案为：且．
15. 如图，若与都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则与的周长比为_________．

【答案】
【解析】
【分析】设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出△EFD、△ABC的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明△EDF∽△BAC，即可解决问题．
【详解】解：设正方形网格的边长为1，
由勾股定理得：
DE2＝22+22，EF2＝22+42，
∴DE＝2，EF＝2；
同理可求：AC＝，BC＝，
∵DF＝2，AB＝2，
∴，
∴△EDF∽△BAC，
∴与的周长比为：，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16. 中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．问题：此图中，正方形一条对角线与⊙相交于点、（点在点的右上方），若的长度为10丈，⊙的半径为2丈，则的长度为_________丈．
【答案】
【解析】
【分析】如图，先根据正方形的性质得出，再解直角三角形求出AO的长度，则．
【详解】解：如图，
设⊙与AD边的切点为点C，连接OC，
则（丈），，
由正方形的性质知，对角线AB平分，
∴，
∴（丈），
∴（丈），
∴（丈），
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，圆的切线的定义，解直角三角形等，通过解直角三角形求出AO的长度是解题的关键．
17. 如图，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，位于地面R处的雷达测得的距离是，仰角是．几秒后，火箭到达B点，此时在R处测得仰角是，则火箭在这几秒中上升的高度是______．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题重点考查解直角三角形的应用---仰角俯角问题，解题的关键是熟熟练掌握锐角三角函数的概念． 根据图形，直接利用锐角三角函数的定义得出，代入数据求出的长，由求解，利用等腰直角三角形的性质求解，进而得出答案．
【详解】解：在中，，，
∵，
∴，．
在中，，，
∴为等腰直角三角形，
∴．
故答案为．
18. 如图，为的直径，点A是弧的中点，交于E点，的切线与的延长线交于点F，，．则______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，弧，弦与圆周角之间的关系，相似三角形的性质与判定，先证明，进而证明，利用相似三角形的性质求出，进而利用勾股定理求出，则，，，进而推出，，再证明，得到，则．
【详解】解：∵点A是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵为的直径，是切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算和解方程：
（1）．
（2）
【答案】（1）
（2），；
【解析】
【分析】本题考查的是零次幂的含义，含特殊角的三角函数值的混合运算，一元二次方程的解法，掌握基础运算的运算法则与解方程的步骤与方法是解本题的关键；
（1）先计算乘方，绝对值，零次幂，代入特殊角的三角函数值，再合并即可；
（2）直接利用开平方法解方程即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
，
∴或，
解得：，；
20. 如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）直接写出当时，自变量x的取值范围；
（3）已知直线与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点Q，当以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2时，求t的值．
【答案】（1）反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：
（2）或
（3）当或时，以C，P，Q，O为四边形的面积等于2．
【解析】
【分析】（1）由题意得把代入得，即可得出A点坐标，将两点代入一次函数求出k、b，从而得出答案；
（2）一次函数在反比例函数图像的上方时，自变量x的取值范围即可．
（3）由题意得，，再根据面积求出，即可求出P点坐标，可得t的值．
【小问1详解】
解：把代入得，
∴反比例函数的解析式为：
把代入得，
把，代入；
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
【小问2详解】
∵不等式的解集即为：的解集，
∴或
【小问3详解】
如图，
由可知，
∴，
∵，
面积为．
∴四边形的面积为
解得
∵P点坐标为，点P可能在x轴正半轴或负半轴，
∴或
∴当或时，以C，P，Q，O为四边形的面积等于2．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，坐标与图形面积，熟练掌握函数解析式的求法以及利用数形结合得出函数值大小关系是重点．
21. 北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民喜爱，每个吉祥物进价35元，规定销售单价不低于40元，且不高于52元，销售期间发现，当销售单价定为45元时，每天可售300个，销售单价每上涨1元销量减少10个．现商家提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）求y与x之间的函数关系式和白变量x的取值范围．
（2）将吉祥物的销售单价定为多少元时，商家每天销售获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
【答案】（1），；
（2）将吉祥物的销售单价定为52元时，商家每天销售吉祥物获得的利润元最大，最大利润是元．
【解析】
【分析】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
∴与之间的函数关系式为：，；
【小问2详解】
根据题意得：，
∵，
∴当时，随的增大而增大，时，w随x增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴将吉祥物的销售单价定为52元时，商家每天销售吉祥物获得的利润元最大，最大利润是元．
22. 某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分15分，成绩均记为整数分），并按测试成绩m（单位：分）分成四类：A类，B类，C类，D类，绘制出如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的人数为______，并补全条形统计图：
（2）扇形统计图中A类所对的圆心角是______°，测试成绩的中位数落在______类；
（3）若该校九年级男生有1200名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为A类或B类的共有多少名？
【答案】（1），补全图形见解析
（2），
（3）名
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，中位数；通过统计图之间的联系求出样本容量是解题的关键．
（1）由统计图之间的联系求出样本容量，进一步求出C组人数，补齐图形；
（2）由A组的占比求出对应圆心角；根据中位数定义，可知第个数在组，故中位数在组；
（3）由样本占比估计总体的人数即可．
【小问1详解】
解：抽取人数（人），
C组人数为（人），
补全的条形统计图如图；
．
【小问2详解】
A类所对的圆心角是；
样本量为，可知数据从大到小排列，第个数在组，故中位数在类；
【小问3详解】
A类或类的共有（名）．
23. 如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东方向上，测得港口C位于B的北偏东方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．
（1）求灯塔M到轮船航线的距离（结果保留根号）；
（2）求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）．
【答案】（1）海里
（2）海里
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解决本题的关键．
（1）先利用等腰三角形的性质先说明与的关系，再在中利用直角三角形的边角间关系得结论；
（2）先说明四边形是矩形，再利用等腰三角形的性质、直角三角形的边角间关系得结论．
【小问1详解】
解：如图，作交于，作交于，
，
，
是等腰三角形
海里，
在中，，海里，
海里；
灯塔到轮船航线的距离为海里；
【小问2详解】
，，、都是正北方向，
四边形是矩形，
海里，，在中，，海里，
海里，
在中，，
是等腰直角三角形，
海里，
海里，
港口与灯塔的距离为海里．
24. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据“连半径，证垂直”即可；
（2）先由“直径所对的圆周角是直角”，可得，用勾股定理求出的长，再根据圆内接四边形的性质，可得，可证明，通过三角形相似即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
【点睛】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
25. 问题提出
（1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．求证：；
问题探究
（2）如图2，在矩形中，，E，F分别是边和对角线的点，，，求的长；
拓展延伸
（3）如图3，在菱形中，交的延长线于点G．E，F分别是线段和上的点，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）4
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质得到，得到，进而证明；
（2）连接，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案；
（3）连接，交于点O，根据菱形的性质得到，根据勾股定理求出，进而求出，证明，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图2，连接，
在中，，
则，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即
解得：；
（3）解：如图3，连接，交于点O，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，S
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即
解得：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、矩形、菱形、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
26. 如图1，已知抛物线（a，b为常数，）经过点，，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式：
（2）如图2，若点P为第二象限内抛物线上一点，连接、、，当四边形的面积最大时，求点P的坐标及此时四边形的面积：
（3）如图3，点Q是抛物线上一点，连接，当时，求点Q的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为；
（2）最大面积为：，；
（3）或
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）由，设，，，再建立面积函数关系式，利用二次函数的性质可得答案；
（3）如图3，记与的交点为，证明， 利用勾股定理求解，可得，求解为，再利用交点坐标的含义求解即可；作关于轴的对称点，则，则，同理可得答案．
【小问1详解】
解：∵抛物线点，，
∴，
解方程组得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
如图，连接，由，
∴，

∴，
设，
∴，，
∴四边形的面积
，
当时，四边形的面积最大，
最大面积为：；
∴；
【小问3详解】
如图3，记与的交点为，

∵，，
∴，
∴，而，，
∴，
解得：，
∴，即，
设为，
∴，解得：，
∴为，
∴，
解得：或，
∴；
作关于轴的对称点，则，
则，
同理可得：为，
∴，
解得：或，
∴．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，二次函数与面积问题，角度问题，作出合适的辅助线是解本题的关键．