42，广东省佛山市南海外国语学校2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题

这是一份42，广东省佛山市南海外国语学校2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题，共18页。试卷主要包含了 25的算术平方根是， 下列各组数中，是勾股数的是， 在6，，0，，，， 下列各式中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 25的算术平方根是
A. 5B. C. D. 25
【答案】A
【解析】
【分析】根据“算术平方根”的定义进行分析判断即可.
【详解】解：∵，
∴的算术平方根是5.
故选A.
【点睛】熟记“算术平方根”的定义：“对于一个非负数x，若x2=a，则x叫做a的算术平方根”是解答本题的关键.
2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. ，2，B. ，，C. 1，1，2D. 9，12，15
【答案】D
【解析】
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；
B、，，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；
C、∵，∴不能构成勾股数，不符合题意；
D、∵，∴能构成勾股数，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小正整数的平方和等于最大的正整数的平方，这两个条件同时成立，缺一不可．您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高3. 在6，，0，，，（每相邻两个1之间0的个数依次增加1）这些数中，无理数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】解：在6，，0，，，（每相邻两个1之间0的个数依次增加1）这些数中，无理数有，（每相邻两个1之间0的个数依次增加1），共2个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个0）等形式．
4. 如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）

A. 12B. 13C. 144D. 194
【答案】C
【解析】
【详解】解：结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差，
所以字母B所代表的正方形的面积=169-25=144．
故选：C．
5. 下列说法中，错误的是（ ）
A. 1的平方根是1B. 0的平方根和立方根都是0
C. 的立方根是D. 负数没有平方根
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方根及立方根的定义和性质进行判断即可．
【详解】解：1的平方根是，则A符合题意；
0的平方根和立方根都是0，则B不符合题意；
的立方根是，则C不符合题意；
负数没有平方根，则D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查平方根和立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键．
6. 若是最简二次根式，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【详解】解：∵是最简二次根式，
∴a≥0，且a为整数，中不含开的尽方的因数因式，
故选项中-2，，8都不合题意，
∴a的值可能是2．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
7. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理判断即可．
【详解】解：，
设，
，
，
，
故不是直角三角形，符合题意；
，
，
，
，
故是直角三角形，不符合题意；
，
，
故是直角三角形，不符合题意；
，，，
，
故是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
8. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的方法分别计算各选项，然后对比即可得出答案．
本题考查的是平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握平方根、立方根等的化简是解题的关键．
【详解】A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确．
故选：D
9. 如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是，宽都是，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（ ）

A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查两点之间线段最短、立体图形展开为平面图形求最小值问题、勾股定理等知识，根据展开成平面图形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：把这个台阶示意图展开为平面图形得图①：

在中，
，,
∴，
∴一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行最短线路的长度是．
故选：C．
10. 若，，，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据实数的大小得出结论即可．
【详解】解：，，
，，，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 计算的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的减法法则进行计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
12. 若为两个连续整数，且，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据夹逼法求解即可．
【详解】解：∵，即，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】题目主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．
13. 如图，在数轴上，以1个单位长度为边长作正方形，以数轴的原点O为圆心，正方形的对角线为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D所表示的数为_____．

【答案】
【解析】
【分析】由勾股定理可得，可得，从而可得答案．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
∴点D所表示的数为；
故答案为：
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，实数与数轴，熟练的利用勾股定理求解是解本题的关键．
14. 如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度，他们进行了如下操作：
测得米；（注：）
根据手中剩余线的长度计算出风筝线米；
牵线放风筝的小明身高米．
则风筝的高度是______米
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理先求出的长，则．
【详解】解：，
，
由勾股定理得，
（米），
四边形是矩形，
（米），
（米），
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能从实际问题中抽象出勾股定理并应用解决问题是关键．
15. 如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为___________．
【答案】
【解析】
【分析】如图（见解析），先根据网格的特点、勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得．
【详解】设AB边上的高为h
如图，由网格的特点得：
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的网格问题，熟记勾股定理是解题关键．
三．解答题（一）（本大题共4小题，第16、17题各5分，第18分，19题8分，共24分）
16. 计算 ；
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式混合运算法则及运算顺序直接求解即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查二次根式混合运算，熟练运用二次根式混合运算法则及运算顺序计算是解决问题的关键．
17. 一个正数x的两个不同的平方根分别是和，求的立方根．
【答案】3
【解析】
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数求解，将a中结果代入求解．
【详解】解：由题意可知：，
解得：，
，
，
．
【点睛】本题考查了立方根，解题关键是掌握一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数．
18. 已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以的速度向东航行；船B以的速度向北航行．它们离开港口后，相距多远？

【答案】它们离开港口后相距
【解析】
【分析】由题意知两条船的航向构成了直角，再根据路程速度时间，由勾股定理求解即可．
【详解】解：∵A、B两艘船同时从港口O出发，船A以的速度向东航行；船B以的速度向北航行，
∴，它们离开港口后，，，
∴，
答：它们离开港口后相距．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用以及方向角问题，得出，的长是解题的关键．
19. 如图是一个无理数筛选器的工作流程图．

（1）当x16时，y值为______；
（2）是否存在输入有意义的x值后，却输不出y值？如果存在，直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由；
（3）当输出的y值是时，判断输入的x值是否唯一，如果不唯一，请直接写出其中的两个．
【答案】（1）
（2）当，1时，始终输不出y值．
（3）x的值不唯一．或
【解析】
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，即可判断；
（3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．
【小问1详解】
解：当时，
，，故y值为．
故答案为：；
【小问2详解】
解：当，1时，始终输不出y值．
理由：0，1算术平方根是0，1，一定是有理数；
【小问3详解】
解：x的值不唯一．或．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确理解给出的运算方法是关键．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
20. 笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B，其中．由于周边施工，由C到A的路现在已经不通．为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求原路线的长．
【答案】（1）直角三角形；
（2）；
【解析】
【分析】（1）本题考查勾股定理逆定理，根据线段长度结合勾股定理逆定理即可得到答案；
（2）本题考查勾股定理，结合（1）根据勾股定理直接求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：∵千米，千米，千米，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
21. 二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题：
（1）已知，则________；
（2）已知实数满足，求的值；
（3）若x，y为实数，且，求的值．
【答案】（1）
（2）5 （3）11或
【解析】
【分析】（1）利用非负数的性质，可求a，b的值，从而求得的值；
（2）利用二次根式有意义的条件和绝对值的非负性，求出m，n的值，即可得出的值．
（3）利用二次根式有意义的条件，可得y值，进而求x值，最终得的值；
【小问1详解】
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
故答案为：
【小问2详解】
∵，，，
∴，，
解得，，
∴；
【小问3详解】
∵，，，
∴，，
∴．
∴，．
当时，；
当时，．
【点睛】本题考查非负数的性质，二次根式的性质，关键就是要了解二次根式的非负性，在中考中经常出现．
22. 【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为(a+b)2，也可表示为c2+4×ab，即(a+b)2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．
【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．
【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．
求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
【答案】【尝试探究】见解析；【定理应用】见解析
【解析】
【分析】【尝试探究】根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为ab+（a2+b2）＝ab+c2，即可证得a2+b2=c2；【定理应用】分解因式，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】【尝试探究】梯形的面积为S＝（a+b）（b+a）＝ab+（a2+b2），
利用分割法，梯形的面积为S＝S△ABC+S△ABE+SADE＝ab+c2+ab＝ab+c2，
∴ab+（a2+b2）＝ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
【定理应用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，
∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
【点睛】本题主要考查勾股定理的验证，解题关键是利用面积相等建立等量关系，判定勾股定理成立．
五．解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
23. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系．
（2）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________．
【答案】（1）①3；②满足，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、圆、等边三角形的面积，根据，求解之间的关系，进而可得结果；②根据，，，可得；
（2）由题意知，，，，，，代入求解即可．
【小问1详解】
①解：设两直角边分别为，，斜边为，
则图2中，，
∵，
∴，故图2符合题意；
图3中，，，，
∵，
∴，故图3符合题意；
图4中，，，，
∵，
∴，故图4符合题意；
∴这3个图形中面积关系满足的有3个，
故答案为：3；
②解：满足，证明如下：
由题意知，，，
∴；
【小问2详解】
解：由题意知，，，，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股树．解题的关键在于正确的表示各部分的面积．
24. 阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．
解决问题：
（1）比较大小：______（用“”“”或“”填空）；
（2）计算：；
（3）设实数x，y满足，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）2023
【解析】
【分析】（1）先将两边进行分母有理化后再进行比较大小即可；
（2）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可；
（3）根据（1）和（2）得到的规律进行计算即可．
【小问1详解】
解：，，
即，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：，
，
①，同理②，
∴①②得：，
，
．
【点睛】本题考查二次根式的应用，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键．