56，广西壮族自治区南宁市第三中学2023-2024学年九年级上学期1月月考数学试题

这是一份56，广西壮族自治区南宁市第三中学2023-2024学年九年级上学期1月月考数学试题，共21页。试卷主要包含了本试卷分第I卷两部分， 一元二次方程的根的情况是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．
2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．
3.不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1. 下面四个图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合．逐一进行判断即可．
【详解】A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2. 一元二次方程化成一般形式后，一次项系数是1，常数项是（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】首先移项把3移到等号左边，然后再确定常数项．
【详解】解：，
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故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项．
3. 下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A. 明天会下雨
B. 早上的太阳从东方升起
C. 射击运动员射击一次，命中9环
D. 度量三角形的内角和，结果是90°
【答案】D
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小逐项判断即可得．
【详解】解：A． “明天会下雨”是随机事件，则此项不符题意；
B． “早上的太阳从东方升起”是必然事件，则此项不符题意；
C． “射击运动员射击一次，命中9环”是随机事件，则此项不符题意；
D．因为三角形的内角和等于，所以“度量三角形的内角和，结果是”是不可能事件，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了事件发生的可能性、三角形的内角和定理，熟练掌握事件发生的可能性是解题关键．
4. 如图，是的直径，，是上的两点，若，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直径对的圆周角为直角得到，再根据同圆中同弧对的圆周角相等得到，即可求出．
此题主要考查了圆周角定理．熟练掌握直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，是解决问题的关键．
【详解】∵为⊙O的直径，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
5. 一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
6. 有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（ ）

A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数．
【详解】解：如图，设AD与BC交于点F，

∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝30°
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及外角的性质，熟知以上知识点是解题的关键．
7. 把抛物线的图象先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后，所得的函数关系式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】抛物线的图象先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后，所得的函数关系式是
即
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
8. 如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（ ）

A. cmB. cmC. cmD. 1cm
【答案】A
【解析】
【分析】根据正六边形的内角度数可得出，再通过解直角三角形即可得出的值，进而可求出的值，此题得解．
【详解】正六边形的任一内角为，
（如图），

，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键．
9. 教育部发布的统计数据显示，近年来越来越多的出国留学人员学成后选择回国发展，留学回国与出国留学人数“逆差”逐渐缩小．2021年各类留学回国人员总数为36.48万人，而2023年各类留学回国人员总数为43.25万人．如果设2021年到2023年各类留学回国人员总数的年平均增长率为x，那么根据题意可列出关于x的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用增长率的计算，根据题意解题即可．
【详解】解：设2021年到2023年各类留学回国人员总数的年平均增长率为x，
则2022的留学回国人员总数为：，
2023的留学回国人员总数为：，
那么可得方程：
故选：C．
10. 小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数的图象．由图象可知，方程有两个根，一个在和之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，当y等于0时得到的x值即为方程的解．分析题干中的表格，取y值最接近0时x的值作为方程的近似解．
【详解】解：由表格可知，当时，，当时，，
则方程的一个根在和之间，时的y值比时更接近0，
方程的一个近似根为：．
故选：C．
11. 如图所示，在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，使之恰好围成一个圆锥，已知圆半径为r，扇形半径为R，则R、r之间的关系为( )
A. R＝2rB. R＝rC. R＝3rD. R＝4r
【答案】D
【解析】
【分析】根据扇形的弧长等于圆的周长可得所求的关系．
【详解】∵扇形的弧长=，
圆的周长为2πr，
∴=2πr，
R=4r，
故选D．
【点睛】考查圆锥的计算；掌握圆锥的底面周长和侧面展开图的弧长相等是解决本题的关键．
12. 如图，四边形ABCD是正方形，以B为圆心，作半径长为2的半圆，交AB于点E．将半圆B绕点E逆时针旋转，记旋转角为30°，半圆B正好与边CD相切，则正方形的边长为（ ）
A. 3B. 2C. 2+D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据30°直角三角形的性质求出B′G=B′E=1，由矩形的判定和性质，得出BC=FG=3．
【详解】解：如图，B′F为圆B′的切线，延长FB′交AB于点G，
则B′F=B′E=2，∠B′GE=∠B′FD=90°，
∵∠B′EB=30°，
∴B′G=B′E=1，
∴FG= B′G+B′F=1+2=3，
在正方形ABCD中∠ABC=90°，
又∠B′GE=∠B′FD =90°，
∴四边形BCFG为矩形，
∴BC= FG=3．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，30°直角三角形的性质求边长，切线的性质以及旋转的性质，解题的关键是作出辅助线，利用30°直角三角形求解．
第II卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 抛物线的对称轴是直线___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据顶点式直接可得对称轴为直线．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键．
14. 平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称点的坐标特征，求解即可．
【详解】解：已知点与点关于原点对称，
则，即
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键．
15. 如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用阴影部分的面积除以整个大正方形的面积即可得．
【详解】解：设每个小正方形的边长为1，
则整个大正方形的面积为，
阴影部分的面积为，
所以这个点取在阴影部分的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求几何概率，正确求出阴影部分的面积是解题关键．
16. 已知抛物线经过点两点，则、的大小关系是 _____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据二次函数的增减性解答即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴是直线．
∵，
∴．
故题答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
17. 若方程的一个根是m，则代数式_____．
【答案】6
【解析】
【分析】由方程的一个根是m可得，进而可求出的值．
【详解】解：把代入，得
，
∴，
∴代数式．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．
18. 如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则______．
【答案】##40度
【解析】
【分析】本题考查三角形内切圆、切线长定理，根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出的度数和的度数，然后即可计算出的度数．
【详解】解：连接交于点G，
，
，
∵点O为的内切圆的圆心，
，
，
，
垂直平分，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 已知关于x一元二次方程，若该方程有两个相等实数根，求m的值．
【答案】6
【解析】
【分析】根据一元二次方程，根判别式得出，解关于m的方程即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根，
∴，
解得：．
答：m的值为6．
【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
20. 阅读材料，并回答问题．
小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：
解：．
．①
．②
．③
．④
．⑤
．⑥
问题：
（1）上述过程中，从 步开始出现了错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是： ；
（3）写出这个方程的解： ．
【答案】20. ⑤ 21. 开平方后正负号丢失
22.
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程—配方法，将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（1）根据第⑤步直接开平方法，得即可判断；
（2）由（1）得发生错误的原因是：开方后正负号丢失，
（3）根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可．
小问1详解】
解：，
上述过程中，从⑤步开始出现了错误，
故答案为：⑤；
【小问2详解】
解：由（1）知，发生错误的原因是：开平方后正负号丢失，
故答案为：开平方后正负号丢失；
【小问3详解】
解：，
，
故答案为：．
21.
（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形．
（2）请你用无刻度的直尺画一条直线把下图分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见详解；
（2）见详解；
【解析】
【分析】（1）根据中心对称图形定义及轴对称图形定义即可得到答案；
（2）根据梯形面积公式及矩形中心对称关系找到矩形的对称中心，连接两对称中心即可得到答案；
【小问1详解】
解：由题意可得，4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形，
根据中心对称图形定义及轴对称图形定义可得，如下图所示，
；
【小问2详解】
解：根据梯形面积公式及矩形的中心对称关系，找到矩形的对称中心，连接两点将两个矩形分成上下底相等的图即可，如图所示，或将矩形补全，根据梯形面积公式及矩形的中心对称关系，找到矩形的对称中心，连接两点将图形分成上下底相等的梯形，如图所示，
．
【点睛】本题考查中心对称图形定义，轴对称图形定义，矩形的中心对称关系及题型面积公式，解题的关键是根据矩形中心对称关系找到对称中心连线将矩形分成面积相等的两个梯形．
22. 我市某中学举行“中国梦・我的梦”演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题：
（1）参加比赛的学生共有_______名，在扇形统计图中，表示D等级的扇形的圆心角为_______度；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
【答案】（1）20，72
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】此题考查了条形统计图与扇形统计图，求扇形的圆心角度数，概率的计算，
（1）利用A等级的人数及百分比求出总人数，根据D等级的人数除以总人数再乘以得到表示D等级的扇形的圆心角度数；
（2）用总人数减去其他几个等级的人数求出B等级的人数，补全统计图即可；
（3）列树状图解答．
【小问1详解】
参加比赛的学生共有（名），
表示D等级的扇形的圆心角为，
故答案为：20，72．
【小问2详解】
等级的人数为（人）．
补全统计图如图所示．
【小问3详解】
根据题意，列出表格如下：
共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，所以恰是一男一女的概率为．
23. 已知：如图，在中，，以为边向形外作等边三角形， 把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，若，

（1）求的度数；
（2）的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质易证为等边三角形，即得出，从而可求出；
（2）由旋转的性质易证，．又易证A、C、E三点共线，结合等边三角形的性质即可得．
【小问1详解】
解：∵是把绕着点D按顺时针方向旋转后得到的，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵是把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，
∴，．
∵为等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，即A、C、E三点共线，
∵为等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，四边形内角和为．熟练掌握旋转的性质是解题关键．
24. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】【任务1】，【任务2】
【解析】
【分析】任务1：以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，得到点B的坐标为，顶点为，利用待定系数法求出即可；
任务2：过点E作于点M，得到米．由题意可知，当最大时，点E纵坐标为．令，得，解得，由米得到米，游船底部在P，Q之间通行，则的最大值为（米）．
【详解】解：任务1：
以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．
∵，
∴点B的坐标为，顶点为，
设抛物线解析式为，
把B代入得，
，
∴．
任务2：
过点E作于点M，
∵，米
∴米
∴米．
由题意可知，当最大时，
点E的纵坐标为．
令，得，
解得，
∵米，
∴米，
∵游船底部在P，Q之间通行，
∴的最大值为（米）．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是基础，数形结合是解题的关键．
25. 工人师傅后在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示．

（1）请用尺规作图在图上作出该图；
（2）测量直角三角形的两直角边，，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少?
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）分别作线段,的垂直平分线，交于点O，以O为圆心， 长为半径画圆即可；
（2）利用勾股定理求出，即为所需正方形的版的最小边长，即而求出面积；
【小问1详解】
即为所作
【小问2详解】
∵，，
∴
∴所需要正方形板的最小面积是
【点睛】此题主要考查了外接圆的作法和勾股定理等知识，作垂直平分线和得出是解题关键．
26. 阅读与思考：阅读下列材料并完成相应的任务．
任务：
（1）请你再写出一个“倍根方程”_______（要求化成一般形式）：
（2）研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为，则另一个根为，因此，比较系数可得，，且，消去可得倍根方程中系数，，满足的关系式是______．
（3）若（）是倍根方程，求的值．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，求分式的值，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法．
（1）根据例题写出一个倍根方程即可；
（2）根据，且，即可求解．
（3）根据因式分解法解一元二次方程，进而根据半根方程的定义求得m，n的关系，代入分式，化简分式即可．
【小问1详解】
解：例如的两个根是5，10，
该方程可化简为，
则就是半根方程，
故答案为：（答案不唯一）；
【小问2详解】
解：∵，且，
∴；
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵，
∴或，
解得，
∵方程是倍根方程，
∴或，
∴或，
当时，；
当时，．
综上所述，的值为或．0.56
如何设计警戒线之间的宽度？
素材1
图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度米，拱顶离水面的距离为米．
素材2
拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．测得相关数据如下：米，米，米，米．
素材3
为确保安全，拟在石拱桥下面的P，Q两处设置航行警戒线，要求如下：
①游船底部在P，Q之间通行；
②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为米．
问题解决
任务1
确定拱桥形状
在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的函数表达式．
任务2
设计警戒线之间的宽度
求的最大值．
如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是3和6，该方程可化简为，则方程就是“倍根方程”．