65，山东省泰安市东平县东原实验学校（五四制）2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

这是一份65，山东省泰安市东平县东原实验学校（五四制）2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题，共29页。试卷主要包含了单选题.，四象限，，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题.（每题4分，共48分，将答案涂在答题纸上）
1. 若点A(3，－4)、B(－2，m)在同一个反比例函数的图像上，则m的值为 （ ）
A. 6B. －6C. 12D. －12
【答案】A
【解析】
【分析】反比例函数的解析式为，把A（3，﹣4）代入求出k=﹣12，得出解析式，把B的坐标代入解析式即可．
【详解】解：设反比例函数的解析式为
把A（3，﹣4）代入得：k=﹣12
即
把B（﹣2，m）代入得：m=﹣=6，
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反函数的性质是解题的关键．
2. 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质、一次函数的图象判断a，b的符号，进而求解即可．
【详解】A．∵反比例函数图象在第一，三象限
∴，
∵一次函数图象经过第一，三，四象限
∴，，即您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高∴互相矛盾，不符合题意；
B．∵反比例函数图象在第二，四象限
∴，
∵一次函数图象经过第二，三，四象限
∴，，即
∴互相矛盾，不符合题意；
C．∵反比例函数图象在第一，三象限
∴，
∵一次函数图象经过第一，二，四象限
∴，，即
∴互相矛盾，不符合题意；
D．∵反比例函数图象在第二，四象限
∴，
∵一次函数图象经过第一，三，四象限
∴，，即
∴符合题意；
故选：D．
3. 在函数 （为常数）的图象上有三点，，，则函数值的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断出反比例函数所在象限，再根据增减性判断函数值，即可求解，本题考查了判断反比例函数所在象限，判断反比例函数的增减性，比较反比例函数值得大小，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的性质．
【详解】解：，
，
反比例函数 的图象在二、四象限，
点的横坐标为，
该点在第四象限，，
点，，的横坐标，
两点均在第二象限，，，
在第二象限内，随的增大而增大，
，
，
故选：．
4. 如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A. 5米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】作BE⊥AC，解直角三角形即可．
【详解】解：作BE⊥AC，垂足为E，
∵BE平行于地面，
∴∠ABE＝∠α，
∵BE＝5米，
∴AB＝＝．
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用：坡角坡度问题．解题的关键是：添加合适的辅助线，构造直角三角形．
5. 如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（ ）m．
A. 20B. 30C. 30D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】先根据CD＝20米，DE＝10m得出∠DCE＝30°，故可得出∠DCB＝90°，再由∠BDF＝30°可知∠DBF＝60°，由DF∥AE可得出∠BGF＝∠BCA＝60°，故∠GBF＝30°，所以∠DBC＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】在Rt△CDE中，
∵CD＝20m，DE＝10m，
∴sin∠DCE＝＝，
∴∠DCE＝30°．
∵∠ACB＝60°，DF∥AE，
∴∠BGF＝60°
∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．
∵∠BDF＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BC＝＝＝20m，
∴AB＝BC•sin60°＝20×＝30m．
故选：B．
【点睛】此题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
6. 如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接．若，，则的值是（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．
【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于B，
∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∵，
∴BD＝2，
∵tan∠BOC，
∴，
∴OD＝4，
∴点B的坐标为（2，4），
∵反比例函数y在第一象限内的图象交于点B，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，根据正切值求边长，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标．
7. 如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】D
【解析】
分析】设，由S△BCD=即可求解.
【详解】解：设，
∵BD⊥y轴
∴S△BCD==5，
解得：
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．
8. 如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）
A. 3B. -3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【详解】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S四边形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，
∴k2-k1=3，
∴k1-k2=-3，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
9. 如图，已知，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若，则OM的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】过P作，根据等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半即可得到答案．
【详解】解：过P作，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：C．
．
【点睛】本题考查等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题关键是作出辅助线．
10. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，如果tan∠DBA= ，那么AD的长为（ ）
A. 1B. 2C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】作DE⊥AB，构造直角三角形，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长．
【详解】解：作DE⊥AB于E点．
∵，
∴BE=5DE，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴AE=DE．
∴BE=5AE，
又∵AC=6，
∴AB=．
∴AE+BE=5AE+AE=，
∴AE=，
∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD=AE=2．
故选：B．
【点睛】此题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式然后求解．
11. 已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y=（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A. m＞3B. m≥3C. m≤3D. m＜3
【答案】D
【解析】
【详解】分析：由当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，可得出m﹣3＜0，解之即可得出m的取值范围．
详解：∵当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，∴m﹣3＜0，∴m＜3．
故选D．
点睛：本题考查了二次函数的性质，根据当0＜x1＜x2时y1＞y2结合二次函数的性质，找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．
12. 反比例函数y=（a＞0，a为常数）和y=在第一象限内的图像如图所示，点M在y=的图像上，MC⊥x轴于点C，交y=的图像于点A；MD⊥y轴于点D，交y=的图像于点B，当点M在y=的图像上运动时，以下结论：
①S△ODB=S△OCA；
②四边形OAMB的面积不变；
③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．
其中正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数性质和比例系数的几何意义逐项分析可得出解．
【详解】①由于A、B在同一反比例函数y=图像上，由反比例系数的几何意义可得S△ODB=S△OCA=1,正确，符合题意；
②由于矩形OCMD、△ODB、△OCA为定值，则四边形MAOB的面积不会发生变化，正确，符合题意；
③连接OM，点A是MC的中点，则S△ODM=S△OCM=，因S△ODB=S△OCA=1,所以△OBD和△OBM面积相等，点B一定是MD的中点．正确，符合题意；
故答案选D．
二、填空题（每题4分，共24分，将答案写在答题纸上）
13 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，化简绝对值是解题的关键．
14. 如图，在中，．过点D作，垂足为E，则______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题目中的，求出ED的长度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四边形的性质，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面积法求出BF的长，即可求出．
【详解】∵，
∴△ADE为直角三角形，
又∵，
∴ ,
解得DE=4,
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
,
又∵AB=12,
∴ ,
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=12,AD=BC=5
在Rt△DEC中，由勾股定理得：
,
过点B作BF⊥CE，垂足为F,如图
在△EBC中：
S△EBC= ;
又∵S△EBC
∴ ,
解得,
在Rt△BFC中，
,
故填：．
【点睛】本题考查解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理，三角形的等面积法求一边上的高线，解题关键在于熟练掌握解直角三角形的计算，平行四边形的性质，勾股定理的计算和等面积法求一边上的高．
15. 如图，在直角坐标系中放入矩形纸片ABCO，将纸片翻折后，点B恰好落在轴上，记为，折痕为CE，已知，则点E 的坐标为____________ ．

【答案】
【解析】
【分析】根据sin∠OB′C=，设OC=3x，则B′C=5x，由勾股定理得OB′=4x，根据矩形的性质可知BC=B′C=OA=5x，可知AB′=x，由折叠的性质可证△B′OC∽△EAB′，由相似三角形对应边的比相等求AE，B′E，在Rt△B′CE中，利用勾股定理求x即可确定E点的坐标．
【详解】解：在Rt△B′OC中，根据sin∠OB′C=，
设OC=3x，则=5x，
由勾股定理O==4x，
根据矩形的性质可知BC=B′C=OA=5x，
∴AB′=x，
∵，
∴,
∵
∴△B′OC∽△EAB′，
∴，
即，
∴AE= ，B′E=x，
在Rt△B′CE中，由勾股定理得
B′C2+B′E2=CE2，即（5x）2+（x）2=（5）2，
解得x=3，
∴OA=5x=15，AE==4，∴E（15，4）．
故答案为：（15，4）．
【点睛】本题考查了锐角三角函数值的运用，勾股定理的运用，折叠的性质．关键是利用勾股定理列方程求解．
16. 如图，、两点在反比例函数（）的图象上，的延长线交轴于点，且，则的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】过A、B两点作x轴的垂线，交x轴分别于E、F两点，得到△CBF∽△CAE，设，进而得到，即可求出△AOC的面积．
【详解】解：过A、B两点作x轴的垂线，交x轴分别于E、F两点，如下图所示：
∵，
∴，
∵EF∥BF，
∴△CBF∽△CAE，
∴，
设，则，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图形及性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握各图形的性质及判定方法是解决本题的关键．
17. 二次函数的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为______．

【答案】
【解析】
【详解】解：连接BC与AO交于点D，
∵四边形OBAC为菱形
∴AO⊥BC，
∵∠OBA=120°
∴∠AOB=30°，
∵B的坐标为(1，)，
∴OA=2OD=2，BC=2BD=2，
∴菱形的面积=×AO×BC=×2×2=2.
故答案为：
考点：二次函数的性质
18. 如图，在等边内有一点，，，，将绕点逆时针旋转，使与重合，点旋转至点，则的余弦值为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数．由旋转的性质证明是等边三角形和得：，，过点E作，垂足为H．设，则．由勾股定理得出，求出的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵绕点逆时针旋转，且与重合，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
过点作，垂足为．
设，则．
由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
故答案为：．
三、解答题（共78分，将答案写在答题纸上）
19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数（）的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．一次函数的图象经过、两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为______．
【答案】（1）, ；（2）
【解析】
【分析】（1）先求出B点的坐标，再由反比例函数过点，求出点的坐标，代入即可，
由矩形的性质可得、坐标，代入即可求出解析式；
（2）“将军饮马问题”，作关于轴的对称点，连接,直线与轴交点即为所求．
【详解】（1） 四边形是矩形，，

为线段的中点

将代入，得




将，代入，得：
，解得

（2）如图：作关于轴对称点，连接交轴于点P
当三点共线时，有最小值
，
设直线的解析式为
将，代入，得
，解得
令，得
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数性质，反比例函数和一次函数待定系数法求解析式，反比例函数图像上点的特点，线段和距离最值问题，正确的作辅助线，理解并记忆待定系数法求解的技巧是解题关键．
20. 如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B．

（1）求m的值；
（2）点M是函数图象上P点右侧的一点，过点M作于点D，若，求点M的坐标．
【答案】（1）24 （2）
【解析】
【分析】（1）根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，然后把P点的坐标代入到 函数，即可求出m．
（2）根据正切的定义，利用两点之间的距离结合已知条件建立等式求解即可．
【小问1详解】
解：∵点P的纵坐标为4，
∴，
解得：，
∴，
把代入得：，
解得：．
【小问2详解】
由（1）知，，，
且轴，，
设，则，
∵，
即，
化简整理得：
解得：，（舍去）
则，
∴点M的坐标为：．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的应用．熟练掌握函数图象交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．
21. 如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，米．求标识牌CD的高．
【答案】15−5．
【解析】
【分析】过点B作BM⊥EA延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN−DE即可求出结论．
【详解】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．
在Rt△ABM中，AB＝10米，∠BAM＝30°，
∴AM＝AB•cs30°＝5（米），BM＝AB•sin30°＝5（米）．
在Rt△ADE中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，
∴DE＝AE•tan60°＝10（米）．
在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋5（米），∠CBN＝45°，
∴CN＝BN•tan45°＝10＋5（米），
∴CD＝CN＋EN−DE＝10＋5＋5−10＝15−5（米）．
【点睛】此题考查解直角三角形−仰角俯角问题及解直角三角形−坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．
22. 如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线于点E，且．

（1）求k，p的值；
（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．
【答案】（1），
（2）点的坐标为(4，2)
【解析】
【分析】（1）先求出点B的坐标，得到，结合点A的横坐标为2，求出的面积，再利用求出，设，代入面积中求出k，得到反比例函数解析式，再将点A横坐标代入出点A纵坐标，最后将点A坐标代入直线即可求解；
（2）根据（1）中点C的坐标得到点E的坐标，结合OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，列出关于m的方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：∵直线与y轴交点为B，
∴，
即．
∵点A的横坐标为2，
∴．
∵，
∴，
设，
∴，
解得．
∵点在双曲线上，
∴，
把点代入，得，
∴，；
【小问2详解】
解：由（1）得，
∴．
∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，
∴，
∵，，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴点的坐标为（4，2）．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质及待定系数法求函数解析式是解题的关键．
23. 如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，
【答案】（1）30°；（2）9m．
【解析】
【分析】（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
【详解】解：延长PQ交直线AB于点E，
（1）∠BPQ=90°-60°=30°；
（2）设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE=PE=x米，
∵AB=AE-BE=6米，
则x-x=6，
解得：x=9+3．
则BE=（3+3）米．
在直角△BEQ中，QE=BE=（3+3）=（3+）米．
∴PQ=PE-QE=9+3-（3+）=6+2≈9（米）．
答：电线杆PQ的高度约9米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
24. 如图，直线y＝﹣x+m与x轴，y轴分别交于点B，A两点，与双曲线y＝（k≠0）相交于C，D两点，过C作CE⊥x轴于点E，已知OB＝4，OE＝2．
（1）求直线和双曲线的表达式；
（2）设点F是x轴上一点，使得S△CEF＝2S△COB，求点F的坐标；
（3）求点D的坐标，并结合图象直接写出不等式﹣x+m≥的解集．
【答案】（1）y＝﹣；（2）F（﹣10，0）或（6，0）；（3）点D的坐标为（6，﹣），x≤﹣2或0＜x≤6．
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例函数的解析式；
（2）根据三角形面积公式求得EF的长，即可求得点F的坐标；
（3）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，然后根据函数的图象和交点坐标即可求解．
【详解】（1）∵OB＝4，OE＝2，
∴B（4，0），C点的横坐标为﹣2，
∵直线y＝﹣x+m经过点B，
∴0＝﹣,解得m＝，
∴直线为：y＝﹣x+，
把x＝﹣2代入y＝﹣x+得，y＝﹣×（﹣2）+＝2，
∴C（﹣2，2），
∵点C在双曲线y＝（k≠0）上，
∴k＝﹣2×2＝﹣4，
∴双曲线的表达式为：y＝﹣；
（2）∵B（4，0），C（﹣2，2），
∴OB＝4，CE＝2，
∴S△COB＝×4×2＝4，
∵S△CEF＝2S△COB，
∴S△CEF＝×EF×2＝8，
∴EF＝8，
∵E（﹣2，0），
∴F（﹣10，0）或（6，0）；
（3）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得 ，
可得交点D的坐标为（6，﹣），
由图象得，不等式﹣x+m≥的解集为x≤﹣2或0＜x≤6．
【点睛】考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
25. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作轴于点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先将代入求出，再将代入反比例函数即可求出k；
（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，需分类讨论：当AB为一条对角线时，当AC为一条对角线时，当AD为一条对角线时，根据中点坐标公式分别求出D点坐标，另还需考虑D在第一象限．
【小问1详解】
解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点A
把代入得
∴
∴
把代入反比例函数得
∴
∴反比例函数的解析式是；
【小问2详解】
由（1）知A(1,4)，C(2,0)，反比例函数解析式为，
∵，B在反比例函数图象上，
∴B(2，2),
令D(m,n)，
以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
当AB为一条对角线时，则，
解得m=1，n=6，
∴D(1,6)
当AC为一条对角线时，则，
解得m=1，n=2，
∴D(1,2)
当AD为一条对角线时，则，
解得m=3，n=-2，
∴D(3,-2)（舍去）
综上所述，点D的坐标是或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数相交问题以及平行四边形存在性问题，解题关键是由题中的条件分别求出A，B，C的坐标，再分类讨论求出平行四边形的第四个顶点坐标．