专题24 抛物线（解答题压轴题）（学生+教师版）--310高考数学压轴题（新高考版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc16115" ①抛物线焦点弦（弦长）问题 PAGEREF _Tc16115 \h 1
\l "_Tc28442" ②抛物线中点弦问题 PAGEREF _Tc28442 \h 3
\l "_Tc10894" ③抛物线中参数范围与最值问题 PAGEREF _Tc10894 \h 5
\l "_Tc19435" ④抛物线中定点、定值、定直线问题 PAGEREF _Tc19435 \h 7
\l "_Tc1620" ⑤抛物线综合问题 PAGEREF _Tc1620 \h 9
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①抛物线焦点弦（弦长）问题
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与交于两点，与轴交点为P.
(1)若，求的方程；
(2)若，求.
2．（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线的准线方程是.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值.
3．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E上一点H的纵坐标为5，O为坐标原点，．
(1)求抛物线E的方程；
(2)抛物线上有一条长为6的动弦长为6的动弦AB，当AB的中点到抛物线的准线距离最短时，求弦AB所在直线方程．
4．（2023·全国·高二随堂练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，求及的面积.
5．（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知抛物线是它的焦点.
(1)过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，求线段的长；
(2)为抛物线上的动点，点，求的最小值.
6．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，且经过．
(1)求的方程；
(2)若直线过的焦点，且与交于，两点，，求的方程．
②抛物线中点弦问题
1．（2023秋·陕西商洛·高二校考期末）直线：与抛物线：交于，两点，且
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与交于，两点，且弦的中点的纵坐标为，求的斜率．
2．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与抛物线相交于、两点.
(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；
(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.
3．（2023秋·高二课时练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点，且线段AB恰好被点平分.
(1)求直线l的方程；
(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称?若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由.
4．（2023·四川成都·三模）已知斜率为的直线l与抛物线相交于P，Q两点．
(1)求线段PQ中点纵坐标的值；
(2)已知点，直线TP，TQ分别与抛物线相交于M，N两点（异于P，Q）．则在y轴上是否存在一定点S，使得直线MN恒过该点？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2023·全国·高二专题练习）已知斜率为的直线与抛物线相交于两点．
(1)求线段中点纵坐标的值；
(2)已知点，直线分别与抛物线相交于两点（异于）．求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
6．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，是抛物线C上一点，，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段的中点坐标为，求直线l的方程．
③抛物线中参数范围与最值问题
1．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知动圆过点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线；过点的直线与曲线交于，两点，曲线在，两点处的切线交于点.
(1)证明：；
(2)设，当时，求的面积的最小值.
2．（2023·全国·高一随堂练习）已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，求的最小值.
3．（2023秋·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期末）已知抛物线的顶点在原点，焦点在直线上．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点的直线m与焦点在x轴上的抛物线交于A，B两点，若原点O在以线段AB为直径的圆外，求实数a的取值范围．
4．（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）已知抛物线：（）上的一点到准线的距离为1．
(1)求抛物线的方程；
(2)若正方形的三个顶点、、在抛物线上，求这种正方形面积的最小值．
5．（2023秋·广东佛山·高三校联考阶段练习）已知抛物线，为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5．
(1)求E的标准方程；
(2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为．
（i）证明：直线过定点；
（ii）求的最小值．
6．（2023·湖南长沙·长沙一中校考一模）抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上.已知以为圆心，为半径的圆交于两点，若的面积为.
(1)求的值；
(2)过点的直线交抛物线于点（异于点），交轴于点，过点作直线的垂线交拋物线于点，若点的横坐标为正实数，直线和抛物线相切于点，求正实数的取值范围.
④抛物线中定点、定值、定直线问题
1．（2023秋·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）已知抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点.
(1)求抛物线T的方程：
(2)已知圆，过点作圆的两条切线，分别交抛物线T于，和，四个点，试判断是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，请说明理由.
2．（2023秋·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）已知椭圆：的离心率为，的左右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，满足.抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点.
(1)若直线与椭圆相交于，两点，且的中点为，求直线的方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，证明：为定值.

3．（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线经过点，直线与交于，两点（异于坐标原点）．
(1)若，证明：直线过定点．
(2)已知，直线在直线的右侧，，与之间的距离，交于，两点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

4．（2023春·福建福州·高二校联考期末）如图，正六边形ABCDEF的边长为4．已知双曲线的焦点分别为A，D，两条渐近线分别为直线BE，CF．

(1)建立适当的平面直角坐标系，求的方程；
(2)过点A的直线l与交于P，Q两点，，若点M满足，证明：点M在一条定直线上．
5．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，．
(1)求的标准方程；
(2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上．
⑤抛物线综合问题
1．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB，l于点P，Q，N.
(1)判断线段PM与NQ长度的大小关系，并证明你的结论；
(2)若线段NP上的任意一点均在以点Q为圆心、线段QO长为半径的圆内或圆上，求直线AB斜率的取值范围.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M
（1）求点M到抛物线C1的准线的距离；
（2）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．
3．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，圆以点为圆心，半径为1.若过点且倾斜角为的直线与抛物线及圆自上而下依次交于，，，四点，则.
(1)求抛物线的方程；
(2)设为坐标原点，点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于，两点，直线分别交轴正半轴、轴正半轴于，两点，求面积的最小值.
4．（2023秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知抛物线为抛物线上四点，点在轴左侧，满足.
(1)求抛物线的准线方程和焦点坐标；
(2)设线段的中点为.证明：直线与轴垂直；
(3)设圆，若点为圆上动点，设的面积为，求的最大值.
5．（2023秋·福建漳州·高三校考阶段练习）如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为.

(1)求曲线的方程；
(2)一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点.
①求证：不可能是钝角；
②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由.