01，甘肃省天水市第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

这是一份01，甘肃省天水市第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题：刘肃育 审核：赵小军
（满分：150 时间：120分钟）
一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）
1. 用这五个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A. 18B. 24C. 30D. 48
【答案】D
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理计算即可.
【详解】由题意可知，首位数字有4种选择，则中间的数位有4种选择，末尾数字有3种选择.
由分步乘法计数原理可知，可以组成没有重复数字的三位数的个数.
故选:.
2. 若直线与圆相切，则实数的值为（ ）
A. 或B. 1或
C. 或3D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得.
【详解】由圆心为，半径为，
即，
则，
解得或.
故选：C.
3. 已知等比数列的公比，则（ ）
A. B. 5C. 10D. 20您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 免费下载 【答案】C
【解析】
【分析】利用等比数列的通项公式即可得解.
【详解】因为是等比数列，且，
所以.
故选：C
4. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（ ）
A. B. C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】利用点在抛物线上求得，再利用抛物线的焦半径公式即可得解.
【详解】将点代入抛物线方程，得，则，
所以.
故选：B.
5. 若数列满足：，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据递推公式求出数列的前项可得数列的周期，根据周期可求出结果.
【详解】因为，，
所以，，，，
所以数列是以为周期的数列，
又因为，所以，
故选：A．
6. 已知点，椭圆与直线交于点，则的周长为（ ）
A 4B. 8C. 12D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】求出椭圆中，发现点为椭圆的右焦点，直线过左焦点，从而根据椭圆定义得到的周长为.
【详解】由椭圆方程可知，所以，，
所以点为椭圆的右焦点，
直线过左焦点，
由椭圆定义可知：的周长为
故选：B
7. 设正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的片段和的性质即可结合不等式求解最值.
【详解】因为是等比数列，且，又，
所以，且，，也是等比数列，
所以（当且仅当时取等号），
因为，所以的最小值为，
故选:B．
8. 点为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用化简可知，再利用，即可得到结论.
【详解】由题意，
又为圆的任意一条直径，则，
在椭圆中，有，即，
所以，，故取值范围为.
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题.
二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 点在圆内
B. 圆上的点到直线的最小距离为1
C. 圆和圆的公切线长为2
D. 圆和圆的公共弦所在的直线方程为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据点与圆的关系即可求解A,根据圆心到直线的距离即可求解B，根据相交弦的定义即可求解D，根据相交时两圆的外公切线的求解即可判定C.
【详解】圆的圆心和半径分别为,圆的圆心和半径为，
对于A，由于，故点在圆外，故A错误，
对于B，到的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，B正确，
对于D,由于,故两圆相交，
两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为：，故D正确，
对于C，由于两圆相交，所以外公切线的长度为，C正确，
故选：BCD
10. 有五名志愿者参加社区服务，共服务周六､周天两天，每天从中任选两人参加服务，则（ ）
A. 只有1人未参加服务的选择种数是30种
B. 恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种
C. 只有1人未参加服务的选择种数是60种
D. 恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种
【答案】AD
【解析】
【分析】有1人未参加服务或恰有1人连续参加两天服务都要先从5人中选出1人，再从余下的人中选取服务于周六周日，根据分步乘法原理，即可求得答案.
【详解】由题意得只有1人未参加服务，先从5人中选1人，未参加服务，有种选法，
再从余下4人中选2人参加周六服务，剩余2人参加周日服务，有种选法，
故只有1人未参加服务的选择种数是种，A正确，C错误；
恰有1人连续参加两天服务，先从5人中选1人，服务周六､周天两天，有种选法，
再从余下4人中选1人参加周六服务，剩余3人选1人参加周日服务，有种选法，
故恰有1人连续参加两天服务的选择种数是种，B错误，D正确，
故选：AD
11. 设公差为的等差数列的前项和为，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 时，的最大值为D. 数列中的最小项为第项
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据等差数列通项公式和前项和的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，因为，且，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，且数列满足，，，
所以得到不等式，解得，故B正确；
对于C，依题意得，
当时，（因为，故且数列单调递减），
所以，所以当时的最大值为，故C正确；
对于D，当时，，，所以；
当时，，，所以；
当时，，且单调递增，，，
故为正数且单调递减，所以单调递减，故且单调递增，
所以的最小项为第项，故D正确；
故选：BCD
12. 已知，是椭圆：的左右顶点，过点且斜率不为零的直线与 交于，两点，，，，分别表示直线，，，的斜率，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 直线与的交点的轨迹方程是
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，设，得到，利用斜率公式表达出；B选项，设出直线：，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，利用斜率公式表达出；C选项，由AB选项可得C错误；D选项，表达出直线和直线方程，联立后得到，结合求出答案.
【详解】对于A：设交点，因为在椭圆上，故，
所以.选项正确；
对于B：设，，直线：，联立，
消去，得，则①，②，
所以
，故选项B正确；
对于C：联立和，相除得，故选项C错误；
对于D：设直线方程：③，
直线方程：④，联立③④，消得，
，
结合选项B中①②得，
所以.D正确；
故选：ABD.
【点睛】求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，本题的难点是表达出直线和直线方程，联立后得到，下一步的处理方法，本题中用到了求轨迹方程的交轨法，属于较难一些的方法，要结合交点坐标得到，再代入式子中，即可求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 展开式的常数项为______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用二项式定理求得展开式的通项公式，再分别求中常数项与含项的系数，从而得解.
【详解】因为展开式的通项公式为，
当1乘以时，令，解得，常数项为；
当乘以时，令，解得，常数项为；
所以的展开式中的常数项为.
故答案为：.
14. 已知等差数列满足，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由等差数列的性质可得，代入条件式，可求得，再根据，可得解.
【详解】在等差数列中，，又，
，解得，又，而，解得.
故答案为：.
15. 2023年杭州亚运会召开后，4位同学到三个体育场馆做志愿者服务活动，每个体育场馆至少一人，每人只能去一个体育场馆，则不同的分配方法总数是______．
【答案】36
【解析】
【分析】先分组再排列计算即可.
【详解】由题意可知必有一个场馆是两名志愿者，先将四名同学分成三组，即每组各有人，再进行排列，则有种方法.
故答案为：
16. 已知椭圆，过点的直线交椭圆于两点，则以为直径的圆过定点______．
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论直线斜率存在与否，联立直线与椭圆的方程，将以为直径的圆的方程转化为只含有参数的方程，从而求得该圆所过定点，从而得解.
【详解】设是以为直径的圆上任意的一点，，
则，，
因为，则，即，
所以圆的方程为，
当直线斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，
联立，消去，得，
则，
故，
所以，
，
所以圆的方程可表示为，
即，
令，解得，
此时该圆恒过定点；
当直线斜率不存在时，直线的方程为，
此时，则圆的方程为，此时该圆过定点；
综上，该圆过定点.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
（1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？
（2）女生互不相邻的坐法有多少种？
（3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【答案】（1）576 （2）144
（3）960
【解析】
【分析】（1）由捆绑法即可得到结果；
（2）由插空法即可得到结果；
（3）结合捆绑法与插空法代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
先将4名女生排在一起，有种排法，
将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
【小问2详解】
先将3名男生排好，共有种排法，
在这3名男生中间以及两边的4个空位中插入4名女生，共有种排法，
再由分步乘法计数原理，共有种排法；
【小问3详解】
先将甲乙丙以外的其余4人排好，共有种排法，
由于甲乙相邻，则有种排法，
最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空隙中，
共有种排法，
由分步计数原理，共有种排法.
18. 已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点作直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．
【答案】18.
19. 或
【解析】
【分析】（1）根据题干假设出圆的标准方程，代入题干信息即可求解.
（2）讨论过点的直线斜率不存在时，是否与圆相交，弦长是否为；斜率存在时，利用弦长公式进行计算，求解直线的方程即可.
小问1详解】
设圆的标准方程为，
代入题干得：，解得：
则圆的标准方程为：
【小问2详解】
当过点的直线斜率不存在时，直线为：，此时圆心到直线的距离为所以相切，与题干不符；
当过点的直线斜率存在时，设直线的方程为：，即，
此时圆心到直线的距离为，又因为相交的弦长为，则.
所以，解得或
则直线的方程为：或
19. 已知椭圆的两个焦点分别为，，P为椭圆上一点，且．
（1）求此椭圆的标准方程；
（2）若点P在第二象限，，求△的面积．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设椭圆的标准方程为且，根据椭圆的定义求得，进而求得的值，即可求解；
（2）根据椭圆的定义，得到，结合余弦定理列出方程，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.
【小问1详解】
设椭圆的标准方程为，焦距为，
由椭圆的两焦点分别为，，可得，，
∴，可得，
∴，则，
∴椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
∵在第二象限，，在△中，由．
∴根据余弦定理得，即，解得，
∴．
20. 记为数列的前项和，已知，是公比为的等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的定义可得，进而根据的关系可得为等差数列，进而可得通项，
（2）根据错位相减法即可求解.
【小问1详解】
由题设得等比数列的通项公式为
． ①
则
． ②
②-①得，化简得到，，所以数列是公差为的等差数列．
因此．
故数列的通项公式为．
【小问2详解】
将的通项公式代入①式可得，，可用错位相减法求的前项和．
． ③
． ④
③-④可得，．
21. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且经过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若过点的直线交双曲线同一支于两点，设中点为，求面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由渐近线的性质判断得双曲线为等轴双曲线，从而利用待定系数法即可得解；
（2）依题意设直线的方程为，与双曲线C方程联立，由韦达定理求出中点的纵坐标，同时由其条件求得m的范围，进而求出的面积表达式，根据函数的单调性即可得解.
【小问1详解】
依题意，设双曲线的渐近线方程为，
则，解得，故双曲线为等轴双曲线，
不妨设双曲线的方程为 ，
因为双曲线经过点，所以，则，
所以双曲线的方程为，即标准方程为 .
【小问2详解】
由题意，易知直线斜率存在且不为，
设直线的方程为，
联立，消去，得，
由于双曲线的对称性，不妨设，
则，解得，
设点的纵坐标为，因为点为的中点，则，
所以，
因为在上单调递增，所以，
所以，故面积取值范围为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求粗圆的标准方程；
（2）若椭圆的上顶点为点，过点的直线交椭圆于点，证明：为定值，并求出定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析；定值为
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到关于的方程组，解之即可得解；
（2）分类讨论直线斜率存在与否，联立直线与椭圆的方程，得到关于的表达式，从而求得的值，从而得证.
【小问1详解】
因为椭圆的离心率为，且过点，
所以，解得，
则椭圆的标准方程: .
【小问2详解】
由（1）得，
当直线斜率不存在时，直线方程为，不妨设在轴上方，
此时，则；
当直线斜率存在时，设直线方程为，
因为直线过，则，即，
联立，消去，得，
则，
设，则，
所以
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.