08，山东省烟台第一中学2023-2024学年高三上学期周测数学试题（三）

这是一份08，山东省烟台第一中学2023-2024学年高三上学期周测数学试题（三），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．根据如下样本数据，
得到的经验回归方程为．若样本点的中心(，)为(8，0.9)，则当x每增加1个单位时，y就平均( )．
A．增加0.8个单位B．减少0.8个单位
C．增加8.9个单位D．减少8.9个单位
2．某同学用收集到6组成对样本数据(，)(i＝1，2，3，4，5，6)，绘成如图所示的散点图(点旁的数据为该点的坐标)，并由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程：，样本相关系数为，相关指数为；经过残差分析确定点为“离群点”(对应残差过大的点)，将它去掉后，用剩下的5组数据计算得回归直线的方程：，样本相关系数为，相关指数为．则以下结论中，正确的是( )．
(第2题)
A．B．C．D．
3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．由试验收集到的数据如下表．用最小二乘法求得经验回归方程为＝0.67x＋53.2．
后来发现表中有一个数据模糊不清，推测该数据为( )．
A．80B．86C．87D．89
4．一次测试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理分数如下表．
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绘出散点图如下．
(第4题)
根据以上信息，下列结论正确的是( )．
A．根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系
B．根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系
C．甲同学数学考了80分，他的物理成绩分数一定比数学只考了76分的乙同学高
D．若两名同学的数学成绩不一样，则他们的物理成绩一定不一样
5．下列两个变量具有相关关系的是( )．
A．人的身高与学习成绩B．圆的周长与半径
C．商品的广告支出与销售收入D．人的脂肪含量与视力
6．根据下列散点图，可以推断变量x与y呈正线性相关的是( )．
A． B．
C． D．
7．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能．共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象．为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是( )．
A．B．
C． D．
8．为研究高中生数学成绩与物理成绩的关系，某兴趣小组抽取了一组数据，用2×2列联表开展独立性检验，经计算得＝7.53，那么能推断数学成绩与物理成绩有关系，α的小值为( )．
A．1%B．0.5%C．0.1%D．5%
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法不正确的是( )．
A．独立性检验中，抽取的样本不同，独立性检验的结论可能有差异
B．回归分析中，相关指数R2为0.78的模型比R2为0.92的模型拟合效果好
C．回归分析中，残差的平方和越大，模型的拟合效果越好
D．样本相关系数r为－0.99，表明成对数据的线性相关性很弱
10．根据经验，父亲身高x(单位：cm)与长大成年的儿子身高y(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组成对样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)，用最小二乘法建立的经验回归方程为＝0.84x＋28.9，则下列结论中正确的是( )．
A．回归直线过样本点中心(，)
B．变量y与x呈正相关
C．父亲身高增加1 cm，其儿子身高约增加0.84 cm
D．若某父亲身高为170 cm，则其儿子的身高一定为171.7 cm
11．某高中为了研究学生爱吃零食是否与性别有关，用简单随机抽样的方法抽取了100名学生调查购买零食的费用．若规定每月在零食上花费不低于50元的为吃零食较多，每月在零食上花费不满50元的为吃零食较少．在抽取的45名男生中，有15人吃零食较多；在抽取的55名女生中，有20人吃零食较少，则下列关于高中学生喜欢吃零食与性别是否有关的结论中，不正确的是( )．
A．能据此推断“爱吃零食与性别无关”，且犯错误概率不超过0.005
B．能据此推断“爱吃零食与性别有关”，且犯错误概率不超过0.005
C．能据此推断“爱吃零食与性别无关”，且犯错误概率不超过0.001
D．能据此推断“爱吃零食与性别有关”，且犯错误概率不超过0.001
12．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试．统计得到成绩与专业的列联表如下所示：
则下列说法不正确的是( )．
A．能据此推断环保知识测试成绩与专业有关，且犯错误概率不超过0.01
B．能据此推断环保知识测试成绩与专业无关，且犯错误概率不超过0.01
C．能据此推断环保知识测试成绩与专业有关，且犯错误概率不超过0.05
D．能据此推断环保知识测试成绩与专业无关，且犯错误概率不超过0.05
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题后的横线上．
13．已知变量x和y的统计数据如下表．
若根据表中数据得经验回归直线方程为＝0.85x＋，则＝__________；当x＝10时，残差(残差＝观测值－预测值)为__________．（本小题第一空2分，第二空3分）
14．以模型y＝ceΚx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设＝ln y，经变换后得到的线性经验回归方程为＝0.5x＋1，则Κ＝__________；c＝__________．（本小题第一空2分，第二空3分）
15．某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，农作物生长过程中需将海水稀释后进行灌溉．某实验基地为了研究海水浓度x(%)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表．
绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y(吨)与海水浓度x(%)之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的一元线性经验回归方程为＝－0.07x＋．则＋m＝__________．
16．某数学老师的身高为176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别为173 cm，170 cm和182 cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，所以该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为___________ cm．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)某公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表．
他们分别用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的经验回归方程并进行残差分析，得出如图所示的残差图及一些统计量的值．
(第17题)
(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？试说明理由；
(2)若规定残差绝对值大于3的数据是异常数据，需要剔除：
(ⅰ)剔除异常数据后求出(1)中所选模型的经验回归方程；
(ⅱ)若广告投入量x＝14时，该模型收益的预报值是多少？
18．(12分)某中学为了了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1 200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成了三类：A类(不参加课外阅读)，B类(参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时)，C类(参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时)．调查结果如下表：
(1)求出表中x、y的值；
(2)根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“参加阅读与否”与性别是否有关？
(3)从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记为抽取的这3名女生中A类人数和C类人数差的绝对值，求的数学期望．
参考数据：
参考公式：卡方统计量，其中．
19．(12分)一研究公司为了调查公众对某事件的关注程度，在连续6个月内，对月份和关注人数(单位：百)(i＝1，2，…，6)数据做了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明，并建立y关于x的回归方程；
(2)现从这6个月中，随机抽取3个月份，求关注人数不低于1 600人的月份个数的分布列和数学期望．
参考公式：相关系数，
20．(12分)“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量(克)在正常环境下服从正态分布N(32，16)．
(1)购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20 g的牡蛎的可能性有多大？
(2)2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x(单位：人)与年收益增量y(单位：万元)的数据如下：
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程为＝4.1x＋11.8；
模型②：由散点图(如图)的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝的附近，对人工投入增量x做变换，令，则，且有＝2.5，＝38.9，＝81.0，＝3.8．
(i)根据所给的统计量，求模型②中y关于x的经验回归方程(精确到0.1)；
(ii)根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量．
附：若随机变量Z～N，则P(≤Z≤)＝0.997 4，0.998 710≈0.987 1；
样本(ti，yi)(i＝1，2，…,n)的最小二乘估计公式为＝，＝．
21．(12分)下图是我国2015年至2021年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
注：年份代码1～7分别对应年份2015～2021．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2023年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：＝9.32，＝40.17，＝0.55，≈2.646．
参考公式：相关系数r＝，
回归方程＝＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，＝－．
22．(12分)某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阴性．现有n()份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验n次；(2)混合检验，将其中(，≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，则这份血液全为阴性，因而这份血液只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为＋1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0＜p＜1)．
(1)假设有5份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
(2)现取其中 (，k≥2)份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数为．
①若＝，试运用概率统计的知识， 求p关于的函数关系式p＝f()；
②若p＝1－，采用混合检验的方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求的最大值．
参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 4≈1.386 3，ln 5≈1.609 4，ln 6≈1.791 8．
烟台一中高三数学周测（十三）
1．B．提示：，，，，则当x每增加1个单位时，y就平均减少0.8个单位．
2．C．提示：从图形中可以看出，成对样本数据负相关，所以选项A错误；由图得，，所以选项B是错误的．去掉离群点后，残差平方和变小．残差平方和越小，R2越大，所以去掉离群点后R2变大，，C正确．去掉离群点后，相关关系很强，且呈负相关．更接近－1，故，D错误．故选C．
3．B．提示：设表中那个模糊看不清的数据为m．由表中数据得＝40，＝，所以样本点的中心为(40，)，因为样本点的中心在回归直线上，所以＝0.67×40＋53.2，解得m＝86．
4．B．提示：对于A，根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，不是一次函数关系，A错误；对于B，根据此散点图知，各点都分布在一条直线附近，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，B正确；对于C，甲同学数学考了80分，他的物理成绩可能比数学只考了70分的乙同学的物理成绩低，所以C错误；D错误．数学成绩不一样，物理成绩可能相同．
5．C． 6．D． 7．D． 8．A．
9．BCD．
10．ABC．提示：根据经验回归方程只能作平均值的预测．若某父亲身高为170 cm，其儿子的身高不一定为171.7 cm，所以D不正确，故选ABC．
11．ACD．提示：根据条件得列联表如下．
计算并结合临界值表可得＞＝9.09＞7.897＝可知，能据此推断“爱吃零食与性别有关”，且犯错误概率不超过0.005，即B正确，故选ACD．
12．ABD．提示：根据表可知，，由于3.841＜4.91＜6.635，所以能据此推断环保知识测试成绩与专业有关，且犯错误概率不超过0.05．即C正确，故选ABD．
13．－1.8；0.3．提示：依题意得5＝8×0.85＋，解得＝－1.8；
当x＝10时，＝0.85×10－1.8＝6.7，所以残差为y－＝7－6.7＝0.3．
14．0.5；e．提示：由ln y＝ln c＋ln eΚx＝ln c＋Κx＝0.5x＋1，可得Κ＝0.5，ln c＝1，所以c＝e．
15．0.78．提示：因为＝(3＋4＋5＋6＋7)＝5．＝(0.57＋0.53＋0.44＋0.36＋0.30)＝0.44．所以0.44＝－0.07×5＋，即＝0.79．所以线性回归方程为＝－0.07x＋0.79，＝－0.07×6＋0.79＝0.37，m＝y4－＝0.36－0.37＝－0.01，＋m＝0.78．
16．185．提示：根据“儿子的身高与父亲的身高有关”得到数据(173，170)，(170，176)，(176，182)，则
，，，，＝176－1×173＝3，
所以线性回归直线方程为＝x＋3，当x＝182时，＝185．
17．解：(1)应选择模型①，因为结合图象分析模型①的残差比模型②的小．（1分）
(2)(ⅰ)剔除异常数据，即3月的数据后，得
，．（3分）
，（4分）．（5分）
，（7分）．
所以y关于x的线性经验回归方程为．（9分）
(ⅱ)将x＝14代入经验回归方程得，故预报值为56.04万元．（10分）
18．解：(1)设抽取的20人中，男、女生人数分别为、，则
，，（1分）所以，（2分）
． （3分）
(2)列联表如下：（4分）
（6分）
所以根据小概率值的独立性检验，不能认为“参加阅读与否”与性别有关． （7分）
(3)的可能取值为0，1，2，3，
，（8分），（9分）
，（10分），（11分）
所以．（12分）
19．解：(1)，所以．（1分）
又，，（2分）
所以相关系数． （4分）
由于y关于x的相关系数，这说明y关于x的线性相关程度相当高，可用线性相关模型拟合y与x的关系．
又，且，（6分）
所以，所以回归方程为． （7分）
(2)的可能取值为0，1，2，3，
，，，
，（9分）
所以的分布列为（10分）
所以． （12分）
20．解：(1)由已知，单个“南澳牡蛎”质量～N(32，16)，则μ＝32，σ＝4．
由正态分布的对称性可知，
P(＜20)＝[1－P(20＜＜44)]＝[1－P(＜＜)]＝(1－0.997 4)＝
0.001 3．（2分）
设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20 g的牡蛎为X只，则X～B(10，0.001 3)，
故P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－0.001 3)10＝1－0.987 1＝0.012 9，（4分）
所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于20 g的牡蛎的可能性仅为1.29%．（5分）
(2)(i)由＝2.5，＝38.9，＝81.0，＝3.8，有＝＝≈21.3，（7分）且＝＝38.9－21.3×2.5≈－14.4．
所以，模型②中y关于x的回归方程为＝21.3－14.4．（8分）
(ii)由表格中的数据，有182.4＞79.2，即＞．（10分）
模型①的R2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．
当x＝16时，模型②的收益增量的预测值为＝21.3×－14.4＝21.3×4－14.4＝70.8(万元)．
这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠．（12分）
21．解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得＝4，＝28，＝0.55，＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈≈0.99．（2分）
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．（4分）
(2)由＝≈1.331及斜率和截距的最小二乘估计公式得
≈0.103，＝－≈1.331－0.103×4≈0.92．（6分）
所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t．（8分）
将2023年对应的t＝9代入回归方程得
＝0.92＋0.10×9＝1.82．（10分）
所以预测2023年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．（12分）
22．解：(1)设恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，
则P(A)＝ ＝．（1分）
故恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为． （2分）
(2)①由已知得E＝，的所有可能取值为1，＋1，
P(＝1)＝，P(＝＋1)＝，（3分）
所以E＝＋(＋1)[1－]＝．（4分）
若E＝ E，则＝p＝1－，（5分）
所以p关于的函数关系式p＝f()＝1－(，≥2)．（6分）
②由题意可得E＞E，得＜＝ln＞．（7分）
设f(x)＝ ln x－x(x＞0)，则f'(x)＝－．（8分）
当x∈(0，3)时，f'(x)＞0，则f(x)单调递增；（9分）
当x∈(3，＋∞)时，f'(x)＜0，则f(x)单调递减；（10分）
又ln 4≈1.386 3，≈1.333 3，所以ln 4＞．因为ln 5≈1.609 4，≈1.666 7，（11分）
所以ln 5＜．故的最大值为4．（12分）x
6
7
8
9
10
y
4.0
0.3
零件数x/个
20
30
40
50
60
加工时间y/min
67
73
80
▓
94
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学分数x
60
65
70
75
80
85
90
95
物理分数y
72
77
80
84
88
90
93
95
班级
人数
总计
优秀
非优秀
A班
14
6
20
B班
7
13
20
总计
21
19
40
x
6
7
8
9
10
y
3.5
4
5
5.5
7
海水浓度x(%)
3
4
5
6
7
亩产量y(吨)
0.57
0.53
0.44
0.36
0.30
残差
－0.01
0.02
0
m
0
月份
1
2
3
4
5
6
广告投入量/万元
2
4
6
8
10
12
收益/万元
20.21
26.31
37.8
37.18
43.83
50.67
7
36
1 716.24
364
A类
B类
C类
男生
x
5
3
女生
y
3
3
参加阅读与否
人数
总计
男生
女生
不参加课外阅读
参加课外阅读
总计
人工投入增量x/人
2
3
4
6
8
10
13
年收益增量y/万元
13
22
31
42
50
56
58
回归模型
模型①
模型②
回归方程
＝4.1x＋11.8
y＝
182.4
79.2
性别
吃零食情况
合计
吃零食较多
吃零食较少
男性
15
30
45
女性
35
20
55
合计
50
50
100
参加阅读与否
人数
总计
男生
女生
不参加课外阅读
4
2
6
参加课外阅读
8
6
14
总计
12
8
20