11，内蒙古自治区兴安盟乌兰浩特第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题

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第I卷（选择题）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出两个集合，然后求交集即可.
【详解】解：集合表示函数的值域，为，即；
集合表示函数的定义域，则，解得且，即．
所以，
故选：D
【点睛】此题考查了指数函数，对数函数，考查了集合的交集运算，属于基础题.
2. 记，那么
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】,
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那么，
故选B．
3. 已知扇形面积为8，扇形的圆心角为2 rad，扇形的周长为（ ）
A. B. C. 8D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，利用扇形的弧长和面积公式，求得，则可求出扇形的周长.
【详解】解：设扇形的半径为r，弧长为l，
已知扇形的圆心角为2 rad，则，
扇形面积，
所以扇形的周长，
故选：A.
4. 溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的浓度通常在之间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的值的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】按题设所给公式求相应的值即可.
【详解】依题意，，因此，正常人体血液的值的范围是．
故选:D．
5. 若函数是定义在上偶函数，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用偶函数的定义可计算的值，再根据解析式计算函数值即可.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，
所以且，则，
所以，则.
故选：D．
6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数的定义域求出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域问题即可得解.
【详解】解：由函数的定义域为，得，
所以函数的定义域为，
由函数，
得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：B.
7. 已知f（x）＝是R上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A. (0，1)B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】要使函数在上为减函数，则要求①当，在区间为减函数，②当时，在区间为减函数，③当时，，综上①②③解不等式组即可.
【详解】令，.
要使函数在上为减函数，
则有在区间上为减函数，
在区间上为减函数且,
∴,解得.
故选：B．
【点睛】考查根据分段函数的单调性求参数的问题，根据单调性的定义，注意在分段点处的函数值的关系，属于中档题.
8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定，结合正弦函数性质可得，由此解不等式组，即可求得答案.
【详解】由题意得，则，
则，，
当时，由，解得，又，故；
当时，由，得无解，同理当时，无解.
故选：C
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分
9. 下列计算正确的是（ ）
A. lg26－lg23＝lg23B. lg26－lg23＝1
C. lg39＝2D. lg3(－4)2＝2lg3(－4)
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，结合对数的运算法则和运算性质，准确化简，即可求解.
【详解】由对数的运算公式，可得，所以A错误、B正确；
又由，所以C正确；
由，所以D错误.
故选：BC.
10. 下面关于叙述中正确的是（ ）
A. 关于点对称
B. 关于直线对称
C. 在区间上单调递增
D. 函数的零点为
【答案】AC
【解析】
【分析】
对于选项A：直接代入即可判断；对于选项B：代入检验是否为最值即可判断；对于选项C：求出的单调增区间即可判断；对于选项D：令求出零点，即可判断.
【详解】对于选项A：，选项A正确；
对于选项B：，不是最值，选项B错误；
对于选项C：由，
则的单调递增区间为，
又显然是的子集，则选项C正确.
对于选项D：由得，所以，则选项D错误.
故选：AC.
11. 下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递减的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据图象的周期变换和翻折变换作出函数图象，然后可得.
【详解】作出函数的图象，如图1，显然A错误；

作函数图象，如图2，故B正确；
作函数图象，如图3，故C错误；
作函数图象，如图4，故D正确.
故选：BD
12. 已知函数且，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 时，的增区间为
B. 是值域为的充要条件
C. 存在，使得奇函数或偶函数
D. 当时，的定义域不可能为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据复合函数单调性判断A，根据真数取遍所有正数可判断B，利用奇偶性定义判断C，根据定义域可判断D.
【详解】当时，在上单调递增，故A正确；
当可以取遍之间的一切实数值，从而可以取遍的一切值，即值域为，此时（舍去），是值域为的充要条件，故B正确；
的定义域是不等式的解集，不论实数取何值，
定义域都是无限集，要使为偶函数，则，
于是，即对定义域内的实数恒成立，，
但此时对数的底数为零，无意义；要使为奇函数，
则，即，于是，
即，该式不能恒成立.综上，错误；
解集为，等价于，即，
所以当时，的定义域不可能为，故D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ________．
【答案】
【解析】
【分析】利用换底公式直接求解即可.
【详解】.
故答案为：.
14. 关于函数有下述四个结论：
①函数的最小正周期为；②函数的最小值为-1；③点是函数图象的一个对称中心；④直线是函数图象的一条对称轴．
其中所有正确的结论的序号是______．
【答案】②④
【解析】
【分析】去绝对值得，作出函数图像即可得解.
【详解】由，可得函数图象为：
可知函数的最小正周期为，最小值为，点不是函数的一个对称中心，直线是函数图象的一条对称轴.
故答案为：②④
15. 设m，n是方程的两个实根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用整体换元，得为方程的两根，由韦达定理可解.
【详解】由方程得，，
令，得方程，
因为m，n是方程的两个实根，
所以是关于的方程的两根，
则有，解得,
故答案为：.
16. 已知函数，则在区间内的所有零点之和为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】利用诱导公式变形，将的零点转化为方程的根的问题，分类讨论再结合函数的对称性计算即可.
【详解】，
则等价于
若显然上面方程不成立；
当，则可化为
易知和都关于中心对称，如下图所示，在上有8个交点，不妨设其横坐标依次为，则，即所有零点之和为8.
故答案为：8
【点睛】本题考察函数与方程零点问题，属于压轴题.关键在于利用函数的性质，找到其对称中心及区间内的零点个数.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 计算.（1）
（2）
【答案】（1）；（2）5．
【解析】
【分析】（1）根据幂的运算法则计算；
（2）根据对数的定义计算．
【详解】（1）原式＝；
（2）原式＝．
18. 在平面直角坐标系：中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点.
（1）若，求的值；
（2）若，求点的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合三角函数定义以及平方关系、诱导公式化简求值即可；
（2）由平方关系结合以及是第二象限角即可求解.
【小问1详解】
由题意，，
所以.
【小问2详解】
若，而，，
所以，即，
解得或（舍去），从而，
即，所以点.
19. 已知，，且.
（1）求ab的最小值；
（2）求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；
（2）利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，所以，
所以，所以，当且仅当即时等号成立，即ab的最小值为；
【小问2详解】
，
当且仅当即即时，等号成立，
所以的最小值为.
20. 已知是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求在上的解析式；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据求出，再根据函数的奇偶性得到在上的解析式；
（2）不等式变形得到，令，得到其单调性，从而求出，求出实数的取值范围.
【小问1详解】
是定义在上的奇函数，当时，，
，解得，
当时，，
当时，，
，
又，
，
故，
∴在上的解析式为．
【小问2详解】
由（1）知，当时，，
，可化为，整理得，
令，
根据指数函数单调性可得，与在定义域内都是减函数，
在定义域内是减函数，
当时，不等式恒成立，
等价于在上恒成立，
只需，
即实数的取值范围是．
21. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型，，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为.
（1）求该学习率模型的表达式；
（2）要使学习率衰减到以下（不含），至少需训练迭代多少轮？（参考数据）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，将时，代入计算，即可得到结果.
（2）根据题意，由条件列出不等式，结合指数，对数的运算，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
由条件可得，指数衰减的模型为，
当时，，代入可得，解得，
所以该学习率模型的表达式
【小问2详解】
由学习率衰减到以下（不含），可得，
即，所以，即
，
所以，则，即至少需训练迭代74轮.
22 已知函数.
（1）当时，求的单调区间
（2）若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点，若是函数的局部对称点，求实数的取值范围．
【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是
（2）
【解析】
【分析】（1）将原函数可看作由，复合而成，根据复合函数的单调性的判断，即可求得答案；
（2）根据函数局部对称点的定义，可得存在使得成立，即可得，分离参数得，然后结合换元以及函数的单调性，即可求得答案.
【小问1详解】
当时，，即，
令，则，即为
在上递增，在上单调递减，在上单调递增，
的单调减区间是，单调增区间是
【小问2详解】
由已知可得，是函数的局部对称点，
即存在使得成立，
即存在，使得成立，
化简得，
，
，，
令，当且仅当时取等号，
，令，
由于在上单调递增，故，
即.
【点睛】难点点睛：本题第二问给出了局部对称点的定义，要求根据函数的局部对称点求解参数的范围，解答时要根据局部对称点推出，存在使得成立，难点就在于对于该式的化简，结合指数运算，分离参数，得出，再结合换元以及函数的单调性求解.