人教版八年级下册18.1.2 平行四边形的判定精品课时作业

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知识点01 平行四边形的判定
平行四边形的判定：
如图：判定四边形ABCD是平行四边形：
①利用边判定：
= 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I：利用一组对边判定：一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形。
符号语言：若AB CD或AD BC
则四边形ABCD是平行四边形
= 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II：利用两组对边判定：两组对边分别 平行 或分别 相等 的四边形是平行四边形。
符号语言：若AB ∥ CD，AD ∥ BC或AB ＝ CD，AD ＝ BC
则四边形ABCD是平行四边形
②利用角判定：
两组对角分别 相等 的四边形是平行四边形。
符号语言：若∠ABC ＝ ∠ADC，∠BAD ＝ ∠BCD
则四边形ABCD是平行四边形
③利用对角线判定：
对角线 相互平分 的四边形是平行四边形。
符号语言：若OA ＝ OC，OB ＝ OD
则四边形ABCD是平行四边形
【即学即练1】
1．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列各组条件，其中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD
B．OA＝OC，AB∥CD
C．AB＝CD，OA＝OC
D．∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD
【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；
B、∵OA＝OC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；
C、AB＝CD，OA＝OC，
∴四边形ABCD不是平行四边形．故不能判定这个四边形是平行四边形；
D、∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故能判定这个四边形是平行四边形．
故选：C．
【即学即练2】
2．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，且AB＝CD，BF＝DE，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，
即BE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），
∴∠ABD＝∠CBD，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【即学即练3】
3．如图，四边形ABCD对角线交于点O，且O为AC中点，AE＝CF，DF∥BE，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：∵O为AC中点，
∴OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∵DF∥BE，
∴∠E＝∠F，
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
知识点02 三角形的中位线
三角形中位线的定义：
连接三角形任意两边的 中点 得到的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：
三角形的中位线 平行于 第三边，且等于第三边的 一半 。
几何语言：∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC
【即学即练1】
4．如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF＝3，则BD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：∵E，F分别是AC，DC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴AD＝2EF＝2×3＝6，
∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD＝6，
故选：D．
题型01 熟悉平行四边形的判定条件
【典例1】下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行
B．一组对边平行，一组对角互补
C．一组对角相等，一组邻角互补
D．一组对角互补，另一组对角相等
【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形
B、一组对边平行，一组对角互补，也有可能是等腰梯形
C、一组对角相等，一组邻角互补可得到两组对角分别相等，所以是平行四边形
D、一组对角互补，另一组对角相等，可能是含两个直角的一般四边形．
故选：C．
【变式1】在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，给出五组条件：
（1）AB＝DC，AD∥BC；
（2）AB＝CD，AB∥CD；
（3）AB∥CD，AD∥BC；
（4）OA＝OC，OB＝OD；
（5）AB＝CD，AD＝BC．
能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：（1）由“AB＝DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
（2）由“AB＝CD，AB∥CD”可知，四边形ABCD的一组对边平行且相等，据此能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
（3）由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
（4）由“AO＝CO，BO＝DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
（5）由“AB＝DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式2】如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．，B．AB＝CD，AO＝OC
C．AB∥CD，∠DAC＝∠BCAD．AB＝CD，BC＝AD
【解答】解：A、∵OA＝AC，OB＝BD，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、AB＝CD，AO＝OC，当∠BAC≠∠DCA时，四边形ABCD不是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵∠DAC＝∠BCA，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB＝CD，BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
题型02 添加平行四边形的判定条件
【典例1】在四边形ABCD中，AB∥DC，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需添加的条件是（ ）
A．∠A+∠C＝180°B．∠B+∠D＝180°
C．∠A+∠D＝180°D．∠A+∠B＝180°
【解答】解：选项A，B中的两对角是对角关系，不能推出AD∥BC，
选项C只能推出AB∥DC，
选项D中两角是同旁内角，
∵∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选：D．
【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（ ）
A．AD＝BCB．AB＝CDC．AD∥BCD．∠A＝∠C
【解答】解：A、当AB∥CD，AD＝BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形；
B、AB∥CD，AB＝DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形；
C、AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形；
D、∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故选：A．
【变式2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（ ）
A．AD＝BCB．∠ABD＝∠BDCC．AB＝ADD．∠A＝∠C
【解答】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AB∥CD，AB＝AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠ABC+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
【变式3】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD＝BCB．∠A+∠D＝180°
C．∠B＝∠DD．AB＝BC
【解答】解：一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是∠B＝∠D，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：C．
题型03 三角形的中位线
【典例1】如图，DE是△ABC的中位线，若BC＝8，则DE的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，
∴．
故选：B．
【变式1】如图，DE垂直平分△ABC的边AB，交CB的延长线于点D，交AB于点E，F是AC的中点，连接AD、EF．若AD＝5，CD＝9，则EF的长为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1.5
【解答】解：∵DE垂直平分△ABC的边AB，AD＝5，
∴AD＝DB＝5，AE＝EB，
∴点E是AB的点，
∵F是AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴．
∵CD＝9，DB＝5，
∴BC＝CD﹣BD＝9﹣5＝4，
∴．
故选：C．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）
A．2B．C．3D．
【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，
理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴AC•BC＝，
∴＝，
∴CM＝，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝CM＝＝，
即DE的最小值是，
故选：B．
【变式3】如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的角平分线交DE于点F，若AC＝6，BC＝14，则DF的长为 4 ．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝14，AC＝6，
∴DE＝BC＝×14＝7，AE＝CE＝AC＝×6＝3，DE∥BC，
∴∠CFE＝∠BCF，
∵CF平分∠ACB，
∴∠BCF＝∠ECF，
∴∠ECF＝∠CFE，
∴EF＝CE＝3，
∴DF＝DE﹣EF＝7﹣3＝4，
故答案为：4．
【变式4】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝ 3 ．
【解答】解：连接CF并延长交AB于G，
∵AB∥CD，
∴∠FDC＝∠FBG，
在△FDC和△FBG中，
，
∴△FDC≌△FBG（ASA）
∴BG＝DC＝6，CF＝FG，
∴AG＝AB﹣BG＝12﹣6＝6，
∵CE＝EA，CF＝FG，
∴EF＝AG＝3，
故答案为：3．
题型04 平行四边形的判定证明
【典例1】17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，延长BE到F，使BE＝EF，连接AF、CF、DF．求证：四边形ADCF是平行四边形．
【解答】证明：如图，
∵E是AD的中点，
∴AE＝ED，
又∵BE＝EF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF＝BD，且AF∥BD，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝DB，
∴AF＝DC，
又AF∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形．
【变式1】如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：∵∠EOB与∠FOD是对顶角，
∴∠EOB＝∠FOD，
在△BEO和△DFO中，
，
∴△BEO≌△DFO（ASA）；
∴OE＝OF，
∵AE＝CF，
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【变式2】如图，点O是△ABC内部一点，连接OB，OC，并将边AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G顺次连接，DEFG构成四边形，求证：四边形DEFG是平行四边形．
【解答】证明：∵D，G分别是AB，AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC，DG＝BC．
∵E，F分别是OB，OC的中点，
∴EF是△OBC的中位线，
∴EF∥BC，EF＝BC．
∴DG＝EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，A（0，20），B在原点，C（26，0），D（24，20），动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB以3cm/s的速度向点B运动，P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s，当t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？并写出P、Q的坐标．
【解答】解：∵A（0，20），B在原点，C（26，0），D（24，20），
∴AD＝24，BC＝26，
∵四边形PQCD是平行四边形，
∴PD＝CQ，
∴24﹣t＝3t，
∴t＝6，
∴当t为6时，四边形PQCD是平行四边形，
∴点P（6，20），
∵OQ＝26﹣3×6＝8，
∴点Q（8，0）．
题型05 平行四边形的性质与判定
【典例1】如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在OB和OD上．
（1）当BE，DF满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？请说明理由；
（2）当∠AEB与∠CFD满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？请说明理由．
【解答】解：（1）当BE＝DF时，四边形AECF是平行四边形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，
同理，AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）当∠AEB＝∠CFD时，四边形AECF是平行四边形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠AEB＝∠CFD，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，
∵∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEO＝∠CFO，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【变式1】在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点且AE＝CF，连接DE，BF，AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若∠DAF＝∠BAF，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
在△DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即DF＝BE，
∵DE＝BF，BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，
∴AD＝5，
∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝＝＝4．
【变式2】如图1，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形．
（2）如图2，当△ABC是等边三角形且边长是8，求四边形DEFC的面积．
【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形．
（2）解：过点D作DH⊥BC于H，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点
∴∠B＝60°，BD＝AB＝4，
∵∠DHB＝90°，
∴∠BDH＝30°，
∴BH＝DB＝2，
∴DH＝＝，
∵CF＝CB＝4，
∴S四边形DEFC＝CF•DH＝4×2＝8．
【变式3】如图，已知▱ABCD，AC、BD相交于点O，延长CD到点E，使CD＝DE，连接AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接BE，交AD于点F，连接OF，判断CE与OF的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：CE与OF的数量关系为：CE＝4OF，理由如下：
由（1）得：四边形ABDE是平行四边形，
∴BF＝EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OF是△BDE的中位线，
∴DE＝2OF，
∵CD＝DE，
∴CE＝2DE，
∴CE＝4OF．
【变式4】如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝14，
∴OB＝OD＝7，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE+CF＝EF，AE＝CF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EG＝OB＝．
1．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形．正确．
B、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形．错误．
C、对角线相等的四边形不一定是平行四边形．错误．
D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形．错误．
故选：A．
2．下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角互补
C．有两组对角相等的四边形是平行四边形
D．平行四边形的对角线平分每一组对角
【解答】解：A．∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形，
∴A错误，不符合题意；
B．∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴B错误，不符合题意；
C．∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴C正确，符合题意；
D．∵菱形对角线平分每一组对角，平行四边形的对角线不平分每一组对角，
∴D错误，不符合题意；
故选：C．
3．下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BCB．AD＝BC，AB＝CD
C．AB∥CD，AD＝BCD．∠A＝∠C，∠B＝∠D
【解答】解：A、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不合题意；
B、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不合题意；
C、不能判断这个四边形是平行四边形，符合题意；
D、根据平行四边形的判定定理：两组对角相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形；
故选：C．
4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BCB．AB∥DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DOD．AB＝DC，AD＝BC
【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、AB∥DC，AD＝BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、AO＝CO，BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、AB＝DC，AD＝BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B．
5．如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D、E，测量得DE＝16米，则A、B两点间的距离为（ ）
A．30米B．32米C．36米D．48米
【解答】解：∵D、E分别是AC、BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB，
∵DE＝16米，
∴AB＝32米，
∴A、B两点间的距离为32米．
故选：B．
6．▱ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DFB．AF∥CEC．CE＝AFD．∠DAF＝∠BCE
【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，
在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
D、由∠DAF＝∠BCE，从而推出△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE，结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形；故本选项不符合题意；
故选：C．
7．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，若AB＝12，BC＝14，则四边形BDFE的周长为（ ）
A．13B．21C．26D．52
【解答】解：∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，
∴EF、EF分别是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，DF∥BC，EF＝AB＝＝6，DF＝BC＝，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BE＝DF＝7，BD＝EF＝6，
∴四边形BDEF的周长为：
BE+BD+DF+EF＝2×（7+6）＝26．
故选：C．
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F，G分别是BC，AC，AD的中点，若∠EFG＝130°，则∠EGF的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【解答】解：∵E，F，G分别是BC，AC，AD的中点，
∴EF，GF分别是△ABC，△ADC的中位线，
∴，
∵AB＝CD，
∴EF＝GF，
又∵∠EFG＝130°，
∴，
故选：B．
9．如图，在△ABC中，CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF于点D，作AG⊥BE于点G，若AB＝9，AC＝8，BC＝7，则GD的长为（ ）
A．5.5B．5C．6D．6.5
【解答】解：如图所示，延长AD，交CB的延长线于点P，延长AG，交BC的延长线于点Q，
∵CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，
∴∠ACD＝∠PCD，∠ABG＝∠QBG，
又∵AD⊥CF，AG⊥BE，
∴∠ADC＝∠PDC，∠AGB＝∠QGB，
∴∠CAP＝∠P，∠BAG＝∠Q，
∴AC＝PC＝8，AB＝QB＝9，
又∵BC＝7，
∴PQ＝BQ+PC﹣BC＝9+8﹣7＝10，
∵AC＝PC，CD平分∠ACP，
∴点D是AP的中点，
同理可得，点G是AQ的中点，
∴DG是△APQ的中位线，
∴DG＝PQ＝5，
故选：B．
10．如图，在▱ABCD中，要在对角线BD上找两点E、F，使A、E、C、F四点构成平行四边形，现有①，②，③，④四种方案，①只需要满足BE＝DF；②只需要满足AE⊥BD，CF⊥BD；③只需要满足AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD，④只需要满足AE＝CF．则对四种方案判断正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABE＝∠CDF，
①在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，故①正确；
②∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，故②正确；
③∵AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，故③正确；
④由AE＝CF，不能证明△ABE≌△CDF，不能判定四边形AECF为平行四边形，故④不正确；
判断正确的是①②③，
故选：A．
11．如图，在四边形ABCD中AB∥CD，若加上AD∥BC，则四边形ABCD为平行四边形．现在请你添加一个适当的条件： BE＝DF ，使得四边形AECF为平行四边形．（图中不再添加点和线）
【解答】解：添加的条件：BE＝DF．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF
又∵BE＝DF
∴△ABE≌△CDF
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD
∴∠AEF＝∠EFC
∴AE∥FC
∴四边形AECF为平行四边形．
故答案为：BE＝DF．
12．如图，在平面直角坐标系中，E是BC的中点，已知A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0），D（4，4），点P是线段BC上的一个动点，当BP的长为 1或9 时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形．
【解答】解：∵A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0），D（4，4），
∴AD∥BC，AD＝4，OB＝2，OC＝8，
∴BC＝10，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝×10＝5，
当EP＝AD＝4时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
分两种情况：
①当点P在点E的左侧时，BP＝BE﹣EP＝5﹣4＝1；
②当点P在点E的右侧时，BP＝BE+EP＝5+4＝9；
综上所述，当BP的长为1或9时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：1或9．
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4cm，BC＝9cm．动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以1cm/s的速度向终点A运动，点Q以2cm/s的速度向终点C运动， 3 秒时四边形CDPQ是平行四边形？
【解答】解：设t秒后，四边形CDPQ是平行四边形，
∴PD＝t cm，CQ＝（9﹣2t）cm，
∵AD∥BC，
∴当PD＝CQ时，四边形CDPQ是平行四边形，
∴t＝9﹣2t，
∴t＝3，
∴3秒时四边形CDPQ是平行四边形．
故答案为：3．
14．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，2），B（1，0），C（3，2），点D在第一象限内，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是 （2，4） ．
【解答】解：由题意，画出平行四边形ABCD，如图所示：
由图可知：D（2，4）．
故答案为：D（2，4）．
15．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 2.5 ．
【解答】解：连接DN、DB，
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，
∴BD＝＝＝5，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为5，
∴EF长度的最大值为2.5，
故答案为：2.5．
16．如图，△ABC中，BC＝20，AC＝14，CE平分∠ACB，AE⊥CE，延长AE交BC于点F，D是AB的中点，求DE的长．
【解答】解：∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝∠FEC＝90°，
又∵CE平分∠ACB，
∠ACE＝∠FCE，
在△ACE和△FCE中，
，
∴△ACE≌△FCE（ASA），
∴AE＝EF，FC＝AC＝14，
∴BF＝BC﹣FC＝6，
又∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴DE是△ABF的中位线，
∴DE＝BF＝3．
17．如图，已知△ABC，分别以它的三边为边长，在BC边的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，求证：四边形ADEF是平行四边形．
【解答】证明：∵△ABD，△BEC都是等边三角形，
∴BD＝AB，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°，
∴∠DBE＝60°﹣∠EBA，∠ABC＝60°﹣∠EBA，
∴∠DBE＝∠ABC，
在△DBE和△ABC中，，
∴△DBE≌△ABC（SAS），
∴DE＝AC，
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF，
∴DE＝AF．
同理可得：△ABC≌△FEC，
∴EF＝AB＝DA．
∵DE＝AF，DA＝EF，
∴四边形ADEF为平行四边形；
18．如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点．对“中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：
Ⅰ．若D是AB的中点，，则E是AC的中点；
Ⅱ．若DE∥BC，，则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ．若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点．
（1）从以上命题中选出一个假命题，并在图2中画出反例（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）从以上命题中选出一个真命题，并进行证明．
【解答】解：（1）选择I，理由如下：
如图，D是AB中点， 但E显然不是AC的中点，
（2）真命题是Ⅱ或Ⅲ．
选择命题Ⅲ．
证明：如图，延长ED到点F使DF＝DE，连接BF．
∵D为AB中点，
∴AD＝BD．
在△ADE与△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴BF＝AE，∠F＝∠AED，
∴AC∥BF，
又∵DF∥BC，
∴四边形BCEF为平行四边形，
∴BF＝CE，
又∵BF＝AE，
∴CE＝AE，
即E是AC的中点．
19．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F为BD上两点，连接AE，AF，CE，CF，且BF＝DE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AB⊥AC，CD＝4，AC＝6，E，F为BD的三等分点，求OE的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，OA＝OC＝3，
∵AB⊥AC，
∴OB＝＝＝5，
∴BD＝2OB＝10，
∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，
∴BE＝DF，
∵E，F为BD的三等分点，
∴BE＝DF＝EF＝BD＝，
∴OE＝EF＝．
20．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形；
（3）若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD；
（2）证明：由（1）知BE＝AB，
∵BF平分∠ABE，
∴AF＝EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形；
（3）解：由（1）知BE＝AB，
又∵∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝4，
∵BF⊥AE，
∴，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，，
∵∠DAE＝∠AEB，AF＝EF，∠AFD＝∠CFE，
∴△ADF≌△ECF，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝．
课程标准
学习目标
①平行四边形的判定
②三角形的中位线
掌握平行四边形的判定方法并能够通过题目已知条件选择合适的判定方法判定平行四边形。
掌握三角形的中位线性质与判定，能够熟练的对三角形的中位线进行判断与对性质的熟练应用。