2022-2023学年湖南省常德市汉寿一中高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省常德市汉寿一中高一（下）开学数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A. 9B. 8C. 5D. 4
2.命题“∀x>0，x2−x≤0”的否定是( )
A. ∃x>0，x2−x≤0B. ∃x>0，x2−x>0
C. ∀x>0，x2−x>0D. ∀x≤0，x2−x>0
3.函数y=f(x)的图像如图所示，则y=f(x)的解析式为( )
A. y=sin2x−2B. y=2cs3x−1
C. y=sin(2x−π5)−1D. y=1−sin(2x−π5)
4.[x]表示不超过x的最大整数，函数f(x)=|x|−[x]
①f(x)的定义域为R；
②f(x)的值域为(0,1]；
③f(x)是偶函数；
④f(x)不是周期函数；
⑤f(x)的单调增区间为(k,k+1)(k∈N)．
上面的结论正确的个数是( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
5.终边落在直线y=x上的角α的集合为( )
A. {α|α=2kπ+π4,k∈Z}B. {α|α=kπ+π4,k∈Z}
C. {α|α=2kπ±π4,k∈Z}D. {α|α=kπ±π4,k∈Z}
6.已知sinα=2 55，sin(β−α)=− 1010，α，β均为锐角，则角β等于( )
A. 5π12B. π3C. π4D. π6
7.函数y=sin(2x+π2)是( )
A. 周期为π的奇函数B. 周期为π的偶函数C. 周期为2π的奇函数D. 周期为2π的偶函数
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )
A. 2a−b>12B. a+ b≤ 2
C. lg2a+lg2b≥−2D. a2+b2≥12
9.已知函数y=lga(x+c)(a,c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A. a>1
B. 0C. c>1
D. 010.若将函数f(x)=sin2x的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A. g(x)的最小正周期为π
B. g(x)=sin(2x+π6)
C. x=−5π12是函数g(x)图象的一条对称轴
D. g(x)在[−π6,π6]上的最大值为12
11.下列各式中，值为 32的是( )
A. 2sin15°cs15°B. cs215°−sin215°
C. 1−2sin215°D. sin215°+cs215°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.已知3sinα⋅tanα+8=0,α∈(π2,π)，则tanα=______．
13.函数y=2sin(2x−π6)的图象中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为______．
14.如果圆心角为2π3的扇形所对的弦长为2 3，则扇形的面积为 ．
15.已知角θ的终边经过点P(− 3,m)(m≠0)且sinθ= 24m，则csθ= ______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知tanx=2，求下列各式的值：
(1)sinxsinx−csx；
(2)sin2x−sinxcsx+cs2x.
17.(本小题12分)
已知：f(α)=[sin(π2−α)tan(π+α)−cs(π−α)]2−14sin(3π2+α)+cs(π−α)+cs(2π−α)．
(Ⅰ)化简f(α)；
(Ⅱ)若−π3<α<π3，且f(α)<14，求α的取值范围．
18.(本小题12分)
已知2x≤256且lg2x≥12．
(1)求x的取值范围；
(2)在(1)的条件下，求函数f(x)=(lg2 x)×(lg 22x)的最大值和最小值．
19.(本小题12分)
已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象过点P(π12,0)，图象上与点P最近的一个最高点是Q(π3,5)
(1)求函数的解析式；
(2)指出函数的单调递增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
20.(本小题12分)
如图所示的函数F(x)的图象，由指数函数f(x)=ax与幂函数g(x)=xb“拼接”而成．
(1)求F(x)的解析式；
(2)比较ab与ba的大小；
(3)已知(m+4)−b<(3−2m)−b，求m的取值范围．
21.(本小题12分)
如图所示动点P、Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标P、Q点各自走过的弧长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：当x=−1时，y2≤2，得y=−1，0，1，
当x=0时，y2≤3，得y=−1，0，1，
当x=1时，y2≤2，得y=−1，0，1，
即集合A中元素有9个，
故选：A．
根据x，y为整数，分析所有可能的情况求解即可
本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的关键，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“∀x>0，x2−x≤0”的否定为：“∃x>0，x2−x>0”．
故选：B．
根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题可以使用排除法进行解答，根据函数图象分析出函数的最值，进而分析四个答案中四个函数的最值，将不符合条件的答案排除掉，即可得到正确的答案．
本题考查的知识点是由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，其中排除法是解答选择题比较常用的方法，而根据函数的图象分析出函数的最值是解答本题的关键．
【解答】
解：由已知中函数的解析式，我们可得函数的最大值为2，最小值为0，
而A中函数y=sin2x−2，最大值为−1，最小值为−3，不满足要求，故A不正确；
B中函数y=2cs3x−1，最大值为1，最小值为−3，不满足要求，故B不正确；
C中函数y=sin(2x−π5)−1，最大值为0，最小值为−2，不满足要求，故C不正确；
故选D．
4.【答案】A
【解析】解：[x]表示不超过x的最大整数，函数f(x)=|x|−[x]，
对于①，当x为自然数时，f(x)=0，函数f(x)的定义域为R，故①正确；
对于②，当x=−1时，f(−1)=|−1|−[−1]=1−(−1)=2∉(0,1]，故②不正确；
对于③，由f(1)=0≠2=f(−1)可知，函数f(x)的图象不关于y轴对称，故f(x)不是偶函数，故③不正确；
对于④，令0对于⑤，设0≤k综上所述，结论正确的个数是3个，为①④⑤．
故选：A．
根据新定义的函数f(x)=x−[x]，可以画出其图象根据图象对①②③④⑤5个选项逐一判断即可．
本题考查命题的真假判断与应用，作图是关键，考查函数f(x)=|x|−[x]的图象与奇偶性、单调性、周期性及定义域、值域等性质，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：直线y=x的斜率为1，其倾斜角为π4，
故终边落在直线y=x上的角α的集合为{α|α=kπ+π4,k∈Z}．
故选：B．
根据直线y=x的斜率为1，其倾斜角为π4，即可求解．
本题主要考查终边相同的角，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：β=α+β−α，
∵α，β均为锐角，
∴0<α<π2，0<β<π2，−π2<−α<0，
则−π2<β−α<π2，
∵sin(β−α)=− 1010<0，
∴−π2<β−α<0，则cs(β−α)= 1−sin2(β−α)= 1−(− 1010)2= 90100=3 1010，
∵sinα=2 55，
∴csα= 1−sin2α= 1−(2 55)2= 525= 55，
则sinβ=sin(α+β−α)=sinαcs(β−α)+csαsin(β−α)=2 55×3 1010+ 55×(− 1010)=30 2−5 250=25 250= 22，
则β=π4，
故选：C．
利用两角和差的正弦公式将β=α+(β−α)进行转化求解即可．
本题主要考查三角函数角的求解，利用两角和差的正弦公式进行转化是解决本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：sin(2x+π2)=cs2x，故为偶函数，
T=2πω=2π2=π，
故选：B．
主要考察诱导公式，和四个三角函数值在四个象限中的正负关系．
本题关键是将π2去掉，根据诱导公式将其变成余弦函数，余弦函数为偶函数，再根据最小正周期求法求出周期．
8.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查基本不等式的应用，考查逻辑推理与运算求解能力．
利用指数函数的性质即可判断选项A；由基本不等式即可判断选项B，C，D．
【解答】
解：因为a>0，b>0，且a+b=1，
所以a−b=a−(1−a)=2a−1>−1，
所以2a−b>2−1=12，故A正确；
( a+ b)2=a+b+2 ab=1+2 ab≤1+2×a+b2=2，
所以 a+ b≤ 2，当且仅当a=b=12时等号成立，故B正确；
lg2a+lg2b=lg2ab≤lg2(a+b2)2=−2，
当且仅当a=b=12时取等号，故C错误；
已知a>0，b>0，且a+b=1，
所以(a+b)2≤2a2+2b2，则a2+b2≥12，当且仅当a=b=12时等号成立，故D正确．
故选：ABD．
9.【答案】BD
【解析】解：由题图可知，函数y=lga(x+c)在定义域内为减函数，
所以0又当x=0时，y>0，即lgac>0，
故0故选：BD．
根据已知条件，结合图象的单调性，以及特殊值点，即可求解．
本题主要考查对数函数的图象与性质，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：将函数f(x)=sin2x的图象向左平移π6个单位长度，
得到函数g(x)=sin(2x+π3)的图象，
对于g(x)，显然，它的最小正周期为2π2=π，故A正确、B错误；
令x=−5π12，求得g(x)=−1，为最小值，x=−5π12 是函数g(x)图象的一条对称轴，故C正确；
当x∈[−π6,π6] 时，2x+π3∈[0,2π3]，sin(2x+π3)∈[0,1]，
故g(x)在[−π6,π6]上的最大值为1，故D错误，
故选：AC．
由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，2sin15°cs15°=sin30°=12，错误；
对于B，cs215°−sin215°=cs30°= 32，正确；
对于C，1−2sin215°=cs30°= 32，正确；
对于D，sin215°+cs215°=1，错误．
故选：BC．
对于A，利用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解；
对于B，利用二倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求解；
对于C，利用二倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求解；
对于D，利用同角三角函数基本关系式以及特殊角的三角函数值即可求解．
本题考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式以及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题．
12.【答案】−2 2
【解析】解：∵3sinα⋅tanα+8=0,α∈(π2,π)，
∴3(1−cs2α)csα+8=0，整理可得3cs2α−8csα−3=0，解得csα=−13，或3(舍去)，
∴sinα= 1−cs2α=2 23则tanα=sinαcsα=−2 2．
故答案为：−2 2．
由已知利用同角三角函数基本关系可求得3cs2α−8csα−3=0，解方程得csα，利用同角三角函数基本关系即可求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
13.【答案】x=−π6
【解析】解：∵函数y=2sin(2x−π6)的对称轴方程为x=kπ2+π3，k∈Z
∴当k=−1时，x=−π6是离坐标原点最近的一条对称轴的方程．
故答案为：x=−π6．
先求出函数y=2sin(2x−π6)的对称轴方程为x=kπ2+π3，k∈Z，从而可求离坐标原点最近的一条对称轴的方程．
本题主要考察了正弦函数的图象与性质，属于基础题．
14.【答案】4π3
【解析】【分析】
此题主要考查了扇形的面积公式，正确理解记忆公式是解题关键，先求出扇形的半径，再利用扇形的面积公式进行计算即可得出答案．
【解答】
解：∵圆心角为2π3的扇形所对的弦长为2 3，
∴扇形的半径为2，
∴扇形的面积为12×2π3×22=4π3．
故答案为4π3．
15.【答案】− 64
【解析】解：∵角θ的终边经过点P(− 3,m)(m≠0)且sinθ= 24m，
∴x=− 3，y=m，r= 3+m2，
sinθ=m 3+m2= 24m，
∴1r=1 3+m2= 24，
∴csθ=− 3r=− 64．
故答案为：− 64．
由已知得x=− 3，y=m，r= 3+m2，1r=1 3+m2= 24，由此能求出csθ．
本题考查任意角三角函数的定义的合理运用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)由tanx=2，
可得sinxsinx−csx=tanxtanx−1=22−1=2；
(2)sin2x−sinxcsx+cs2x=sin2x−sinxcsx+cs2xsin2x+cs2x
=tan2x−tanx+1tan2x+1=22−2+122+1=35．
【解析】(1)由同角的商数关系，运用弦化切，代入可得所求值；
(2)由同角的平方关系、商数关系，代入计算可得所求值．
本题考查三角函数的求值，以及同角的基本关系式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)f(α)=[csαtanα+csα]2−1−4csα−csα+csα=(sinα+csα)2−1−4csα=2sinαcsα−4csα=−12sinα(5分)
(2)由已知得：−12sinα<14，∴sinα>−12
∴2kπ−π6<α<2kπ+7π6，
∵−π3<α<π3，
∴−π6<α<π3．
【解析】(1)利用诱导公式化简函数的解析式即可．
(2)利用不等式求出角的正弦函数值，利用三角函数的有界性求解即可．
本题考查三角函数的化简求值，诱导公式的应用，正弦函数的值域，考查计算能力．
18.【答案】解：(1)由2x≤256，得x≤8，由lg2x≥12，得x⩾ 2，
因为2x≤256且lg2x≥12，所以 2⩽x⩽8，
所以不等式的解集为{x| 2⩽x⩽8}；
(2)由(1) 2⩽x⩽8，得12⩽lg2x⩽3，
f(x)=(lg2 x)×(lg 22x)=(12lg2x)×2(1+lg2x)=lg2x(1+lg2x)，
所以f(x)=lg2x(1+lg2x)=(lg2x+12)2−14，
当lg2x=12时，f(x)min=34．
当lg2x=3时，f(x)max=12．
【解析】(1)根据2x≤256且lg2x≥12，直接求得x的取值范围即可；
(2)结合(1)的结果化简所给的函数解析式，然后利用复合二次函数的性质，求函数的最大值和最小值即可．
本题主要考查指数不等式的解法，对数不等式的解法，复合函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
19.【答案】解：(1)由题意可得A=5，14⋅2πω=π3−π12，求得ω=2
∴y=5sin(2x+φ)
将(π3,5)代入解析式得：5=5sin(2π3+φ)
∴2π3+φ=2kπ+π2，k∈z
∴φ=−π6+2kπ，k∈Z
∵|φ|<π
令k=0，则有φ=−π6
∴y=5sin(2x−π6)
(2)由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2(k∈Z)，
得函数的增区间为[kπ−π6,kπ+π3].k∈Z．
(3)∵y=sinx的满足y≤0的x的取值范围是[2kπ−π,2kπ]，k∈z
∴y=5sin(2x−π6)≤0时，有2x−π6∈[2kπ−π,2kπ]，
∴x∈[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)．
【解析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
(2)由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2即可解得函数的增区间．
(3)由y=sinx的满足y≤0的x的取值范围是[2kπ−π,2kπ]，k∈z，即y=5sin(2x−π6)≤0时，有2x−π6∈[2kπ−π,2kπ]，从而解得x的取值范围．
本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．
20.【答案】解：(1)由题意得a14=12(14)b=12解得a=116b=12，∴F(x)=(116)x,x≤14x12,x>14.
(2)因为(12)32<12，所以[(12)32]116<(12)116，即ab(3)由题意(m+4)−12<(3−2m)−12，
所以m+4>03−2m>0m+4>3−2m解得−13所以m的取值范围是(−13,23)．
【解析】本题考查了指数函数和幂函数图象和性质，关键是求出a和b，属于中档题．
(1)根据图象过点(14,12)，求出a，b，可得F(x)的解析式；
(2)根据指数函数和幂函数的图象比较即可；
(3)根据幂函数的单调性，即可求m的取值范围．
21.【答案】解：设P、Q第一次相遇时所用的时间是t，
则t⋅π3+t⋅|−π6|=2π．
∴t=4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．
设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点已运动到终边在π3⋅4=4π3的位置，
则xC=−csπ3⋅4=−2，
yC=−sinπ3⋅4=−2 3．
∴C点的坐标为(−2,−2 3)，
P点走过的弧长为43π⋅4=163π，
Q点走过的弧长为23π⋅4=83π
【解析】根据两个动点的角速度和第一次相遇时，两者走过的弧长和恰好是圆周长求出第一次相遇的时间，再由角速度和时间求出其中一点到达的位置，再根据三角函数的定义此点的坐标，利用弧长公式及l=αR求出两个点走过的弧长．
本题考查了圆周运动的问题，认真分析题意列出方程，即第一次相遇时两个动点走过的弧长和是圆周，这是解题的关键，考查了分析和解决问题的能力．