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    专题16.4 二次根式(常考点分类专题)-2023-2024学年八年级数学下学期基础知识专题训练(人教版)

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    初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式优秀练习

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    这是一份初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式优秀练习,共17页。
    【考点1】二次根式判断; 【考点2】求二次根式的值;
    【考点3】二次根式有意义的条件; 【考点4】二次根式中的化简;
    【考点5】化简复合二次根式.
    单选题
    【考点1】二次根式判断
    1.(2022下·重庆酉阳·八年级校考期末)下列给出的式子是二次根式的是( )
    A. B. C.2 D.
    2.(2023下·八年级单元测试)下列各式一定是二次根式的是( )
    A. B. C. D.
    【考点2】求二次根式的值
    3.(2023·河北沧州·校考模拟预测)下列值最小的是( )
    A. B. C. D.
    4.(2022·全国·八年级专题练习)已知,当x分别取,,,……,时,所对应的y值的总和是( ).
    A. B. C. D.
    【考点3】二次根式有意义的条件
    5.(2022·四川雅安·统考中考真题)使有意义的x的取值范围在数轴上表示为( )
    A. B.
    C. D.
    6.(2022·全国·八年级专题练习)若时,无意义,当时,是二次根式,则a的值可能是( )
    A.4 B.8 C.12 D.16
    【考点4】二次根式中的化简
    7.(2012下·安徽滁州·八年级统考期末)下列各式中,正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    8.(2019上·陕西宝鸡·八年级校考阶段练习)化简二次根式 的结果是( )
    A. B.- C. D.-
    【考点5】化简复合二次根式
    9.(2019·安徽芜湖·九年级芜湖一中校考自主招生)当时,的值为( )
    A.1 B. C.2 D.3
    10.(2021·全国·九年级专题练习)设,且x、y、z为有理数.则xyz=( )
    A. B. C. D.
    填空题
    【考点1】二次根式判断
    11.(2023上·江西景德镇·八年级景德镇一中校考期中)下列各式:① ② ③ ④,其中一定是二次根式的是 .(只填序号)
    12.(2019·八年级单元测试)下列各式:,,,,,中,是二次根式的是 .
    【考点2】求二次根式的值
    13.(2023下·浙江温州·八年级校联考期中)当时,二次根式值为 .
    14.(2021上·上海普陀·八年级校考阶段练习)已知a+b=﹣8,ab=1,则值为 .
    【考点3】二次根式有意义的条件
    15.(2013下·云南红河·八年级统考期末)若分式有意义,则的取值范围是 .
    16.(2022上·湖南永州·八年级统考期末)若,则的值为 .
    【考点4】二次根式中的化简
    17.(2018上·江苏无锡·八年级校联考期中)如图,数轴上点A表示的数为a,化简:a .

    18.(2022下·浙江杭州·八年级校联考期中)设,求不超过的最大整数 .
    【考点5】化简复合二次根式
    19.(2018下·八年级课时练习)化简 .
    20.(2023下·全国·八年级假期作业)把中根号外因式适当变形后移至根号内得 .
    解答题
    【考点1】求二次根式的值
    21.(2018上·重庆江北·八年级统考期末)计算:
    (1)(2).
    22.(2019上·河南南阳·八年级南阳市第三中学校考阶段练习)如图,一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬个单位到达点,再直爬向点停止,已知点表示,点表示,设点所表示的数为.
    (1)求的值
    (2)求的值
    (3)直接写出蚂蚁从点到点所经过的整数中,非负整数有 个
    【考点2】二次根式中的化简
    23.(2022上·河南郑州·八年级郑州市第七十三中学统考期中)当时,求的值.如图是小亮和小芳的解答过程:
    (1) 的解法是错误的;
    (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质: ;
    (3)当时,求的值.
    24.(2019·山西阳泉·统考一模)观察下列各式及证明过程:
    ①;
    ②;
    ③.
    验证:;

    (1)按照上述等式及验证过程的基本思想,猜想的变形结果,并进行验证;
    (2)针对上述各式反映的规律,写出用(为正整数,且)表示的等式.
    【考点3】化简复合二次根式
    25.(2019下·八年级单元测试)阅读材料:把根式进行化简,若能找到两个数,是且,则把变成开方,从而使得化简.
    例如:化简
    解:∵
    ∴;
    请你仿照上面的方法,化简下列各式:
    (1); (2)
    26.(2019下·重庆九龙坡·八年级阶段练习)阅读材料:
    材料一:数学上有一种根号内又带根号的数,它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如:
    材料二:配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法,配方法的最终目的就是配成完全平方式, 利用完全平方式来解决问题,它的应用非常广泛,在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到.
    如:
    ∵,∴,即
    ∴的最小值为
    阅读上述材料解决下面问题:
    (1) , ;
    (2)求的最值;
    (3)已知,求的最值.
    参考答案:
    1.B
    【分析】本题考查了二次根式.熟练掌握二次根式的定义是解题的关键.
    根据二次根式的定义进行判断作答即可.
    解:由题意知,是二次根式,B正确,故符合要求;
    ,2,,不是二次根式,A、C、D错误,故不符合要求;
    故选:B.
    2.B
    【分析】同时满足两个条件才是二次根式,第一:被开方数是非负数,第二:根指数是二.
    解:A.,2是整数,不是二次根式,故此选项不合题意;
    B.,根据一定大于0,则一定是二次根式,故此选项符合题意;
    C.无意义,故此选项不合题意;
    D.,的符号不确定,故不一定是二次根式,故此选项不合题意.
    故选:B.
    【点拨】本题主要考查二次根式的定义,对二次根式的根指数和被开方数理解到位是解题的关键.
    3.B
    【分析】根据根式的性质,负指数幂,0指数幂直接计算后进行比较即可得到答案.
    解:由题意可得,
    ,,,,
    ∴,
    故选B.
    【点拨】本题考查根式的性质,负指数幂,0指数幂,解题的关键是熟练掌握,,,.
    4.C
    【分析】将原式化为,再根据的取值情况去掉绝对值,再根据题意得出总和即可.
    解:∵

    当时,

    当时,

    ∴值的总和为:

    故选:C
    【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简,数字变化类等知识点,能根据数据得出规律是解此题的关键.
    5.B
    【分析】根据二次根式有意义的条件可得,求出不等式的解集,然后进行判断即可.
    解:由题意知,,
    解得,
    ∴解集在数轴上表示如图,
    故选B.
    【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示解集.解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件.
    6.B
    【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数,根据这个条件列不等式即可.
    解:∵当时,无意义,
    ∴,解得,
    ∵当时,是二次根式,
    ∴,解得,
    ∴,
    ∴a的值可能是8,
    故选:B.
    【点拨】此题考查了二次根式的意义和性质.概念:式子叫二次根式.关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.
    7.B
    【分析】直接利用二次根式的性质对各选项进行判断即可.
    解:A.,故A错误;
    B.,故B正确;
    C.,故C错误;
    D.,故D错误.
    故选:B.
    【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简,灵活应用二次根式的性质进行计算,是解题的关键.
    8.B
    【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围,然后再利用二次根式的性质进行化简即可
    解:
    故选B
    【点拨】本题考查了二次根式的性质及化简,解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围.本题需要重点注意字母和式子的符号.
    9.A
    【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案.
    解:原式=
    将代入得,
    原式
    .
    故选:A.
    【点拨】本题考查分式的运算以及二次根式的性质,解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号,本题属于较难题型.
    10.A
    【分析】将已知式子两侧平方后,根据x、y、z的对称性,列出对应等式,进而求出x、y、z的值即可求解.
    解:两侧同时平方,得到

    ∴,

    ∴xyz=,
    故选择:A.
    【点拨】本题考查二次根式的加减法,x、y、z对称性,掌握二次根式加减法法则,利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键.
    11.②④/④②
    【分析】本题考查二次根式的定义,根据二次根式的定义逐一判断即可.
    解:①,故不是二次根式;
    ②,故是二次根式;
    ③的根指数是3,故不是二次根式;
    ④由于,因此,故是二次根式;
    故答案为:②④.
    12.
    【分析】二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2,结合选项进行判断即可
    解:根指数为3,不是二次根式;
    根指数为3,不是二次根式;
    被开方数为负数,不是二次根式;
    根指数为4,不是二次根式;
    能满足被开方数为非负数,故是二次根式;
    被开方数为负数,不是二次根式.
    故答案为:
    【点拨】主要考查了二次根式的概念.式子(a≥0)叫二次根式.(a≥0)是一个非负数.
    13.1
    【分析】把代入二次根式进行计算即可.
    解:当时,.
    故答案为:1.
    【点拨】本题考查了二次根式的值,熟练掌握二次根式的计算是解题关键.
    14.-8
    【分析】将二次根式的进行化简,然后根据分式加法运算法则进行计算,最后利用整体思想代入求值.
    解:原式=
    当a+b=﹣8,ab=1时,
    原式
    =-8
    故答案为:﹣8.
    【点拨】题目主要考查分式及二次根式的化简,求代数式的值等,熟练掌握各个运算法则是解题关键.
    15.且/x≠2且x≥-3
    【分析】根据分式有意义的条件,二次根式有意义的条件解题即可.
    解:由题意得
    解得,即且
    故答案为:且.
    【点拨】本题考查分式有意义的条件、二次根式有意义的条件,是基础考点,掌握相关知识是解题关键.
    16.2022
    【分析】根据二次根式的被开方数的非负性,得a-2022≥0,进而化简绝对值,求解即可.
    解:由题意得a-2022≥0,
    ∴a≥2022,
    ∴|2021-a|= a-2021.
    ∵,
    ∴,


    即=2022.
    故答案为2022.
    【点拨】本题主要考查二次根式的非负性,以及化简绝对值,找到a的取值范围,化简绝对值是解题的关键.
    17.2
    【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可.
    解:由数轴可得:0<a<2,
    则a+
    =a+
    =a+(2﹣a)
    =2.
    故答案为:2.
    【点拨】本题主要考查了二次根式的性质与化简,解题的关键是正确得出a的取值范围.
    18.
    【分析】首先将化简,可得,然后再代入原式求出,即可得出答案.
    解:






    不超过的最大整数.
    故答案为:.
    【点拨】本题主要考查完全平方公式、二次根式的化简,能正确化简是解题的关键.
    19.+1
    【分析】先将用完全平方式表示,再根据进行化简即可.
    解:因为,
    所以,
    故答案为:.
    【点拨】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二次根式利用完全平方公式分解.
    20.
    【分析】根据二次根式的性质可得,则,据此即可求解.
    解:∵,有意义,
    ∴,则,
    ∴,
    故答案为:.
    【点拨】本题考查了二次根式的性质化简,掌握二次根式的性质是解题的关键.
    21.(1);(2)
    【分析】(1)先分别计算绝对值,算术平方根,0次幂,和负整数次幂,然后再进行有理数加减即可;(2)先化简绝对值和二次根式,然后在合并同类二次根式即可.
    解:(1)原式=1-2+1+
    =;
    (2)原式=
    =
    【点拨】本题是对实数混合运算的考查,熟练掌握绝对值,算术平方根,0次幂,负整数次幂及二次根式的化简是解决本题的关键,难度不大,注意计算的准确性.
    22.(1);(2);(3)
    【分析】(1)根据数轴两点间的距离公式得到,然后解方程即可得到的值;
    (2)把的值代入,然后根据绝对值的意义和二次根式的意义计算;
    (3)先找出点到点所有整数和非负整数,然后根据概率公式求解.
    解:(1)由题意可得,
    所以;
    (2)把代入得

    (3)从点到点所经过的整数有,0,1,2,其中非负整数有0,1,2,
    所以蚂蚁从点到点所经过的整数中,非负整数有3个.
    【点拨】本题考查了实数与数轴,绝对值的意义和二次根式的意义,熟悉相关性质是解题的关键.
    23.(1)小亮;(2);(3)-2
    【分析】(1)根据二次根式的性质化简即可求出答案.
    (2)根据二次根式的性质化简即可求出答案.
    (3)根据的范围判断与的符号,然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可求出答案.
    解:(1)原式,

    ∵,
    ∴,
    ∴原式,
    故小亮的解法错误,
    故答案为:小亮.
    (2),
    故答案为:.
    (3)∵,
    ,,
    ∴原式,




    【点拨】本题考查二次根式的化简求值,解题的关键是熟练运用二次根式的性质,本题属于基础题型.
    24.(1),验证见分析;(2)(为正整数,).
    【分析】(1)应用二次根式对根式进行变形,总结规律,三个连续自然数的倒数,第一个乘以后两个的差,结果等于中间数作结果的系数,中间数的分母作结果中被开方数的分子,另两个数的分母的乘积作被开方数的分母,即可得到结果;
    (2)根据(1)即可得到等式.
    解:(1)猜想:
    验证:;
    (2)(为正整数,).
    【点拨】本题考查二次根式的化简,同时考查学生归纳总结的能力,特别注意写用含n的式子表示时一定要写上相应的n的取值范围.
    25.(1);(2)
    【分析】(1)仿照例题,根据,即可求解;
    (2)直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案.
    (1)解:∵,

    (2)解:

    【点拨】本题考查了二次根式的性质,将被开方数化为平方的形式是解题的关键.
    26.(1);(2)-;(3)-4.
    【分析】(1)利用完全平方公式及二次根式的性质即可求解;
    (2)利用完全平方公式配方即可求解;
    (3)先化简x,再代入代数式化简,最后求出其最值即可求解.
    解:(1),;
    故答案为:;
    (2)∵==≥-1
    ∴的最小值为-;
    (3)∵=

    =
    =
    =≤-4
    故的最大值为-4.
    【点拨】此题主要考查二次根式的应用,解题的关键是熟知完全平方公式及配方法的应用.

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