黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷

这是一份黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|−2b>0)，点F1，F2为椭圆C的左、右焦点，在椭圆C上存在点P，使PF1⋅PF2=2c2，则椭圆的离心率范围是( )
A. [12,+∞)B. [ 33, 22]C. [12, 33]D. (1, 33]
二、多选题：本题共4小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以直角边长为2的等腰直角三角形的一边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的体积可以为( )
A. 4 2πB. 83πC. 43πD. 4 23π
10.已知函数f(x)=sin(2x+π3)，下列结论中正确的是( )
A. 函数f(x)的周期为π
B. 直线x=−π6是函数f(x)图象的一条对称轴
C. 函数f(x)的单调递增区间为[−8π1+kπ,π2+kπ](k∈Z)
D. 函数f(x+π12)是偶函数
11.已知双曲线C：x2a2−y2=1(a>0)的左，右焦点分别是F1，F2，左，右顶点分别是A，B，点P在C上，l是C的一条渐近线，O是坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 焦点F2到l的距离为1
B. 若|OP|=|OF1|，则△F1PF2的面积为1
C. 若l的倾斜角为30°，则其实轴长为 3
D. 若直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2=1a2
12.已知抛物线C：y=−18x2的焦点为F，点P(x0,y0)为抛物线C上一动点，点A(1,−3)，则( )
A. 抛物线C的准线方程为y=2
B. |PA|+|PF|的最小值为6
C. 当x0=4时，则抛物线C在点P处的切线方程为x+y−4=0
D. 过AF的直线交抛物线C于M，N两点，则弦MN的长度为16
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.复数z=1+2ii的虚部为______(其中i为虚数单位)．
14.已知y=f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=ex−1，则f(−2)= ______．
15.设椭圆C：y216+x212=1的焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆相交于A，B两点，则△ABF1的周长为______．
16.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1,(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C与直线y=x有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得∠PF2F1=3∠PF1F2，则双曲线离心率取值范围范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.且满足b=acsC+ 33csinA．
(1)求角A的大小；
(2)若边长a=2，求△ABC面积的最大值．
18.(本小题12分)
舟山某校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，将数据按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，求x；
(2)根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩；
(3)用分层抽样的方法在[60,70)，[70,80)这两组学生内抽取5人，再从这5人中选2人进行问卷调查，求所选的两人恰好都在[70,80)的概率．
19.(本小题12分)
已知圆C：x2+(y−1)2=4，直线l过点M(−2,4)．
(1)若直线l的斜率为−2，求直线l被圆C所截得的弦长；
(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程．
20.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)上一点M到其焦点的距离为3，到y轴的距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若不过原点O的直线l：y=x+m与抛物线C交于A，B两点，且OA⊥OB，求实数m的值．
21.(本小题12分)
椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(2,0)，(0, 3)．
(1)求椭圆的离心率；
(2)过点(12,0)且斜率不为0的直线l与椭圆交于M，N两点，椭圆的左顶点为A，求直线AM与直线AN的斜率之积．
22.(本小题12分)
已知点A(−1,0)，B(1,0)，动点P(x,y)满足直线PA与PB的斜率之积为3，记动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F(2,0)的直线与曲线C交于M，N两点，直线AM与BN相交于Q.求证：点Q在定直线上．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵集合A={x|−2−1}，
∴A∩B={x|−10，解得3c，所以e=ca