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专题21 平面解析几何（选填压轴题） 高考数学压轴题（新高考版）
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这是一份专题21 平面解析几何（选填压轴题） 高考数学压轴题（新高考版），文件包含专题21平面解析几何选填压轴题教师版docx、专题21平面解析几何选填压轴题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc6981" ①离心率问题 PAGEREF _Tc6981 \h 1
\l "_Tc2342" ②范围（最值）问题 PAGEREF _Tc2342 \h 11
\l "_Tc28400" ③轨迹问题 PAGEREF _Tc28400 \h 21
\l "_Tc10366" ④相切问题 PAGEREF _Tc10366 \h 29
\l "_Tc3974" ⑤新定义新文化题 PAGEREF _Tc3974 \h 35
①离心率问题
1．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）设椭圆的焦点为为椭圆上的任意一点，的最小值取值范围为，其中，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可知，，设，
因为，所以，
又，，
所以，
因为，则，
当时，取得最小值，即，
即，
所以，
即椭圆的离心率为.
故选：D.
2．（2023秋·天津北辰·高二校考期末）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】双曲线的渐近线方程为，直线被圆所得截得的弦长为，
则圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得，解得，则，
因此，双曲线的离心率为.
故选：B.
3．（2023春·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线分别交双曲线的左、右两支于A，B两点，且，若，则双曲线离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【详解】令，则，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，于是，
在中，令双曲线半焦距为，由余弦定理得：，解得，
所以双曲线离心率.
故选：A
4．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设与y轴交于Q点，连接，则，
因为，故P点在双曲线右支上，且，
故，而，
故，
在中，，即，
故，
由，且三角形内角和为，
故，则，
即，即，
所以的离心率的取值范围为，
故选：A
5．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知双曲线为左焦点，分别为左､左顶点，为右支上的点，且（为坐标原点）.若直线与以线段为直径的圆相交，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设双曲线的右焦点为，则，
则，
为右支上的点，取的中点为B，连接，则，
设，则，则，
在中，，
即，
又直线与以线段为直径的圆相交，故，
设，则，
则需使，解得，
即双曲线离心率的范围为，
即的离心率的取值范围为，
故选：D
6．（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考阶段练习）双曲线和椭圆有共同的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对于双曲线，
设右焦点为，
所以，
对于椭圆，
设右焦点为，
所以，
因为有共同的焦点，
所以，
所以，
所以椭圆的离心率是，
故选：D.
7．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）过点能作双曲线的两条切线，则该双曲线离心率的取值范围为 .
【答案】
【详解】当过点的直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由可得，故直线与双曲线相交，不合乎题意；
当过点的直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
联立可得，
因为过点能作双曲线的两条切线，
则，可得，
由题意可知，关于的二次方程有两个不等的实数根，
所以，，可得，
又因为，即，因此，关于的方程没有的实根，
所以，且，解得，即，
当时，，
当时，，
综上所述，该双曲线的离心率的取值范围是.
故答案为：.
8．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点A为双曲线C右支上一点，直线交双曲线的左支于点B，若，且原点O到直线的距离为1，则C的离心率为 .
【答案】
【详解】点A为双曲线C右支上一点，
，
又，，
点B为双曲线C左支上一点，
即，
过作直线的垂线，垂足分别为,
则,又为的中点，可得，
在直角三角形中，
在直角三角形中,
，
,
,平方可得，
，，
C的离心率为.
故答案为：.
9．（2023·全国·高二课堂例题）若椭圆上存在一点M，使得（，分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率e的取值范围为 .
【答案】
【详解】方法一：设点M的坐标是，则.
∵，，∴，.
∵，∴，即.
又点M在椭圆上，即，
∴，即，
∴，即，
又，∴，
故椭圆的离心率e的取值范围是.
方法二：设点M的坐标是，
由方法一可得消去，得，
∵，∴，
由②得，此式恒成立.
由①得，即，∴，则.
又，∴.
综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是.
方法三：设椭圆的一个短轴端点为P，
∵椭圆上存在一点M，使，
∴，则，（最大时，M为短轴端点）
∴，即，
又，∴，
故椭圆的离心率e的取值范围为.
故答案为：.
10．（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知椭圆，是长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，且为常数，则椭圆离心率为 .
【答案】/
【详解】由题意设，
因为三点共线，所以，得，
因为，所以，
所以
因为为常数，所以，
所以，得，
所以，所以离心率，
故答案为：
11．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知双曲线C：，过其右焦点F作直线交双曲线C的渐近线于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第四象限.设为坐标原点，若的面积为面积的2倍，且，则双曲线C的离心率为 .
【答案】
【详解】双曲线的焦点为，渐近线方程为，
依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由解得，即，
同理可求得，
由于的面积为面积的2倍，所以，
，解得，
此时，由于，
所以①，由于，
所以①可化为，
两边除以得，
即.
故答案为：
12．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，，，
由直线交椭圆于两点﹐及，
结合椭圆的对称性可得，
所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形，
设，则，，，
所以在直角中，即①，
在直角中，即②，
由②解得，
将代入①得，即，
所以，
故答案为：
②范围（最值）问题
1．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知椭圆：的右焦点为，为坐标原点，点为椭圆上的两点，且，为中点，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【详解】由椭圆可得，，
所以，即，所以右焦点；
因为，所以，
当直线的斜率不存在时，设直线的方程，代入椭圆的方程可得，解得，
设，，
则，解得，
这时的中点在轴上，且的横坐标为，
这时的最小值为；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，，，则的中点，，
联立，整理可得：，
△，即，
且，，所以，，
则，
可得，符合△，
可得的轨迹方程为，整理可得：，两式平方相加可得：，
即的轨迹方程为：，焦点在轴上的椭圆，所以，当为该椭圆的右顶点时，取等号，
综上所述：的最小值为，
故选：D．
2．（2023·重庆·统考模拟预测）设a，b为正数，若直线被圆截得弦长为4，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【详解】由可得 ，
故圆的直径是4，
所以直线过圆心，即，
又，
当且仅当，即，即 时，等号成立.
故选：D.
3．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为，
则圆的方程，
设，由，
可得，整理得，
则圆与圆有公共点，
则，
即，解之得.
故选：D
4．（2023·北京·校考模拟预测）已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆于两点.将表示为的函数，则的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】由题意知，，
当时，切线的方程为，点，的坐标分别为，，此时；
当时，同理可得；
当时，设切线方程为，
由得，
设，两点两点坐标分别为，，则
，，
又由于圆相切，得，即，
∴，
由于当时，，
∴，，
∵，
当且仅当时，，
∴的最大值为2．
故选：B.
5．（2023·四川·校联考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，
在中，根据焦点到渐近线的距可得，离心率为2，
∴，解得：，
∴
∴双曲线的方程为.
记的内切圆在边，，上的切点分别为，
则，横坐标相等，，，
由，即，
得，即，
记的横坐标为，则，
于是，得，
同理内心的横坐标也为，故轴.
设直线的倾斜角为，则，（Q为坐标原点），
在中，
，
由于直线与的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，
∴，即，
∴的范围是.
故选：D.
6．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知直线l是圆C：的切线，且l与椭圆E：交于A，B两点，则|AB|的最大值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【详解】∵直线l是圆C：的切线，
∴圆心O到直线l的距离为1，
设，
①当AB⊥x轴时，
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m.
由已知 得 ．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得，
∴
令
原式
当且仅当 即 时等号成立.
综上所述.
故选：B.
7．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】记，若直线与轴重合，此时，；
若直线轴时，将代入双曲线方程可得，此时，
当时，则，此时，；当，可得，则，
所以，双曲线的实轴长和通径长不可能同时为；
当直线与轴不重合时，记，则点，
设直线的方程为，其中，设点、，
联立可得，
由题意可得，可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，
，即，
所以，关于的方程由四个不等的实数解.
当时，即当时，可得，
可得，整理可得，因为，解得；
当时，即当，可得，
可得，整理可得，可得.
综上所述，.
故答案为：.
8．（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知圆的圆心在抛物线上运动，且圆过定点，圆被轴所截得的弦为，设，，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设，则，
故圆的方程，
令有，
故，解得，，
故．
设，因为，
所以，又由余弦定理可得，
所以，
所以，
因为，所以，所以当且仅当时，原式有最大值，
当且仅当时，原式有最小值为，从而的取值范围为．
故答案为：
9．（2023·黑龙江大庆·统考三模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果．他发现“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，，Q为抛物线上的动点，点Q在直线上的射影为H，M为圆上的动点，若点P的轨迹是到A，B两点的距离之比为的阿氏圆，则的最小值为 ．
【答案】3
【详解】设，由题意，即，整理得，
因为圆可以看作把圆向左平移个单位得到的，
那么点平移后变为，点平移后变为，
所以根据阿氏圆的定义有，所以，
又由抛物线定义有，
所以，
当且仅当，，，四点共线，且，在，之间时取等号，
故的最小值为3．
故答案为：3．
10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，，分别交y轴于P，Q两点，若的周长为16，则的最大值为 .
【答案】4
【详解】∵轴且过，则AB为双曲线的通径，由，代入双曲线可得，故.
为的中点，，则为的中位线，故，
又的周长为，则的周长为 ①，
∵ ②，
故由①②可得，即，可得.
故，当且仅当即时取等号.
故答案为：4
11．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知为抛物线：的焦点，过直线上任一点向抛物线引切线，切点分别为A，，若点在直线上的射影为，则的取值范围为 ．
【答案】．
【详解】设，，，不妨设在轴上方，
时，，，所以切线的方程为，
代入得，又，∴，
得，同理可得．
因此直线的方程为，直线过定点，
，∴在以为直径的圆上，该圆圆心，半径为1，
由已知，，∴的最大值为，最小值为，
时，直线方程为，此时，与轴垂直，点与点重合，即，点不可能与点重合，最大值取不到．
所以的范围是．
故答案为：．
③轨迹问题
1．（2023秋·广东阳江·高三统考开学考试）已知圆与圆交点的轨迹为，过平面内的点作轨迹的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】圆圆心，
圆圆心，
设两圆交点为，则由题意知，，所以，
又由于，所以由椭圆定义知，交点是以、为焦点的椭圆，
且，，则，所以轨迹的方程为，
设点，当切线斜率存在且不为时，设切线方程为：，
联立，消得，
则，
即，由于，则由根与系数关系知，即．
当切线斜率不存在或为时，点的坐标为，，，，满足方程，
故所求轨迹方程为．
故选：A．
2．（2023·贵州黔西·校考一模）在正方体中，点为平面内的一动点，是点到平面的距离，是点到直线的距离，且（为常数），则点的轨迹不可能是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】A
【详解】由条件作出正方体，并以为原点，直线、和分别为、和轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体的棱长为（），点，
所以得，，
由，得，
所以，即①（），
当时，①式化得：，
此时，点的轨迹是抛物线；
当时，①式化得：，
即，
②，
当时，，则②式，是双曲线的方程，即点的轨迹为双曲线；
当时，，则②式，是椭圆的方程，即点的轨迹为椭圆；
故选：A.
3．（2023·全国·高二专题练习）已知动点满足（为大于零的常数）﹐则动点的轨迹是（ ）
A．线段B．圆C．椭圆D．直线
【答案】C
【详解】的几何意义为点与点间的距离，
同理的几何意义为点与点间的距离，
且
又由为大于零的常数，可知，
当且仅当，即时取等，
故，
即动点到点与到点的距离之和为定值，且大于，
所以动点的轨迹为椭圆，
故选：C.
4．（2023春·江苏南京·高二南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（ ）
A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．双曲线一支
【答案】B
【详解】，即圆，故，，
因为平行与，，所以，故，
故点的轨迹为双曲线.
故选：B
5．（2023·高二课时练习）已知，，动点P满足（a为常数），则下列说法中错误的是（ ）
A．时，点P的轨迹是y轴B．时，点P的轨迹是一条直线
C．或时，点P的轨迹不存在D．时，点P的轨迹是双曲线
【答案】B
【详解】对选项A：时，，点P的轨迹是y轴，正确；
对选项B：时，，点P的轨迹是两条射线，错误；
对选项C：当时，不成立；当时，不成立，点P的轨迹不存在，正确；
对选项D：时，根据双曲线定义知，点P的轨迹是双曲线，正确.
故选：B
6．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知圆的方程为，直线为圆的切线，记两点到直线的距离分别为，动点满足，，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，分别过点做直线的垂线，垂足分别为，
则，，切点为
因为，所以是的中点，,
所以是梯形的中位线，所以，
又因为圆的方程为，，
所以，所以，
即，
所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆的方程为，
则，
所以，，
所以动点的轨迹方程为.
故选：B
7．（2023·高二课时练习）在中，已知，若，且满足，则顶点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：在中，因为，
所以，
又，则，
所以，即，
由于，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆的左半部分，
由，
所以顶点的轨迹方程是.
故选：A.
8．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆M与定圆，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .
【答案】
【详解】圆：，圆心，半径，
圆：，圆心，半径.
设动圆M的半径为R，则有，，
∴，
∴点M的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，且，，于是.
故动圆圆心M的轨迹方程为.
故答案为：.
9．（2023·全国·高三对口高考）已知动圆P过点，且与圆外切，则动圆P圆心的轨迹方程为 .
【答案】，
【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称，
设动圆的半径为，则有，因为与圆外切，
所以，即，
所以点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，
则，，，
所以轨迹方程为，，即，.
故答案为：，
10．（2023·全国·高三专题练习）已知平面上一定点和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·=0．则动点P的轨迹方程为 ；
【答案】
【详解】设，则，
由·=0，得，
即，化简得，
所以点P在椭圆上，即动点P的轨迹方程为．
故答案为：
11．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知的周长是18，，是轴上关于原点对称的两点，若，动点满足.则动点的轨迹方程为 ；
【答案】
【详解】由，知点G是的重心，取点，，
不妨设，，则，，
且，
所以点是以，为焦点的椭圆（除去长轴端点），
设椭圆的方程是，
则，，于是，即，
从而，点的轨迹方程为：.
故答案为：
12．（2023春·宁夏银川·高二银川唐徕回民中学校考期中）一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为 ．
【答案】
【详解】设动圆圆心为，半径为，根据题意知：，，
所以，所以圆心的轨迹为椭圆.
其中，，故，
因为焦点在轴上，故圆心轨迹方程为：.
故答案为：.
13．（2023·全国·高二课堂例题）已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【详解】设,因为,故
即.故的轨迹是以为焦点,的双曲线的下支.此时.故.故.
故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）已知动圆与直线相切，且与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
【答案】
【详解】设动圆半径为，则到直线的距离为，，
故到的距离等于到的距离，故轨迹为抛物线，即.
故答案为：.
④相切问题
1．（2023·全国·高三对口高考）已知实数x，y满足：，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．5
【答案】B
【详解】令，则直线与有交点情况下，直线在x轴上截距最大，
假设直线与椭圆相切，则，即，
所以，可得，即，
要使在x轴上截距最大，即.
故选：B.
2．（2023秋·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，可转化为点到点和点的距离之和为，
故点在椭圆上.表示点与椭圆上一点所连直线的斜率，
设该直线的方程为，由图可知，当直线与椭圆相切时，取得最值.
联立方程组整理得，
，解得或，故的取值范围是
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【详解】
由圆的对称性可得只需考虑圆心到函数图象上一点的距离的最小值．
设图象上一点，令图象上一点的切线为
由的导数为，即切线的斜率为，
当时，圆心到函数图象上一点的距离最小，
此时，即有，
由，可得，递增，又，
所以，，
所以点到点的距离最小，且为，
则线段的长度的最小值为，
故选：A．
4．（2022·宁夏银川·银川一中校考二模）已知实数x，y满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为实数，满足，
所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的双曲线的一部分（含点），
当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的椭圆的一部分，
当时，其图象不存在，
当时，其图象是位于第三象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，
作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：
任意一点到直线的距离
所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，
双曲线，其中一条渐近线与直线平行，
通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，
设与其图像在第一象限相切于点，
由
因为或（舍去）
所以直线与直线的距离为
此时，
所以的取值范围是．
故选：B．
5．（2023·江西·校联考模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当，时，方程为，是双曲线在第一象限的部分；
当，时，方程为，不能表示任何曲线；
当，时，方程为，是双曲线在第三象限的部分；
当，时，方程为，是圆在第四象限的部分；
其图象大致如图所示：
令，则直线与曲线有公共点，
表示的曲线如图，则当表示部分双曲线时，该曲线的渐近线斜率，和直线平行，；
把直线往下移，直到如图与第四象限的圆相切，此时圆心到直线的距离等于半径，
，解得：，又是与第四象限圆相切，；
若直线继续下移，则无交点，不合题意；
综上所述：，即的取值范围为.
故选：C.
6．（2023·河南·统考模拟预测）若直线l：与曲线C：有两个公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】当时，曲线C的方程为，轨迹为椭圆的右半部分；
当时，曲线C的方程为，轨迹为双曲线的左半部分，其渐近线为，
作出图象如下图，直线l（图中虚线）是与直线平行的直线，平行移动直线，可得直线l，
如图可知，当直线l介于直线和（与l平行且与椭圆相切，切点在第一象限）之间时，直线l与曲线C有两个公共点．
设的方程为，，则有，
联立，消去x并整理得，
由，解得或（舍），
故m的取值范围为．
故选：B．
7．（2022·高二单元测试）椭圆上的点到直线的最大距离是
【答案】
【详解】设直线与椭圆相切．
由消去x整理得.
由得.
当时符合题意(舍去)．
即x+2y+=0与椭圆相切,椭圆上的点到直线的最大距离即为两条平行线之间的距离:
⑤新定义新文化题
1．（2023·江苏·高二假期作业）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题意得，解得，
所以椭圆的标准方程是.
故选：A．
2．（2023春·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设点的坐标为，因为，则，
即，
所以点的轨迹方程为，
因为点的轨迹关于直线对称，
所以圆心在此直线上，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）闵氏距离（）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法，设点、坐标分别为，，则闵氏距离.若点、分别在和的图像上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意得，设，
因为点A、B分别在函数和的图象上，
所以，
当且仅当时等号成立.
设，，则，
令，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，所以，
即，所以的最小值为.
故选：A.
4．（多选）（2023春·广东广州·高二统考期末）费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别是以为渐近线且过点的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点处的切线l交x轴于点Q，则（ ）
A．双曲线C的离心率为B．双曲线C的方程为
C．过点作，垂足为K，则D．点Q的坐标为
【答案】BD
【详解】因为双曲线的渐近线为，设双曲线方程为，
代入点，可得，
所以双曲线方程为，可得，
所以离心率为，故A错误，B正确；
因为，
设，
因为，且为的角平分线，
所以，且，故C错误；
因为，当时，整理得，
则，可得，
即切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，
令，整理得，
又因为，可得，
所以点Q的坐标为，故D正确；
故选：BD.
5．（2023春·江西赣州·高二校考阶段练习）我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便，对于勾股定理我国历史上有多位数学家创造了不同的面积政法，如三国时期的刘徽、清代的梅文鼎、华蘅芳等．下图为华蘅芳证明勾股定理时构造的图形，若图中，，，以点C为原点，为x轴正方向．为y轴正方向，建立平面直角坐标系，以AB的中点D为圆心作圆D，使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆D外部，则圆D的一个标准方程为 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不㫿一）
【详解】
由图可得，，，，，，
所以，，，，
所以，，
，，
，，
点D到三个正方形项点的距离分别为，，，，，，，，，
所以圆D的一个方程为．
故答案为：（答案不唯一）．
6．（2023·福建三明·统考三模）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率 .
【答案】/
【详解】由双曲线的左、右焦点分别为，及双曲线上关于原点对称的两点，，
则，，可得四边形为平行四边形，
又及托勒密定理，可得四边形为矩形．
设，，
在中，，
则，，
，，，
，解得．
双曲线的离心率为．
故答案为：．
7．（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为 .（用含的代数式表示）
【答案】
【详解】因为，所以，，
所以，蒙日圆的方程为，
由已知条件可得，则为圆的一条直径，
由勾股定理可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，面积的最大值为.
故答案为：.
8．（2023·江苏·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，两点，间的“曼哈顿距离”定义为，则平面内与两定点和的“曼哈顿距离”之和等于4的点的轨迹围成的面积为 .
【答案】6
【详解】设，因为与两定点和的“曼哈顿距离”之和等于4，所以，
①当 且 时，
，
②当 时，；当 时，；当 时，；
作出图象如图所示，
所以 点轨迹是一个六边形，六边形面积是两个相等梯形面积和，.
故答案为：6.
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc6981" ①离心率问题 PAGEREF _Tc6981 \h 1
\l "_Tc2342" ②范围（最值）问题 PAGEREF _Tc2342 \h 11
\l "_Tc28400" ③轨迹问题 PAGEREF _Tc28400 \h 21
\l "_Tc10366" ④相切问题 PAGEREF _Tc10366 \h 29
\l "_Tc3974" ⑤新定义新文化题 PAGEREF _Tc3974 \h 35
①离心率问题
1．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）设椭圆的焦点为为椭圆上的任意一点，的最小值取值范围为，其中，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可知，，设，
因为，所以，
又，，
所以，
因为，则，
当时，取得最小值，即，
即，
所以，
即椭圆的离心率为.
故选：D.
2．（2023秋·天津北辰·高二校考期末）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】双曲线的渐近线方程为，直线被圆所得截得的弦长为，
则圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得，解得，则，
因此，双曲线的离心率为.
故选：B.
3．（2023春·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线分别交双曲线的左、右两支于A，B两点，且，若，则双曲线离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【详解】令，则，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，于是，
在中，令双曲线半焦距为，由余弦定理得：，解得，
所以双曲线离心率.
故选：A
4．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设与y轴交于Q点，连接，则，
因为，故P点在双曲线右支上，且，
故，而，
故，
在中，，即，
故，
由，且三角形内角和为，
故，则，
即，即，
所以的离心率的取值范围为，
故选：A
5．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知双曲线为左焦点，分别为左､左顶点，为右支上的点，且（为坐标原点）.若直线与以线段为直径的圆相交，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设双曲线的右焦点为，则，
则，
为右支上的点，取的中点为B，连接，则，
设，则，则，
在中，，
即，
又直线与以线段为直径的圆相交，故，
设，则，
则需使，解得，
即双曲线离心率的范围为，
即的离心率的取值范围为，
故选：D
6．（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考阶段练习）双曲线和椭圆有共同的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对于双曲线，
设右焦点为，
所以，
对于椭圆，
设右焦点为，
所以，
因为有共同的焦点，
所以，
所以，
所以椭圆的离心率是，
故选：D.
7．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）过点能作双曲线的两条切线，则该双曲线离心率的取值范围为 .
【答案】
【详解】当过点的直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由可得，故直线与双曲线相交，不合乎题意；
当过点的直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
联立可得，
因为过点能作双曲线的两条切线，
则，可得，
由题意可知，关于的二次方程有两个不等的实数根，
所以，，可得，
又因为，即，因此，关于的方程没有的实根，
所以，且，解得，即，
当时，，
当时，，
综上所述，该双曲线的离心率的取值范围是.
故答案为：.
8．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点A为双曲线C右支上一点，直线交双曲线的左支于点B，若，且原点O到直线的距离为1，则C的离心率为 .
【答案】
【详解】点A为双曲线C右支上一点，
，
又，，
点B为双曲线C左支上一点，
即，
过作直线的垂线，垂足分别为,
则,又为的中点，可得，
在直角三角形中，
在直角三角形中,
，
,
,平方可得，
，，
C的离心率为.
故答案为：.
9．（2023·全国·高二课堂例题）若椭圆上存在一点M，使得（，分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率e的取值范围为 .
【答案】
【详解】方法一：设点M的坐标是，则.
∵，，∴，.
∵，∴，即.
又点M在椭圆上，即，
∴，即，
∴，即，
又，∴，
故椭圆的离心率e的取值范围是.
方法二：设点M的坐标是，
由方法一可得消去，得，
∵，∴，
由②得，此式恒成立.
由①得，即，∴，则.
又，∴.
综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是.
方法三：设椭圆的一个短轴端点为P，
∵椭圆上存在一点M，使，
∴，则，（最大时，M为短轴端点）
∴，即，
又，∴，
故椭圆的离心率e的取值范围为.
故答案为：.
10．（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知椭圆，是长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，且为常数，则椭圆离心率为 .
【答案】/
【详解】由题意设，
因为三点共线，所以，得，
因为，所以，
所以
因为为常数，所以，
所以，得，
所以，所以离心率，
故答案为：
11．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知双曲线C：，过其右焦点F作直线交双曲线C的渐近线于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第四象限.设为坐标原点，若的面积为面积的2倍，且，则双曲线C的离心率为 .
【答案】
【详解】双曲线的焦点为，渐近线方程为，
依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由解得，即，
同理可求得，
由于的面积为面积的2倍，所以，
，解得，
此时，由于，
所以①，由于，
所以①可化为，
两边除以得，
即.
故答案为：
12．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，，，
由直线交椭圆于两点﹐及，
结合椭圆的对称性可得，
所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形，
设，则，，，
所以在直角中，即①，
在直角中，即②，
由②解得，
将代入①得，即，
所以，
故答案为：
②范围（最值）问题
1．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知椭圆：的右焦点为，为坐标原点，点为椭圆上的两点，且，为中点，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【详解】由椭圆可得，，
所以，即，所以右焦点；
因为，所以，
当直线的斜率不存在时，设直线的方程，代入椭圆的方程可得，解得，
设，，
则，解得，
这时的中点在轴上，且的横坐标为，
这时的最小值为；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，，，则的中点，，
联立，整理可得：，
△，即，
且，，所以，，
则，
可得，符合△，
可得的轨迹方程为，整理可得：，两式平方相加可得：，
即的轨迹方程为：，焦点在轴上的椭圆，所以，当为该椭圆的右顶点时，取等号，
综上所述：的最小值为，
故选：D．
2．（2023·重庆·统考模拟预测）设a，b为正数，若直线被圆截得弦长为4，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【详解】由可得 ，
故圆的直径是4，
所以直线过圆心，即，
又，
当且仅当，即，即 时，等号成立.
故选：D.
3．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为，
则圆的方程，
设，由，
可得，整理得，
则圆与圆有公共点，
则，
即，解之得.
故选：D
4．（2023·北京·校考模拟预测）已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆于两点.将表示为的函数，则的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】由题意知，，
当时，切线的方程为，点，的坐标分别为，，此时；
当时，同理可得；
当时，设切线方程为，
由得，
设，两点两点坐标分别为，，则
，，
又由于圆相切，得，即，
∴，
由于当时，，
∴，，
∵，
当且仅当时，，
∴的最大值为2．
故选：B.
5．（2023·四川·校联考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，
在中，根据焦点到渐近线的距可得，离心率为2，
∴，解得：，
∴
∴双曲线的方程为.
记的内切圆在边，，上的切点分别为，
则，横坐标相等，，，
由，即，
得，即，
记的横坐标为，则，
于是，得，
同理内心的横坐标也为，故轴.
设直线的倾斜角为，则，（Q为坐标原点），
在中，
，
由于直线与的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，
∴，即，
∴的范围是.
故选：D.
6．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知直线l是圆C：的切线，且l与椭圆E：交于A，B两点，则|AB|的最大值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【详解】∵直线l是圆C：的切线，
∴圆心O到直线l的距离为1，
设，
①当AB⊥x轴时，
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m.
由已知 得 ．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得，
∴
令
原式
当且仅当 即 时等号成立.
综上所述.
故选：B.
7．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】记，若直线与轴重合，此时，；
若直线轴时，将代入双曲线方程可得，此时，
当时，则，此时，；当，可得，则，
所以，双曲线的实轴长和通径长不可能同时为；
当直线与轴不重合时，记，则点，
设直线的方程为，其中，设点、，
联立可得，
由题意可得，可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，
，即，
所以，关于的方程由四个不等的实数解.
当时，即当时，可得，
可得，整理可得，因为，解得；
当时，即当，可得，
可得，整理可得，可得.
综上所述，.
故答案为：.
8．（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知圆的圆心在抛物线上运动，且圆过定点，圆被轴所截得的弦为，设，，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设，则，
故圆的方程，
令有，
故，解得，，
故．
设，因为，
所以，又由余弦定理可得，
所以，
所以，
因为，所以，所以当且仅当时，原式有最大值，
当且仅当时，原式有最小值为，从而的取值范围为．
故答案为：
9．（2023·黑龙江大庆·统考三模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果．他发现“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，，Q为抛物线上的动点，点Q在直线上的射影为H，M为圆上的动点，若点P的轨迹是到A，B两点的距离之比为的阿氏圆，则的最小值为 ．
【答案】3
【详解】设，由题意，即，整理得，
因为圆可以看作把圆向左平移个单位得到的，
那么点平移后变为，点平移后变为，
所以根据阿氏圆的定义有，所以，
又由抛物线定义有，
所以，
当且仅当，，，四点共线，且，在，之间时取等号，
故的最小值为3．
故答案为：3．
10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，，分别交y轴于P，Q两点，若的周长为16，则的最大值为 .
【答案】4
【详解】∵轴且过，则AB为双曲线的通径，由，代入双曲线可得，故.
为的中点，，则为的中位线，故，
又的周长为，则的周长为 ①，
∵ ②，
故由①②可得，即，可得.
故，当且仅当即时取等号.
故答案为：4
11．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知为抛物线：的焦点，过直线上任一点向抛物线引切线，切点分别为A，，若点在直线上的射影为，则的取值范围为 ．
【答案】．
【详解】设，，，不妨设在轴上方，
时，，，所以切线的方程为，
代入得，又，∴，
得，同理可得．
因此直线的方程为，直线过定点，
，∴在以为直径的圆上，该圆圆心，半径为1，
由已知，，∴的最大值为，最小值为，
时，直线方程为，此时，与轴垂直，点与点重合，即，点不可能与点重合，最大值取不到．
所以的范围是．
故答案为：．
③轨迹问题
1．（2023秋·广东阳江·高三统考开学考试）已知圆与圆交点的轨迹为，过平面内的点作轨迹的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】圆圆心，
圆圆心，
设两圆交点为，则由题意知，，所以，
又由于，所以由椭圆定义知，交点是以、为焦点的椭圆，
且，，则，所以轨迹的方程为，
设点，当切线斜率存在且不为时，设切线方程为：，
联立，消得，
则，
即，由于，则由根与系数关系知，即．
当切线斜率不存在或为时，点的坐标为，，，，满足方程，
故所求轨迹方程为．
故选：A．
2．（2023·贵州黔西·校考一模）在正方体中，点为平面内的一动点，是点到平面的距离，是点到直线的距离，且（为常数），则点的轨迹不可能是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】A
【详解】由条件作出正方体，并以为原点，直线、和分别为、和轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体的棱长为（），点，
所以得，，
由，得，
所以，即①（），
当时，①式化得：，
此时，点的轨迹是抛物线；
当时，①式化得：，
即，
②，
当时，，则②式，是双曲线的方程，即点的轨迹为双曲线；
当时，，则②式，是椭圆的方程，即点的轨迹为椭圆；
故选：A.
3．（2023·全国·高二专题练习）已知动点满足（为大于零的常数）﹐则动点的轨迹是（ ）
A．线段B．圆C．椭圆D．直线
【答案】C
【详解】的几何意义为点与点间的距离，
同理的几何意义为点与点间的距离，
且
又由为大于零的常数，可知，
当且仅当，即时取等，
故，
即动点到点与到点的距离之和为定值，且大于，
所以动点的轨迹为椭圆，
故选：C.
4．（2023春·江苏南京·高二南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（ ）
A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．双曲线一支
【答案】B
【详解】，即圆，故，，
因为平行与，，所以，故，
故点的轨迹为双曲线.
故选：B
5．（2023·高二课时练习）已知，，动点P满足（a为常数），则下列说法中错误的是（ ）
A．时，点P的轨迹是y轴B．时，点P的轨迹是一条直线
C．或时，点P的轨迹不存在D．时，点P的轨迹是双曲线
【答案】B
【详解】对选项A：时，，点P的轨迹是y轴，正确；
对选项B：时，，点P的轨迹是两条射线，错误；
对选项C：当时，不成立；当时，不成立，点P的轨迹不存在，正确；
对选项D：时，根据双曲线定义知，点P的轨迹是双曲线，正确.
故选：B
6．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知圆的方程为，直线为圆的切线，记两点到直线的距离分别为，动点满足，，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，分别过点做直线的垂线，垂足分别为，
则，，切点为
因为，所以是的中点，,
所以是梯形的中位线，所以，
又因为圆的方程为，，
所以，所以，
即，
所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆的方程为，
则，
所以，，
所以动点的轨迹方程为.
故选：B
7．（2023·高二课时练习）在中，已知，若，且满足，则顶点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：在中，因为，
所以，
又，则，
所以，即，
由于，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆的左半部分，
由，
所以顶点的轨迹方程是.
故选：A.
8．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆M与定圆，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .
【答案】
【详解】圆：，圆心，半径，
圆：，圆心，半径.
设动圆M的半径为R，则有，，
∴，
∴点M的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，且，，于是.
故动圆圆心M的轨迹方程为.
故答案为：.
9．（2023·全国·高三对口高考）已知动圆P过点，且与圆外切，则动圆P圆心的轨迹方程为 .
【答案】，
【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称，
设动圆的半径为，则有，因为与圆外切，
所以，即，
所以点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，
则，，，
所以轨迹方程为，，即，.
故答案为：，
10．（2023·全国·高三专题练习）已知平面上一定点和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·=0．则动点P的轨迹方程为 ；
【答案】
【详解】设，则，
由·=0，得，
即，化简得，
所以点P在椭圆上，即动点P的轨迹方程为．
故答案为：
11．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知的周长是18，，是轴上关于原点对称的两点，若，动点满足.则动点的轨迹方程为 ；
【答案】
【详解】由，知点G是的重心，取点，，
不妨设，，则，，
且，
所以点是以，为焦点的椭圆（除去长轴端点），
设椭圆的方程是，
则，，于是，即，
从而，点的轨迹方程为：.
故答案为：
12．（2023春·宁夏银川·高二银川唐徕回民中学校考期中）一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为 ．
【答案】
【详解】设动圆圆心为，半径为，根据题意知：，，
所以，所以圆心的轨迹为椭圆.
其中，，故，
因为焦点在轴上，故圆心轨迹方程为：.
故答案为：.
13．（2023·全国·高二课堂例题）已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【详解】设,因为,故
即.故的轨迹是以为焦点,的双曲线的下支.此时.故.故.
故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）已知动圆与直线相切，且与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
【答案】
【详解】设动圆半径为，则到直线的距离为，，
故到的距离等于到的距离，故轨迹为抛物线，即.
故答案为：.
④相切问题
1．（2023·全国·高三对口高考）已知实数x，y满足：，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．5
【答案】B
【详解】令，则直线与有交点情况下，直线在x轴上截距最大，
假设直线与椭圆相切，则，即，
所以，可得，即，
要使在x轴上截距最大，即.
故选：B.
2．（2023秋·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，可转化为点到点和点的距离之和为，
故点在椭圆上.表示点与椭圆上一点所连直线的斜率，
设该直线的方程为，由图可知，当直线与椭圆相切时，取得最值.
联立方程组整理得，
，解得或，故的取值范围是
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【详解】
由圆的对称性可得只需考虑圆心到函数图象上一点的距离的最小值．
设图象上一点，令图象上一点的切线为
由的导数为，即切线的斜率为，
当时，圆心到函数图象上一点的距离最小，
此时，即有，
由，可得，递增，又，
所以，，
所以点到点的距离最小，且为，
则线段的长度的最小值为，
故选：A．
4．（2022·宁夏银川·银川一中校考二模）已知实数x，y满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为实数，满足，
所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的双曲线的一部分（含点），
当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的椭圆的一部分，
当时，其图象不存在，
当时，其图象是位于第三象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，
作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：
任意一点到直线的距离
所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，
双曲线，其中一条渐近线与直线平行，
通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，
设与其图像在第一象限相切于点，
由
因为或（舍去）
所以直线与直线的距离为
此时，
所以的取值范围是．
故选：B．
5．（2023·江西·校联考模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当，时，方程为，是双曲线在第一象限的部分；
当，时，方程为，不能表示任何曲线；
当，时，方程为，是双曲线在第三象限的部分；
当，时，方程为，是圆在第四象限的部分；
其图象大致如图所示：
令，则直线与曲线有公共点，
表示的曲线如图，则当表示部分双曲线时，该曲线的渐近线斜率，和直线平行，；
把直线往下移，直到如图与第四象限的圆相切，此时圆心到直线的距离等于半径，
，解得：，又是与第四象限圆相切，；
若直线继续下移，则无交点，不合题意；
综上所述：，即的取值范围为.
故选：C.
6．（2023·河南·统考模拟预测）若直线l：与曲线C：有两个公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】当时，曲线C的方程为，轨迹为椭圆的右半部分；
当时，曲线C的方程为，轨迹为双曲线的左半部分，其渐近线为，
作出图象如下图，直线l（图中虚线）是与直线平行的直线，平行移动直线，可得直线l，
如图可知，当直线l介于直线和（与l平行且与椭圆相切，切点在第一象限）之间时，直线l与曲线C有两个公共点．
设的方程为，，则有，
联立，消去x并整理得，
由，解得或（舍），
故m的取值范围为．
故选：B．
7．（2022·高二单元测试）椭圆上的点到直线的最大距离是
【答案】
【详解】设直线与椭圆相切．
由消去x整理得.
由得.
当时符合题意(舍去)．
即x+2y+=0与椭圆相切,椭圆上的点到直线的最大距离即为两条平行线之间的距离:
⑤新定义新文化题
1．（2023·江苏·高二假期作业）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题意得，解得，
所以椭圆的标准方程是.
故选：A．
2．（2023春·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设点的坐标为，因为，则，
即，
所以点的轨迹方程为，
因为点的轨迹关于直线对称，
所以圆心在此直线上，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）闵氏距离（）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法，设点、坐标分别为，，则闵氏距离.若点、分别在和的图像上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意得，设，
因为点A、B分别在函数和的图象上，
所以，
当且仅当时等号成立.
设，，则，
令，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，所以，
即，所以的最小值为.
故选：A.
4．（多选）（2023春·广东广州·高二统考期末）费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别是以为渐近线且过点的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点处的切线l交x轴于点Q，则（ ）
A．双曲线C的离心率为B．双曲线C的方程为
C．过点作，垂足为K，则D．点Q的坐标为
【答案】BD
【详解】因为双曲线的渐近线为，设双曲线方程为，
代入点，可得，
所以双曲线方程为，可得，
所以离心率为，故A错误，B正确；
因为，
设，
因为，且为的角平分线，
所以，且，故C错误；
因为，当时，整理得，
则，可得，
即切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，
令，整理得，
又因为，可得，
所以点Q的坐标为，故D正确；
故选：BD.
5．（2023春·江西赣州·高二校考阶段练习）我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便，对于勾股定理我国历史上有多位数学家创造了不同的面积政法，如三国时期的刘徽、清代的梅文鼎、华蘅芳等．下图为华蘅芳证明勾股定理时构造的图形，若图中，，，以点C为原点，为x轴正方向．为y轴正方向，建立平面直角坐标系，以AB的中点D为圆心作圆D，使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆D外部，则圆D的一个标准方程为 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不㫿一）
【详解】
由图可得，，，，，，
所以，，，，
所以，，
，，
，，
点D到三个正方形项点的距离分别为，，，，，，，，，
所以圆D的一个方程为．
故答案为：（答案不唯一）．
6．（2023·福建三明·统考三模）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率 .
【答案】/
【详解】由双曲线的左、右焦点分别为，及双曲线上关于原点对称的两点，，
则，，可得四边形为平行四边形，
又及托勒密定理，可得四边形为矩形．
设，，
在中，，
则，，
，，，
，解得．
双曲线的离心率为．
故答案为：．
7．（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为 .（用含的代数式表示）
【答案】
【详解】因为，所以，，
所以，蒙日圆的方程为，
由已知条件可得，则为圆的一条直径，
由勾股定理可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，面积的最大值为.
故答案为：.
8．（2023·江苏·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，两点，间的“曼哈顿距离”定义为，则平面内与两定点和的“曼哈顿距离”之和等于4的点的轨迹围成的面积为 .
【答案】6
【详解】设，因为与两定点和的“曼哈顿距离”之和等于4，所以，
①当 且 时，
，
②当 时，；当 时，；当 时，；
作出图象如图所示，
所以 点轨迹是一个六边形，六边形面积是两个相等梯形面积和，.
故答案为：6.
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