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苏科版七年级下册9.4 乘法公式课堂检测
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这是一份苏科版七年级下册9.4 乘法公式课堂检测，共34页。试卷主要包含了 ，完全平方公式，乘法公式的探究及应用，有两根同样长的铁丝，所以2﹣2×10＝80等内容，欢迎下载使用。
1．（1）如图，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？（用含有x、y的等式表示） ．
（2）若（3x﹣2y）2＝5，（3x+2y）2＝9，求xy的值；
（3）若2x+y＝5，xy＝2，求2x﹣y的值．
2．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1
所以（a+b）2＝9，2ab＝2
所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2
得a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝ ；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ ；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．
3．（2020春•淮安区期末）乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系． ；
（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片 张．
（3）根据（1）题中的等量关系，解决问题：已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值．
4．有两根同样长的铁丝．
（1）将两根铁丝分别围成一个长方形和一个正方形（无剩余）．
①若其中长方形的长为5cm，宽为3cm，则正方形的边长为 cm；
②设其中长方形的长为xcm，宽为ycm，则正方形的边长为 cm（用含x、y的代数式表示）；
③若长方形的长比宽多acm，用含a的代数式表示正方形面积与长方形面积的差S（写出过程）；
（2）将其中一根铁丝剪成两段，用这两段分别围成两个正方形拼成如图所示的形状（在同一水平线上，两正方形无重叠），若铁丝总长为28cm，两个正方形面积和为25cm2，则阴影部分面积为 cm2．
5．（2020春•东海县期末）[阅读理解]我们常将一些公式变形，以简化运算过程．
如，可以把公式“（a+b）2＝a2+2ab+b2”变形成a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）等形式，运用于下面这个问题的解答：
问题：若x满足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值．
我们可以作如下解答：设a＝20﹣x，b＝x﹣30，则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝20﹣30＝﹣10．所以（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80．
请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：
（1）若x满足（80﹣x）（x﹣70）＝﹣10，则（80﹣x）2+（x﹣70）2的值为 ．
（2）若x满足（2020﹣x）2+（2017﹣x）2＝4051，则（2020﹣x）（2017﹣x）的值为 ．
（3）如图，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝8，CK＝12．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形NDMH的面积．
6．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9x2﹣4y2＝24，3x+2y＝6，求3x﹣2y的值；
②计算：．
7．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ．（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
8．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ．（请选择正确的选项）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣y2＝16，x+y＝8，求x﹣y的值；
（3）计算：（1）（1）（1）…（1）（1）．
9．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1）（1）（1）…（1）（1）．
10．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是： （请选择正确的一个）．
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2+ab＝a（a+b）C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知4x2﹣9y2＝24，2x+3y＝8，求2x﹣3y的值；
②计算：．
11．【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
【拓展】
计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
12．【知识情景】通常情况下，用两种不同的方法计算同一个图形的面积．
（1）如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个长方形（如图2）．通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是 ．
【拓展探究】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．如图3是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式可以为 ；
（3）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的恒等式求a3+b3的值．
13．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1）（1）（1）…（1）（1）．
14．（1）如图1，阴影部分的面积是 ．（写成平方差的形式）
（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是 ．（写成多项式相乘的积形式）
（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式： ．
（4）应用公式计算：（1）（1）（1）（1）…（1）（1）．
15．如图，将边长为a的正方形按虚线剪成4个部分，去掉其中边长为b的小正方形，将剩余的3个部分重新拼成一个互不重叠且无缝隙的长方形．
（1）画出拼好的长方形，并标注相应的数据；
（2）求拼好后长方形的周长；
（3）若a＝9，b＝3，求拼好后长方形的面积．
16．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
17．如图摆放两个正方形，它们的周长之和为24、面积之和为20，求阴影部分的面积．
18．图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 ；
（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？
19．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
①图2中的阴影部分的面积为 ；
②观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
③根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y，则（x﹣y）2＝ ；
④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．
如图3，你发现的等式是 ．
20．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：
方法2：
（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝5，则（a﹣b）2＝ ．
参考答案
1．（1）如图，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？（用含有x、y的等式表示） 4xy＝（x+y）2﹣（x﹣y）2 ．
（2）若（3x﹣2y）2＝5，（3x+2y）2＝9，求xy的值；
（3）若2x+y＝5，xy＝2，求2x﹣y的值．
【分析】（1）阴影部分的面积可以由边长为x+y的大正方形的面积减去边长为x﹣y的小正方形面积求出，也可以由4个长为x，宽为y的矩形面积之和求出，表示出即可；
（2）将（3x﹣2y）2＝5，（3x+2y）2＝9，代入（1）中的等式可求解；
（3）将2x+y＝5，xy＝2，代入（1）中的等式可求解；
【解析】（1）4xy＝（x+y）2﹣（x﹣y）2；
（2）∵（3x+2y）2﹣（3x﹣2y）2＝24xy＝9﹣5，
∴xy；
（3）∵（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝8xy，
∴25﹣16＝（2x﹣y）2，
∴2x﹣y＝±3．
2．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1
所以（a+b）2＝9，2ab＝2
所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2
得a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝ 6 ；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ 17 ；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．
【分析】理解题目给出得例题，再根据完全平方公式的变形应用，解决问题．
【解析】（1）∵x+y＝8；
∴（x+y）2＝82；
x2+2xy+y2＝64；
又∵x2+y2＝40；
∴2xy＝64﹣（x2+y2），
∴2xy＝64﹣40＝24，
xy＝12．
（2）①∵（4﹣x）+x＝4，
∴[（4﹣x）+x]2＝42
[（4﹣x）+x]2＝（4﹣x）2+2（4﹣x）x+x2＝16；
又∵（4﹣x）x＝5，
∴（4﹣x）2+x2＝16﹣2（4﹣x）x＝16﹣2×5＝6．
②由（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1，
∴[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2＝（4﹣x）2﹣2（4﹣x）（5﹣x）+（5﹣x）2＝（﹣1）2；
又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝1+2（4﹣x）（5﹣x）＝1+2×8＝17．
（3）由题意可得，AC+BC＝6，AC2+BC2＝18；
∵（AC+BC）2＝62，AC2+2AC•BC+BC2＝36；
∴2AC•BC＝36﹣（AC2+BC2）＝36﹣18＝18，
AC•BC＝9；
图中阴影部分面积为直角三角形面积，
∵BC＝CF
∴．
3．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系． （a+b）2＝a2+b2+2ab ；
（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片 3 张．
（3）根据（1）题中的等量关系，解决问题：已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值．
【分析】（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab三者的关系；
（2）计算（a+2b）（a+b）的结果为a2+3ab+2b2，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；
（3）有（1）的等量关系，代入求值即可．
【解析】（1）大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，或表示为：a2+b2+2ab；
因此有（a+b）2＝a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（2）∵（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，
∴需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，
故答案为：3；
（3）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，a+b＝5，a2+b2＝13，
∴25＝13+2ab，
∴ab＝6，
答：ab的值为6．
4．有两根同样长的铁丝．
（1）将两根铁丝分别围成一个长方形和一个正方形（无剩余）．
①若其中长方形的长为5cm，宽为3cm，则正方形的边长为 4 cm；
②设其中长方形的长为xcm，宽为ycm，则正方形的边长为 cm（用含x、y的代数式表示）；
③若长方形的长比宽多acm，用含a的代数式表示正方形面积与长方形面积的差S（写出过程）；
（2）将其中一根铁丝剪成两段，用这两段分别围成两个正方形拼成如图所示的形状（在同一水平线上，两正方形无重叠），若铁丝总长为28cm，两个正方形面积和为25cm2，则阴影部分面积为 6 cm2．
【分析】（1）①根据周长相等，可求出正方形的边长；②根据长方形的周长与正方形的周长相等，得出结果，③设出长方形的长，表示宽和周长，进而表示正方形的边长，
（2）设两个正方形的边长为a、b，利用面积和为25，周长和为28，列方程组求出边长，进而计算出阴影部分的面积．
【解析】（1）①长方形的周长为：（5+3）×2＝16，因此正方形的边长为：16÷4＝4cm，
故答案为：4；
②由题意得，2（x+y）÷4，
故答案为：；
③设长方形的长为xcm，则宽为（x﹣a）cm，则正方形的边长为：cm，
∴S＝（）2﹣x（x﹣a）；
（2）设大正方形的边长分别为acm，小正方形的表示为bcm，由题意得，
，解得，，
∴S阴影部分ab＝6cm2．
故答案为：6．
5．（2020春•东海县期末）[阅读理解]我们常将一些公式变形，以简化运算过程．
如，可以把公式“（a+b）2＝a2+2ab+b2”变形成a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）等形式，运用于下面这个问题的解答：
问题：若x满足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值．
我们可以作如下解答：设a＝20﹣x，b＝x﹣30，则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝20﹣30＝﹣10．所以（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80．
请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：
（1）若x满足（80﹣x）（x﹣70）＝﹣10，则（80﹣x）2+（x﹣70）2的值为 120 ．
（2）若x满足（2020﹣x）2+（2017﹣x）2＝4051，则（2020﹣x）（2017﹣x）的值为 2021 ．
（3）如图，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝8，CK＝12．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形NDMH的面积．
【分析】（1）根据题中提供方法进行计算即可；
（2）设a＝2020﹣x，b＝2017﹣x，计算出a﹣b的值，利用2ab＝a2+b2﹣（a﹣b）2，进行计算即可；
（3）由题意知，a2+b2＝400，a﹣b＝4．利用（a﹣b）2+2ab＝a2+b2计算ab的值即可；
【解析】（1）设a＝80﹣x，b＝x﹣70，则ab＝﹣10，a+b＝80﹣x+x﹣70＝10，
∴（80﹣x）2+（x﹣70）2的值＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100+20＝120，
故答案为：120；
（2）设a＝2020﹣x，b＝2017﹣x，则a﹣b＝2020﹣x﹣2017+x＝3，
∴（2020﹣x）（2017﹣x）＝ab[a2+b2﹣（a﹣b）2]（4051﹣9）＝2021，
故答案为：2021；
（3）设LD＝a，DK＝b，则AD＝8+a，DC＝b+12．
由题意知，8+a＝b+12，a2+b2＝400，
∴a﹣b＝4．
∴（a﹣b）2+2ab＝a2+b2
∴42+2ab＝400，
所以ab＝192．
所以长方形NDMH的面积为ab＝192．
即：S矩形NDMH＝ab＝192．
6．（2020秋•武都区期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9x2﹣4y2＝24，3x+2y＝6，求3x﹣2y的值；
②计算：．
【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式；
（2）①把9x2﹣4y2利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把3x+2y＝6代入即可求解；
②利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解．
【解析】（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案是B；
（2）①∵9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y），
∴24＝6（x﹣2y）
得：3x﹣2y＝4；
②原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1），
，
，
．
7．（2020秋•洮北区期末）乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 a2﹣b2 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 a﹣b ，长是 a+b ，面积是 （a+b）（a﹣b） ．（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ．（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；
（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；
（3）建立等式就可得出；
（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．
【解析】（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；
（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；
（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（4）①解：原式＝（10+0.3）×（10﹣0.3）
＝102﹣0.32
＝100﹣0.09
＝99.91；
②解：原式＝[2m+（n﹣p）]•[2m﹣（n﹣p）]
＝（2m）2﹣（n﹣p）2
＝4m2﹣n2+2np﹣p2．
8．（2020春•滨海县期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 A ．（请选择正确的选项）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣y2＝16，x+y＝8，求x﹣y的值；
（3）计算：（1）（1）（1）…（1）（1）．
【分析】（1）根据拼接前后的面积相等可得出答案，
（2）x2﹣y2＝16，即（x+y）（x﹣y）＝16，又x+y＝8，可求出x﹣y的值，
（3）利用平方差公式将算式转化为分数的乘积的形式，根据数据规律得出答案．
【解析】（1）图1的剩余面积为a2﹣b2，图2拼接得到的图形面积为（a+b）（a﹣b）
因此有，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：A
（2）∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝16，
又∵x+y＝8，
∴x﹣y＝16÷8＝2；
（3）原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）……（1）（1）（1）（1），
，
，
．
9．（2020春•广陵区期中）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 B （请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1）（1）（1）…（1）（1）．
【分析】（1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可．
（2）利用平方差公式计算即可．
（3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值．
【解析】
（1）∵边长为a的正方形面积是a2，边长为b的正方形面积是b2，剩余部分面积为a2﹣b2；图（2）长方形面积为（a+b）（a﹣b）；
∴验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
故答案为：B．
（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，且x+3y＝4
∴x﹣3y＝3
（3）（1）（1）（1）…（1）（1）
＝（1）（1）（1）（1）…（1）（1）
10．（2020春•邗江区期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是： A （请选择正确的一个）．
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2+ab＝a（a+b）C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知4x2﹣9y2＝24，2x+3y＝8，求2x﹣3y的值；
②计算：．
【分析】（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等，验证平方差公式即可；
（2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；
②先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果．
【解析】（1）根据图形得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
上述操作能验证的等式是A，
故答案为：A；
（2）①∵4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y）＝24，2x+3y＝8，
∴2x﹣3y＝24÷8＝3；
②．
，
，
，
．
11．（2020春•河口区期末）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 3 ．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
【拓展】
计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【分析】【探究】将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
【应用】
（1）利用平方差公式得出（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；
（2）可将2020×2018写成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平方差公式求值；
【拓展】利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值．
【解析】
【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），
所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【应用】
（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12
∵（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2
∴2m﹣n＝3
故答案为3．
（2）20192﹣2020×2018
＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）
＝20192﹣（20192﹣1）
＝20192﹣20192+1
＝1
【拓展】
1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）
＝199+195+…+7+3
＝5050
12．（2019春•东海县期中）【知识情景】通常情况下，用两种不同的方法计算同一个图形的面积．
（1）如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个长方形（如图2）．通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
【拓展探究】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．如图3是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式可以为 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 ；
（3）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的恒等式求a3+b3的值．
【分析】（1）图1的阴影部分的面积可以表示为a2﹣b2，拼成图2的面积可表示为（a+b）（a﹣b），因此可得出等式，
（2）用不同的方法表示正方体体积，进而得出（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
【解析】（1）图1阴影部分的面积可以表示为a2﹣b2，拼成图2的面积可表示为（a+b）（a﹣b），
因此a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
（2）整体上正方体的体积为（a+b）3，再分别表示八块的体积和为a3+3a2b+3ab2+b3，
因此（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
（3）由（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3得，
a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b）＝64﹣3×2×4＝40．
13．（2019春•玉田县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1）（1）（1）…（1）（1）．
【分析】（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等，验证平方差公式即可；
（2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；②先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果．
【解析】（1）根据图形得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
上述操作能验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：B；
（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝12，x+2y＝4，
∴x﹣2y＝12÷4＝3；
②（1）（1）（1）…（1）（1）
＝（1）（1）（1）（1）…（1）（1）
．
14．（2019春•南海区期末）（1）如图1，阴影部分的面积是 a2﹣b2 ．（写成平方差的形式）
（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是 （a﹣b）（a+b） ．（写成多项式相乘的积形式）
（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式： （a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 ．
（4）应用公式计算：（1）（1）（1）（1）…（1）（1）．
【分析】（1）根据面积的和差，可得答案；
（2）根据矩形的面积公式，可得答案；
（3）根据图形割补法，面积不变，可得答案；
（4）根据平方差公式计算即可．
【解析】（1）如图（1）所示，阴影部分的面积是a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；
（2）根据题意知该长方形的长为a+b、宽为a﹣b，
则其面积为（a+b）（a﹣b），
故答案为：（a+b）（a﹣b）；
（3）由阴影部分面积相等知（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（4）（1）（1）（1）（1）…（1）（1）
＝（1）（1）（1）（1）…（1）（1）
．
15．（2018秋•秦淮区期中）如图，将边长为a的正方形按虚线剪成4个部分，去掉其中边长为b的小正方形，将剩余的3个部分重新拼成一个互不重叠且无缝隙的长方形．
（1）画出拼好的长方形，并标注相应的数据；
（2）求拼好后长方形的周长；
（3）若a＝9，b＝3，求拼好后长方形的面积．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据矩形的周长公式计算即可；
（3）根据矩形的面积公式计算即可．
【解析】（1）如图所示；
（2）拼好后长方形的周长＝4b+4（a﹣b）＝4a；
（3）拼好后长方形的面积＝（a﹣b）（a﹣b+2b）＝（a﹣b）（a+b），
当a＝9，b＝3，（a﹣b）（a+b）＝6×12＝72．
16．（2018春•江都区期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式；
（2）根据面积相等可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）从左到右依次利用平方差公式即可求解．
【解析】（1），S2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）+1
＝（216﹣1）+1
＝216．
17．（2020春•泰兴市校级期中）如图摆放两个正方形，它们的周长之和为24、面积之和为20，求阴影部分的面积．
【分析】根据题意得，a+b＝6，a2+b2＝20，利用面积的和差解答即可．
【解析】根据题意得，a+b＝6，a2+b2＝20，
∴ab[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝8，
S阴影＝a2+b2a2（a+b）×ba2b2ab208＝10﹣4＝6．
18．（2020春•槐荫区期末）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 （m﹣n）2 ；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 （m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2 ；
（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？
【分析】（1）表示出阴影部分的边长，即可得出其面积；
（2）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系．
（3）根据（2）所得出的关系式，可求出（x﹣y）2，继而可得出x﹣y的值．
（4）利用两种不同的方法表示出大矩形的面积即可得出等式．
【解析】（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2，
故答案为：（m﹣n）2；
（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，
故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25，
则x﹣y＝±5；
（4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）＝2m2+3mn+n2．
19．（2020春•天桥区期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
①图2中的阴影部分的面积为 （b﹣a）2 ；
②观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ；
③根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y，则（x﹣y）2＝ 16 ；
④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．
如图3，你发现的等式是 （a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2 ．
【分析】①表示出阴影部分正方形的边长，然后根据正方形的面积公式列式即可；
②根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个小长方形的面积列式即可；
③将（x﹣y）2变形为（x+y）2﹣4xy，再代入求值即可；
④根据大长方形的面积等于各部分的面积之和列式整理即可．
【解析】①（b﹣a）2；
②（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
③当x+y＝5，x•y时，
（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy
＝52﹣4
＝16；
④（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
故答案为：①（b﹣a）2；②（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；③16；④（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
20．（2020春•凤翔县期末）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1： （m+n）2﹣4mn
方法2： （m﹣n）2
（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn． （m+n）2＝（m﹣n）2+4mn
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝5，则（a﹣b）2＝ 29 ．
【分析】（1）观察图2，阴影部分的边长就是矩形的长与宽的差，即（m﹣n）；
（2）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积；
（3）由（2）即可得出三个代数式之间的等量关系；
（4）将a+b＝7，ab＝5，代入三个代数式之间的等量关系即可求出（a﹣b）2的值．
【解析】（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于（m﹣n）；
（2）方法一、阴影部分的面积＝（m+n）2﹣2m•2n；
方法二、阴影部分的边长＝m﹣n；故阴影部分的面积＝（m﹣n）2．
（3）三个代数式之间的等量关系是：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
（4）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝29．
故答案为：（m+n）2﹣4mn、（m﹣n）2；（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；29．
1．（1）如图，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？（用含有x、y的等式表示） ．
（2）若（3x﹣2y）2＝5，（3x+2y）2＝9，求xy的值；
（3）若2x+y＝5，xy＝2，求2x﹣y的值．
2．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1
所以（a+b）2＝9，2ab＝2
所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2
得a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝ ；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ ；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．
3．（2020春•淮安区期末）乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系． ；
（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片 张．
（3）根据（1）题中的等量关系，解决问题：已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值．
4．有两根同样长的铁丝．
（1）将两根铁丝分别围成一个长方形和一个正方形（无剩余）．
①若其中长方形的长为5cm，宽为3cm，则正方形的边长为 cm；
②设其中长方形的长为xcm，宽为ycm，则正方形的边长为 cm（用含x、y的代数式表示）；
③若长方形的长比宽多acm，用含a的代数式表示正方形面积与长方形面积的差S（写出过程）；
（2）将其中一根铁丝剪成两段，用这两段分别围成两个正方形拼成如图所示的形状（在同一水平线上，两正方形无重叠），若铁丝总长为28cm，两个正方形面积和为25cm2，则阴影部分面积为 cm2．
5．（2020春•东海县期末）[阅读理解]我们常将一些公式变形，以简化运算过程．
如，可以把公式“（a+b）2＝a2+2ab+b2”变形成a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）等形式，运用于下面这个问题的解答：
问题：若x满足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值．
我们可以作如下解答：设a＝20﹣x，b＝x﹣30，则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝20﹣30＝﹣10．所以（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80．
请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：
（1）若x满足（80﹣x）（x﹣70）＝﹣10，则（80﹣x）2+（x﹣70）2的值为 ．
（2）若x满足（2020﹣x）2+（2017﹣x）2＝4051，则（2020﹣x）（2017﹣x）的值为 ．
（3）如图，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝8，CK＝12．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形NDMH的面积．
6．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9x2﹣4y2＝24，3x+2y＝6，求3x﹣2y的值；
②计算：．
7．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ．（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
8．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ．（请选择正确的选项）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣y2＝16，x+y＝8，求x﹣y的值；
（3）计算：（1）（1）（1）…（1）（1）．
9．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1）（1）（1）…（1）（1）．
10．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是： （请选择正确的一个）．
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2+ab＝a（a+b）C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知4x2﹣9y2＝24，2x+3y＝8，求2x﹣3y的值；
②计算：．
11．【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
【拓展】
计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
12．【知识情景】通常情况下，用两种不同的方法计算同一个图形的面积．
（1）如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个长方形（如图2）．通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是 ．
【拓展探究】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．如图3是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式可以为 ；
（3）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的恒等式求a3+b3的值．
13．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1）（1）（1）…（1）（1）．
14．（1）如图1，阴影部分的面积是 ．（写成平方差的形式）
（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是 ．（写成多项式相乘的积形式）
（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式： ．
（4）应用公式计算：（1）（1）（1）（1）…（1）（1）．
15．如图，将边长为a的正方形按虚线剪成4个部分，去掉其中边长为b的小正方形，将剩余的3个部分重新拼成一个互不重叠且无缝隙的长方形．
（1）画出拼好的长方形，并标注相应的数据；
（2）求拼好后长方形的周长；
（3）若a＝9，b＝3，求拼好后长方形的面积．
16．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
17．如图摆放两个正方形，它们的周长之和为24、面积之和为20，求阴影部分的面积．
18．图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 ；
（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？
19．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
①图2中的阴影部分的面积为 ；
②观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
③根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y，则（x﹣y）2＝ ；
④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．
如图3，你发现的等式是 ．
20．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：
方法2：
（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝5，则（a﹣b）2＝ ．
参考答案
1．（1）如图，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？（用含有x、y的等式表示） 4xy＝（x+y）2﹣（x﹣y）2 ．
（2）若（3x﹣2y）2＝5，（3x+2y）2＝9，求xy的值；
（3）若2x+y＝5，xy＝2，求2x﹣y的值．
【分析】（1）阴影部分的面积可以由边长为x+y的大正方形的面积减去边长为x﹣y的小正方形面积求出，也可以由4个长为x，宽为y的矩形面积之和求出，表示出即可；
（2）将（3x﹣2y）2＝5，（3x+2y）2＝9，代入（1）中的等式可求解；
（3）将2x+y＝5，xy＝2，代入（1）中的等式可求解；
【解析】（1）4xy＝（x+y）2﹣（x﹣y）2；
（2）∵（3x+2y）2﹣（3x﹣2y）2＝24xy＝9﹣5，
∴xy；
（3）∵（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝8xy，
∴25﹣16＝（2x﹣y）2，
∴2x﹣y＝±3．
2．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1
所以（a+b）2＝9，2ab＝2
所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2
得a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝ 6 ；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ 17 ；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．
【分析】理解题目给出得例题，再根据完全平方公式的变形应用，解决问题．
【解析】（1）∵x+y＝8；
∴（x+y）2＝82；
x2+2xy+y2＝64；
又∵x2+y2＝40；
∴2xy＝64﹣（x2+y2），
∴2xy＝64﹣40＝24，
xy＝12．
（2）①∵（4﹣x）+x＝4，
∴[（4﹣x）+x]2＝42
[（4﹣x）+x]2＝（4﹣x）2+2（4﹣x）x+x2＝16；
又∵（4﹣x）x＝5，
∴（4﹣x）2+x2＝16﹣2（4﹣x）x＝16﹣2×5＝6．
②由（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1，
∴[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2＝（4﹣x）2﹣2（4﹣x）（5﹣x）+（5﹣x）2＝（﹣1）2；
又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝1+2（4﹣x）（5﹣x）＝1+2×8＝17．
（3）由题意可得，AC+BC＝6，AC2+BC2＝18；
∵（AC+BC）2＝62，AC2+2AC•BC+BC2＝36；
∴2AC•BC＝36﹣（AC2+BC2）＝36﹣18＝18，
AC•BC＝9；
图中阴影部分面积为直角三角形面积，
∵BC＝CF
∴．
3．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系． （a+b）2＝a2+b2+2ab ；
（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片 3 张．
（3）根据（1）题中的等量关系，解决问题：已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值．
【分析】（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab三者的关系；
（2）计算（a+2b）（a+b）的结果为a2+3ab+2b2，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；
（3）有（1）的等量关系，代入求值即可．
【解析】（1）大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，或表示为：a2+b2+2ab；
因此有（a+b）2＝a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（2）∵（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，
∴需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，
故答案为：3；
（3）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，a+b＝5，a2+b2＝13，
∴25＝13+2ab，
∴ab＝6，
答：ab的值为6．
4．有两根同样长的铁丝．
（1）将两根铁丝分别围成一个长方形和一个正方形（无剩余）．
①若其中长方形的长为5cm，宽为3cm，则正方形的边长为 4 cm；
②设其中长方形的长为xcm，宽为ycm，则正方形的边长为 cm（用含x、y的代数式表示）；
③若长方形的长比宽多acm，用含a的代数式表示正方形面积与长方形面积的差S（写出过程）；
（2）将其中一根铁丝剪成两段，用这两段分别围成两个正方形拼成如图所示的形状（在同一水平线上，两正方形无重叠），若铁丝总长为28cm，两个正方形面积和为25cm2，则阴影部分面积为 6 cm2．
【分析】（1）①根据周长相等，可求出正方形的边长；②根据长方形的周长与正方形的周长相等，得出结果，③设出长方形的长，表示宽和周长，进而表示正方形的边长，
（2）设两个正方形的边长为a、b，利用面积和为25，周长和为28，列方程组求出边长，进而计算出阴影部分的面积．
【解析】（1）①长方形的周长为：（5+3）×2＝16，因此正方形的边长为：16÷4＝4cm，
故答案为：4；
②由题意得，2（x+y）÷4，
故答案为：；
③设长方形的长为xcm，则宽为（x﹣a）cm，则正方形的边长为：cm，
∴S＝（）2﹣x（x﹣a）；
（2）设大正方形的边长分别为acm，小正方形的表示为bcm，由题意得，
，解得，，
∴S阴影部分ab＝6cm2．
故答案为：6．
5．（2020春•东海县期末）[阅读理解]我们常将一些公式变形，以简化运算过程．
如，可以把公式“（a+b）2＝a2+2ab+b2”变形成a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）等形式，运用于下面这个问题的解答：
问题：若x满足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值．
我们可以作如下解答：设a＝20﹣x，b＝x﹣30，则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝20﹣30＝﹣10．所以（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80．
请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：
（1）若x满足（80﹣x）（x﹣70）＝﹣10，则（80﹣x）2+（x﹣70）2的值为 120 ．
（2）若x满足（2020﹣x）2+（2017﹣x）2＝4051，则（2020﹣x）（2017﹣x）的值为 2021 ．
（3）如图，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝8，CK＝12．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形NDMH的面积．
【分析】（1）根据题中提供方法进行计算即可；
（2）设a＝2020﹣x，b＝2017﹣x，计算出a﹣b的值，利用2ab＝a2+b2﹣（a﹣b）2，进行计算即可；
（3）由题意知，a2+b2＝400，a﹣b＝4．利用（a﹣b）2+2ab＝a2+b2计算ab的值即可；
【解析】（1）设a＝80﹣x，b＝x﹣70，则ab＝﹣10，a+b＝80﹣x+x﹣70＝10，
∴（80﹣x）2+（x﹣70）2的值＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100+20＝120，
故答案为：120；
（2）设a＝2020﹣x，b＝2017﹣x，则a﹣b＝2020﹣x﹣2017+x＝3，
∴（2020﹣x）（2017﹣x）＝ab[a2+b2﹣（a﹣b）2]（4051﹣9）＝2021，
故答案为：2021；
（3）设LD＝a，DK＝b，则AD＝8+a，DC＝b+12．
由题意知，8+a＝b+12，a2+b2＝400，
∴a﹣b＝4．
∴（a﹣b）2+2ab＝a2+b2
∴42+2ab＝400，
所以ab＝192．
所以长方形NDMH的面积为ab＝192．
即：S矩形NDMH＝ab＝192．
6．（2020秋•武都区期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9x2﹣4y2＝24，3x+2y＝6，求3x﹣2y的值；
②计算：．
【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式；
（2）①把9x2﹣4y2利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把3x+2y＝6代入即可求解；
②利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解．
【解析】（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案是B；
（2）①∵9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y），
∴24＝6（x﹣2y）
得：3x﹣2y＝4；
②原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1），
，
，
．
7．（2020秋•洮北区期末）乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 a2﹣b2 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 a﹣b ，长是 a+b ，面积是 （a+b）（a﹣b） ．（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ．（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；
（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；
（3）建立等式就可得出；
（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．
【解析】（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；
（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；
（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（4）①解：原式＝（10+0.3）×（10﹣0.3）
＝102﹣0.32
＝100﹣0.09
＝99.91；
②解：原式＝[2m+（n﹣p）]•[2m﹣（n﹣p）]
＝（2m）2﹣（n﹣p）2
＝4m2﹣n2+2np﹣p2．
8．（2020春•滨海县期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 A ．（请选择正确的选项）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣y2＝16，x+y＝8，求x﹣y的值；
（3）计算：（1）（1）（1）…（1）（1）．
【分析】（1）根据拼接前后的面积相等可得出答案，
（2）x2﹣y2＝16，即（x+y）（x﹣y）＝16，又x+y＝8，可求出x﹣y的值，
（3）利用平方差公式将算式转化为分数的乘积的形式，根据数据规律得出答案．
【解析】（1）图1的剩余面积为a2﹣b2，图2拼接得到的图形面积为（a+b）（a﹣b）
因此有，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：A
（2）∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝16，
又∵x+y＝8，
∴x﹣y＝16÷8＝2；
（3）原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）……（1）（1）（1）（1），
，
，
．
9．（2020春•广陵区期中）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 B （请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1）（1）（1）…（1）（1）．
【分析】（1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可．
（2）利用平方差公式计算即可．
（3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值．
【解析】
（1）∵边长为a的正方形面积是a2，边长为b的正方形面积是b2，剩余部分面积为a2﹣b2；图（2）长方形面积为（a+b）（a﹣b）；
∴验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
故答案为：B．
（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，且x+3y＝4
∴x﹣3y＝3
（3）（1）（1）（1）…（1）（1）
＝（1）（1）（1）（1）…（1）（1）
10．（2020春•邗江区期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是： A （请选择正确的一个）．
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2+ab＝a（a+b）C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知4x2﹣9y2＝24，2x+3y＝8，求2x﹣3y的值；
②计算：．
【分析】（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等，验证平方差公式即可；
（2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；
②先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果．
【解析】（1）根据图形得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
上述操作能验证的等式是A，
故答案为：A；
（2）①∵4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y）＝24，2x+3y＝8，
∴2x﹣3y＝24÷8＝3；
②．
，
，
，
．
11．（2020春•河口区期末）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 3 ．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
【拓展】
计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【分析】【探究】将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
【应用】
（1）利用平方差公式得出（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；
（2）可将2020×2018写成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平方差公式求值；
【拓展】利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值．
【解析】
【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），
所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【应用】
（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12
∵（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2
∴2m﹣n＝3
故答案为3．
（2）20192﹣2020×2018
＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）
＝20192﹣（20192﹣1）
＝20192﹣20192+1
＝1
【拓展】
1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）
＝199+195+…+7+3
＝5050
12．（2019春•东海县期中）【知识情景】通常情况下，用两种不同的方法计算同一个图形的面积．
（1）如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个长方形（如图2）．通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
【拓展探究】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．如图3是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式可以为 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 ；
（3）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的恒等式求a3+b3的值．
【分析】（1）图1的阴影部分的面积可以表示为a2﹣b2，拼成图2的面积可表示为（a+b）（a﹣b），因此可得出等式，
（2）用不同的方法表示正方体体积，进而得出（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
【解析】（1）图1阴影部分的面积可以表示为a2﹣b2，拼成图2的面积可表示为（a+b）（a﹣b），
因此a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
（2）整体上正方体的体积为（a+b）3，再分别表示八块的体积和为a3+3a2b+3ab2+b3，
因此（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
（3）由（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3得，
a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b）＝64﹣3×2×4＝40．
13．（2019春•玉田县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1）（1）（1）…（1）（1）．
【分析】（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等，验证平方差公式即可；
（2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；②先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果．
【解析】（1）根据图形得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
上述操作能验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：B；
（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝12，x+2y＝4，
∴x﹣2y＝12÷4＝3；
②（1）（1）（1）…（1）（1）
＝（1）（1）（1）（1）…（1）（1）
．
14．（2019春•南海区期末）（1）如图1，阴影部分的面积是 a2﹣b2 ．（写成平方差的形式）
（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是 （a﹣b）（a+b） ．（写成多项式相乘的积形式）
（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式： （a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 ．
（4）应用公式计算：（1）（1）（1）（1）…（1）（1）．
【分析】（1）根据面积的和差，可得答案；
（2）根据矩形的面积公式，可得答案；
（3）根据图形割补法，面积不变，可得答案；
（4）根据平方差公式计算即可．
【解析】（1）如图（1）所示，阴影部分的面积是a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；
（2）根据题意知该长方形的长为a+b、宽为a﹣b，
则其面积为（a+b）（a﹣b），
故答案为：（a+b）（a﹣b）；
（3）由阴影部分面积相等知（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（4）（1）（1）（1）（1）…（1）（1）
＝（1）（1）（1）（1）…（1）（1）
．
15．（2018秋•秦淮区期中）如图，将边长为a的正方形按虚线剪成4个部分，去掉其中边长为b的小正方形，将剩余的3个部分重新拼成一个互不重叠且无缝隙的长方形．
（1）画出拼好的长方形，并标注相应的数据；
（2）求拼好后长方形的周长；
（3）若a＝9，b＝3，求拼好后长方形的面积．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据矩形的周长公式计算即可；
（3）根据矩形的面积公式计算即可．
【解析】（1）如图所示；
（2）拼好后长方形的周长＝4b+4（a﹣b）＝4a；
（3）拼好后长方形的面积＝（a﹣b）（a﹣b+2b）＝（a﹣b）（a+b），
当a＝9，b＝3，（a﹣b）（a+b）＝6×12＝72．
16．（2018春•江都区期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式；
（2）根据面积相等可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）从左到右依次利用平方差公式即可求解．
【解析】（1），S2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）+1
＝（216﹣1）+1
＝216．
17．（2020春•泰兴市校级期中）如图摆放两个正方形，它们的周长之和为24、面积之和为20，求阴影部分的面积．
【分析】根据题意得，a+b＝6，a2+b2＝20，利用面积的和差解答即可．
【解析】根据题意得，a+b＝6，a2+b2＝20，
∴ab[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝8，
S阴影＝a2+b2a2（a+b）×ba2b2ab208＝10﹣4＝6．
18．（2020春•槐荫区期末）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 （m﹣n）2 ；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 （m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2 ；
（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？
【分析】（1）表示出阴影部分的边长，即可得出其面积；
（2）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系．
（3）根据（2）所得出的关系式，可求出（x﹣y）2，继而可得出x﹣y的值．
（4）利用两种不同的方法表示出大矩形的面积即可得出等式．
【解析】（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2，
故答案为：（m﹣n）2；
（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，
故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25，
则x﹣y＝±5；
（4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）＝2m2+3mn+n2．
19．（2020春•天桥区期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
①图2中的阴影部分的面积为 （b﹣a）2 ；
②观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ；
③根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y，则（x﹣y）2＝ 16 ；
④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．
如图3，你发现的等式是 （a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2 ．
【分析】①表示出阴影部分正方形的边长，然后根据正方形的面积公式列式即可；
②根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个小长方形的面积列式即可；
③将（x﹣y）2变形为（x+y）2﹣4xy，再代入求值即可；
④根据大长方形的面积等于各部分的面积之和列式整理即可．
【解析】①（b﹣a）2；
②（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
③当x+y＝5，x•y时，
（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy
＝52﹣4
＝16；
④（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
故答案为：①（b﹣a）2；②（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；③16；④（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
20．（2020春•凤翔县期末）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1： （m+n）2﹣4mn
方法2： （m﹣n）2
（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn． （m+n）2＝（m﹣n）2+4mn
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝5，则（a﹣b）2＝ 29 ．
【分析】（1）观察图2，阴影部分的边长就是矩形的长与宽的差，即（m﹣n）；
（2）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积；
（3）由（2）即可得出三个代数式之间的等量关系；
（4）将a+b＝7，ab＝5，代入三个代数式之间的等量关系即可求出（a﹣b）2的值．
【解析】（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于（m﹣n）；
（2）方法一、阴影部分的面积＝（m+n）2﹣2m•2n；
方法二、阴影部分的边长＝m﹣n；故阴影部分的面积＝（m﹣n）2．
（3）三个代数式之间的等量关系是：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
（4）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝29．
故答案为：（m+n）2﹣4mn、（m﹣n）2；（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；29．
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