湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三下学期2月开学考试数学试卷

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2月份月考数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知平面向量，，若，则（ ）
A. B. C. D. 2
2. 函数的图象（ ）
A 关于轴对称B. 关于原点对称
C. 关于直线对称D. 关于直线对称
3. 若集合满足：，若，则，则称集合是一个“偶集合”.已知集合，，那么下列集合中为“偶集合”的是（ ）
A B. C. D.
4. 已知数列的前5项分别为1，3，3，5，5，该数列从第5项起成等差数列，且，则该等差数列的公差为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
5. 现有10份不同食品，其中有2份不合格.每次取出1份进行检测，直到2份不合格的食品全部辨别出为止.若最后1份不合格食品正好在第3次检测时被发现，则前三次不同检测方案的种数为（ ）
A. 16B. 20C. 28D. 32
6. 如图所示，已知圆的半径为2，过作圆的两条切线，切点分别为，，若，则对角线长度为（ ）

A. B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A B. C. D.
8. 三棱锥中，平面，，.，点是面内的动点（不含边界），，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个极值点B. 的图象关于原点对称
C. 有三个零点D. 零点之积为
10. 在平面直角坐标系中，点，动点，记到轴的距离为.将满足的的轨迹记为，且直线：与交于相异的两点，，则下列结论正确的为（ ）
A. 曲线方程为 B. 直线过定点
C. 的取值范围是 D. 的取值范围是
11. 某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 取得最大值时，的估计值为53
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设为复数的共轭复数，若复数满足，则______.
13. 已知为等腰直角三角形，，点为的重心，若以、为双曲线的两顶点，且双曲线过点，则双曲线的离心率为______.
14. 海边近似平直的海岸线上有两处码头、，且.现有一观光艇由出发，同时在处有一小艇出发向观光艇补充物资，其速度为观光艇的两倍，在处成功拦截观光艇，完成补给.若两船都做匀速直线运动，观光艇行驶向海洋的方向任意的情况下，小艇总可以设定合适的出发角度，使得行驶距离最小，则拦截点距离海岸线的最远距离为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线与函数的图象相切.
（1）求的值；
（2）求函数的极大值.
16. 已知在直角梯形中，，，，，，、分别为线段与的中点，现将四边形沿直线折成一个五面体（如图）.

（1）在线段上是否存在点，使平面.若存在，找出点的位置：若不存在，说明理由；
（2）若二面角的大小为，求平面与平面所成夹角的余弦值.
17. 新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重.2023年，随着技术进步，新能源车的渗透率继续扩大.将2023年1月视为第一个月，得到2023年1-10月，我国新能源汽车渗透率如下表：
（1）假设自2023年1月起的第个月的新能源渗透率为，试求关于的回归直线方程，并由此预测2024年1月的新能源渗透率：
（2）为了鼓励大家购买新能源汽车，国家在2024年继续执行新能源车购置税优惠政策：在2024年6月1日前购买的新能源车无需支付购置税，而燃油车需按照车价10%支付购置税.某4S店为促进销售，于2024年1月推出为购买燃油车的客户代付购置税的优惠活动.已知该店共有5位销售员，基本工资均为5000元，销售员每销售一辆新能源车和燃油车的提成分别为客户实际支付车价的1%和0.5%.当月该店共销售了原始价格平均为20万元的28辆车.假设以（1）中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率，求4S店1月份发放给所有销售员工资总和的期望.（工资基本工资提成，客户实际支付车价客户实付总额应付购置税）
附：一组数据，，…的线性回归直线方程的系数公式为：，；参考数据：.
18. 已知定点，圆：，过点的直线交圆于、两点，过点作直线交于点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）（i）曲线上有两个点、，直线和的斜率之积为1，问是否存在实数，使得.
（ii）在（i）的条件下，设的斜率为，已知，求的最小值.
19. 已知数列与数列满足下列条件：①，；②，；③，，记数列的前项积为.
（1）若，，，，求；
（2）是否存在，，，，使得，，，成等比数列？若存在，请写出一组，，，；若不存在，请说明理由；
（3）若，求的最大值.月份代码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
渗透率
29
32
34
32
33
34
36
36
36
38