北师大版数学七年级下册 5.3 第1课时 等腰三角形的性质课件

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3 简单的轴对称图形第五章 生活中的轴对称第1课时 等腰三角形的性质 观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形，能找出对称轴吗？复习巩固情境导入观察下列图片，它们有什么共同的特征？等腰三角形等腰三角形如图，在△ABC 中，AB = AC，则三角形为等腰三角形.它的各个组成部分名称分别是什么？(1) 相等的两条边都叫腰；(2) 另一边叫底边；(3) 两腰的夹角∠A 叫顶角；(4) 腰与底边夹角∠B、∠C 叫底角.等腰三角形的性质剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪下蓝色部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形有什么特点？互动探究ABCAB = AC等腰三角形折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？折痕所在的直线是它的对称轴.等腰三角形是轴对称图形.找一找：把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.ACBDAB 与 ACBD 与 CDAD 与 AD∠B 与∠C∠BAD 与∠CAD∠ADB 与∠ADC 猜一猜： 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.(1) 等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C； (3)∠BAD＝∠CAD，AD 为顶角的平分线；(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD 为底边上的高； (5) BD＝CD，AD 为底边上的中线.现象→性质解：在△ABD 和△ACD 中，因为 AB = AC，∠BAD =∠CAD，AD = AD，所以△ABD≌△ACD (SAS).所以 BD = CD，∠ADB =∠ADC = 90˚.所以 AD⊥BC 于点 D.即△ABC 的顶角平分线 AD 也是底边上的中线和高.由折叠可知 AD 平分了顶角，即 AD 是顶角的平分线，你能由此说明它也是底边上的中线和高吗？等腰三角形是轴对称图形.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（也称“三线合一”），它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴.归纳总结等腰三角形的两个底角相等.画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？为什么不一样?1. 等腰三角形的顶角一定是锐角.2. 等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角.3. 钝角三角形不可能是等腰三角形. 4. 等腰三角形的顶角平分线一定垂直于底边.5. 等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.6. 等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.（ X ）（ X ）（ X ）（ X ）（√）明辨是非（√）判断下列说法的正误：你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流.议一议2. 你能尝试用直尺和圆规画一个等腰三角形吗？例1 等腰三角形的一个内角是 50°，则这个三角形的底角的大小是 (　　) A．65° 或 50° B．80° 或 40° C．65° 或 80° D．50° 或 80°典例精析解析：当 50° 的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当 50° 的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是 65°.A解：因为 AB = AC，BD = BC = AD，所以 ∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD. 设∠A = x°，即∠A =∠ABD = x°.因为∠A +∠ABD +∠ADB = 180°，∠BDC +∠ADB = 180°，所以∠BDC = 2x°.因为∠ABC =∠C =∠BDC = 2x°，所以 x + 2x + 2x = 180.（三角形内角和等于180°）解得 x = 36. 所以∠A = 36°，∠C = 72°.例2 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上， 且 BD = BC = AD，求∠A 和∠C 的度数. 如图，在△ABC 中，AB = AD = DC，∠BAD = 26°，求∠B 和∠C 的度数.解：因为 AB = AD = DC，所以∠B =∠ADB，∠C =∠DAC.设∠C = x°，则∠DAC = x°， ∠ADB +∠ADC = 180°，∠C +∠DAC+∠ADC = 180°. 所以∠B =∠ADB =∠C +∠DAC = 2x°.在△ABC 中， 根据三角形的内角和定理，得 2x + x + 26 + x = 180，解得 x = 38.5.所以 ∠C = x° = 38.5°， ∠B = 2x° = 77°.针对训练：例3 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB ＝ AC.(1) 如图①，若 AD ＝ AE，试说明：BD ＝ CE；(2) 如图②，若 BD ＝ CE，F 为 DE 的中点，试说明：AF⊥BC.典例精析解：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G.因为 AB＝AC，AD＝AE，所以 BG＝CG，DG＝EG.所以 BG－DG＝CG－EG，即 BD＝CE.(2) 因为 BD＝CE，F 为 DE 的中点，所以 BD＋DF＝CE＋EF，即 BF＝CF.因为 AB＝AC，所以 AF⊥BC.G方法总结：在等腰三角形的有关计算或说理问题中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线.1. 填空：（1）等腰直角三角形的每一个锐角的度数是 .（2）如果等腰三角形的底角等于 40°，那么它的顶 角的度数是______.（3）如果等腰三角形有一个内角等于 80°，那么这 个三角形的最小内角等于____________ .20° 或 50°100°45°(4) △ABC 中，AB = AC，∠A = 36°，则∠B = ____°， ∠C = ____°.(5) △ABC 中，AB = AC，∠B = 36°，则∠A = ____°， ∠C = ____°.727210836方法总结：等腰三角形的两底角相等.2. 如图是由大小相等的等边三角形组成的图案，请找 出它的对称轴.解：因为 OA = AB，所以∠ABO =∠O = 15°. 所以∠BAO =150°.所以∠BAC =180°－∠ABO = 30°.因为 AB = BC，所以∠ACB =∠BAC = 30°.所以∠CBO = 135°. 所以∠CBD =180°－∠CBO = 45°.因为BC=CD，所以∠D =∠CBD = 45°. 所以∠BCD = 90°.所以∠1 = 180°－∠BCD－∠ACB = 60°.3. 如图，∠O = 15°，且 OA = AB = BC = CD. 求∠1.解：因为 AB = AC，所以∠B =∠C.所以∠B =∠C = (180°－120°)÷2 = 30°.又因为 BD = AD，所以∠BAD =∠B = 30°.同理，∠CAE =∠C = 30°.所以∠DAE =∠BAC－∠BAD－∠CAE = 120°－30°－30° = 60°.4. 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，点 D， E 是底边上两点，且 BD=AD，CE=AE. 求∠DAE 的度数.5. A、B 是 4×4 网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以 A、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点 C 的位置．分别以 A、B、C 为顶角顶点来分类讨论！总共 8 个.C1C2C3C4C5C6C7C8拓展提升：这样就不会漏啦！等腰三角形的性质等腰三角形的两个底角相等等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高重合（三线合一）