2023-2024学年福建省福州市仓山区时代华威中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市仓山区时代华威中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）(含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列运算中，正确的是( )
A. 3a2⋅a=3a2B. (a3)3=a4C. a3+a3=a6D. a6÷a2=a3
2.下列式子中是分式的是( )
A. 75B. 3a−12C. a+b2a−bD. x6
3.黄金是自然界中延展性最好的金属，最薄的金箔厚度为0.000000092，数据用科学记数法表示为( )
A. 9.2×10−9B. 9.2×10−8C. 9.2×10−7D. 9.2×10−6
4.计算：−26×(12)6，结果正确的是( )
A. 0.5B. −1C. 6D. −12
5.要使分式21−x有意义，则x应满足( )
A. x>1B. x<1C. x≠1D. x=1
6.一个长方形的面积为4a2−2ab2，长为2a，则长方形的宽为( )
A. 2a−bB. a−2b2C. 2a−2b2D. 2a−b2
7.若2a=3，2b=4，则2a+b等于( )
A. 7B. 12C. 48D. 32
8.下列m的值能使二次根式 m−5有意义的是( )
A. 5B. 4C. 0D. −2
9.如图，某小区规划在边长为xm的正方形场地上，修建两条宽为2m的甬道，其余部分种草，以下各选项所列式子是计算种草所占面积为m2．( )
A. 4x+4
B. x2−(x−2)2
C. (x−2)2
D. x2−4x−4
10.下列分式变形从左到右一定成立的是( )
A. a2b2=abB. ab=acbcC. −a−b=−abD. acbc=ab
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若分式xx+3的值为0，则x= ______．
12.计算 3× 13的结果是______．
13.已知圆的半径 3cm，则这个圆的面积是______cm2．
14.若(x−3)(x+2)=x2+mx+n，则mn= ______．
15.闽江奇秀清澈又雄浑宽阔，江上自然景色和人文名胜交相辉映，旅游资源丰富.坐游船游览美丽的闽江便是其旅游项目之一.已知游船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？若设江水流速为vkm/h，则依题意可列方程______．
16.代数式x2−4x+6的最小值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解方程：xx+1=2x3x+3+1．
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算：
(1)(−2024)0+(12)−2+(−2)2；
(2)计算(x−2)2+x(1−x)．
19.(本小题8分)
先化简，再求值：(3+nm)÷9m2−n2m，其中3m−n=3．
20.(本小题8分)
已知如图，化简代数式：|a|+ (b−2)2+ (a−b)2．
21.(本小题8分)
甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．
22.(本小题10分)
已知xy=2，x−y=1．
(1)求2x2y−2xy2的值；
(2)求(x+y)2的值．
23.(本小题10分)
如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米(a>1)的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a−1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了300kg．
(1)①“丰收1号”单位面积产量为______kg/m2，“丰收2号”单位面积产量为______kg/m2(以上结果均用含a的式子表示)；
②通过计算可知，______(填“1号”或“2号”)小麦单位面积产量高；
(2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多40(a−1)2kg/m2，求a的值；
(3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为n平方米(n为整数)，“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当a<8且a为整数时，符合条件的n值为______(直接写出结果)．
24.(本小题12分)
已知：如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,12)，点B在x轴上，且∠BAO=30°，点D是线段OA上的一点，以BD为边向下作等边△BDE．

(1)如图2，当OD=OB时，连接OE，求证：OE平分∠BED；
(2)如图3，当点E落在y轴上时，求出点E的坐标；
(3)点D从点A向点O滑动的过程中，点E也会随之滑动，利用图1探究点E的运动轨迹，请在图1画出点E的运动轨迹，并证明．
25.(本小题14分)
问题提出；
(1)如图1，长方形ABCD，AB=4，BC=6，点E为CD的中点，点P为BC上的动点，CP= ______时，△APE的周长最小；
(2)如图2，长方形ABCD，AB=4，BC=8，点E为CD的中点，点P、点Q为BC上的动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，请确定点P的位置；(即求BP的长)
问题解决；
(3)如图3，某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部(不包括边界)点P处修一个凉亭，设计要求PA长为10米，同时点M，N分别是水域AB，AC边上的动点，连接P、M、N的水上浮桥周长最小时，四边形AMPN的面积最大，请你帮忙算算此时四边形AMPN面积的最大值是多少？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、3a2⋅a=3a3，故该选项正确，符合题意；
B、(a3)3=a9，故该选项不正确，不符合题意；
C、a3+a3=2a3，故该选项不正确，不符合题意；
D、a6÷a2=a4，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
根据合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方法则逐项判断即可．
本题考查合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：75，3a−12，x6是整式；
a+b2a−b是分式．
故选：C．
根据分式的定义解答即可．
本题考查的是分式，熟知分母中含有未知数的式子叫分式是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：0.000000092=9.2×10−8．
故选：B．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4.【答案】B
【解析】解：−26×(12)6
=−(2×12)6
=−16
=−1，
故选：B．
根据−26×(12)6=−(2×12)6进行计算求解即可．
本题主要考查了积的乘方的逆运算，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
5.【答案】C
【解析】解：∵分式21−x有意义，
∴1−x≠0，
解得x≠1．
故选：C．
根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵一个长方形的面积为4a2−2ab2，长为2a，
∴长方形的宽为：(4a2−2ab2)÷2a=2a−b2．
故选：D．
直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：2a+b=2a×2b=3×4=12．
故选：B．
根据同底数幂的乘法法则进行解题即可．
本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：由题意得 m−5≥0，
解得m≥5，
∴四个选项中符合条件的只有A选项中的5．
故选：A．
根据二次根式有意义的条件得出m−5≥0，求出结果即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，正确理解二次根式有意义的条件是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由题意得，草地面积可以看作是一个边长为(x−2)m的正方形面积，
∴草地的面积为(x−2)2m2，
故选：C．
用正方形场地的面积减去正方形场地除去甬道部分的面积即可．
本题主要考查了列代数式，利用割补法把草地的面积看作是一个边长为(x−2)m的正方形面积是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：A、a2b2不一定等于ab，选项错误；
B、当c≠0时，ab=acbc，选项错误；
C、−a−b=ab，选项错误；
D、acbc=ab，选项正确；
故选：D．
根据分式的基本性质，逐一进行判断即可．
此题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
11.【答案】0
【解析】解：∵分式xx+3的值为0，
∴x=0x+3≠0，
∴x=0，
故答案为：0．
利用分式值为零的条件进行计算即可．
本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键．
12.【答案】1
【解析】解： 3× 13= 3×13=1；
故答案为：1．
根据二次根式的乘法法则，进行计算即可．
此题考查的是二次根式的乘法，掌握其运算法则是解决此题的关键．
13.【答案】3π
【解析】解：由题意，得：这个圆的面积是( 3)2π=3πcm2；
故答案为：3π．
直接利用圆的面积公式求解即可，
本题考查了圆的面积，掌握二次根式的性质，是解题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：∵(x−3)(x+2)=x2−x−6=x2+mx+n，
∴m=−1，n=−6．
∴mn=(−1)×(−6)=6．
故答案为：6．
已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，根据多项式相等的条件求出m与n的值即可．
本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
15.【答案】9030+v=6030−v
【解析】解：设江水流速为vkm/h，
由题意得，9030+v=6030−v，
故答案为：9030+v=6030−v．
设江水流速为vkm/h，则游船顺流航行的速度为(30+v)km/h，逆流航行的速度为(30−v)km/h，再根据时间=路程÷速度列出方程即可．
本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，能够根据题意列出方程是解题的关键．
16.【答案】2
【解析】解：x2−4x+6
=x2−4x+4+2
=(x−2)2+2，
∵(x−2)2≥0，
∴(x−2)2+2≥2，
∴当x=2时，原式有最小值，最小值为2．
故答案为：2．
对代数式进行局部配方，根据平方的非负性求得代数式的最小值．
本题考查了配方法的应用，对代数式进行局部配方是解题的关键．
17.【答案】解：方程两边都乘3(x+1)，
得：3x=2x+3(x+1)，
化简得：3x=5x+3
解得：x=−32，
经检验x=−32是方程的解，
∴原方程的解为x=−32．
【解析】本题的最简公分母是3(x+1)，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．
18.【答案】解：(1)原式=1+4+4=9；
(2)原式=x2−4x+4+x−x2=4−3x．
【解析】(1)先进行零指数幂，负整数指数幂和乘方的运算，再进行加法计算即可；
(2)根据整式的混合运算法则，进行计算即可．
本题考查完全平方公式，以及实数和整式的混合运算，关键是完全平方公式的熟练应用．
19.【答案】解；(3+nm)÷9m2−n2m
=3m+nm÷(3m+n)(3m−n)m
=3m+nm⋅m(3m+n)(3m−n)
=13m−n，
∵3m−n=3，
∴原式=13．
【解析】先去小括号得到3m+nm，再把除数的分子分解因式，进而把除法变成乘法，然后约分化简，最后利用整体代入法代值计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式除法书关键．
20.【答案】解：由题意得，b∴b−2<0，a−b>0，
∴|a|+ (b−2)2+ (a−b)2
=−a+(2−b)+(a−b)
=−a+2−b+a−b
=2−2b．
【解析】根据数轴上点的位置得到b0，据此化简二次根式和绝对值即可得到答案．
本题主要考查了实数与数轴，化简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键．
21.【答案】解：设乙每小时做x个零件，甲每小时做(x+6)个零件，
根据题意得：90x+6=60x，
解得：x=12，
经检验，x=12是原方程的解，且符合题意，
答：乙每小时做12个零件．
【解析】设乙每小时做x个零件，甲每小时做(x+6)个零件，根据时间=总工作量÷工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵xy=2，x−y=1，
∴2x2y−2xy2=2xy(x−y)=2×2×1=4；
(2)∵xy=2，x−y=1，
∴(x+y)2=(x−y)2+4xy=12+4×2=9．
【解析】(1)将多项式进行因式分解后，利用整体代入法，求值即可；
(2)利用完全平方公式变形求值即可．
本题考查因式分解和完全平方公式，掌握因式分解和完全平方公式，是解题的关键．
23.【答案】300a2−1 300(a−1)2 2号 110，165，220
【解析】解：(1)①由题意，“丰收1号”小麦的试验田的面积为(a2−1)m2，
∴“丰收1号”单位面积产量为300a2−1kg；
由题意，“丰收2号”单位面积为(a−1)2m2，
∴“丰收2号”单位面积产量为300(a−1)2kg．
故答案为：300a2−1；300(a−1)2．
②∵a>1，
∴a2−1=(a+1)(a−1)>0，(a−1)2>0，
∴a+1>a−1，
∴a2−1>(a−1)2，
∴300a2−1<300(a−1)2，
即“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
故答案为：2号．
(2)根据题意，得：
300(a−1)2−300a2−1=40(a−1)2，
解得：a=14，
经检验：a=14是原方程的解且符合题意．
∴a的值是14．
(3)根据题意，得：
300na2−1=300(n−55)(a−1)2，
整理，可得：a=2n−5555，
∴n=55(a+1)2，
当a<8时，2n−5555<8，
解得：n<4952，
又∵n为正整数，且满足n=55(a+1)2，
当a=3时，n=55×42=110，
当a=5时，n=55×62=165，
当a=7时，n=55×82=220，
∴符合条件的n的值为110，165，220．
故答案为：110，165，220．
(1)①用“总产量÷面积”列式求得单位面积的产量；
②根据a>1，并利用不等式的性质作出比较；
(2)根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得a的值；
(3)根据题意列出方程，并结合a<8，列不等式求解．
本题考查分式方程的应用，不等式的应用，理解分式的基本性质，不等式的基本性质，根据题意列出方程是解题关键．
24.【答案】(1)证明：∵△BDE为等边三角形，
∴ED=EB，
在△OED和△OEB中，
OD=OBOE=OEED=EB，
∴△OED≌△OEB(SSS)，
∴∠OED=∠OEB，
则OE平分∠BED；
(2)解：∵△BDE为等边三角形，
∴∠EDB=60°，
又∵OB⊥DE，
∴OD=OE，∠DBO=30°，
∴∠DBA=30°，
设OD=x，则OE=x，BD=DE=2x，
∵∠BAO=30°，
∴AD=BD=2x，
则AO=AD+DO=3x=12，
解得x=4，
故E(0,−4)；
(3)解：在x轴上取点C使得CB=AB，连接CE，如图，

∵∠ABD+∠DBO=∠DBO+∠CBE=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ADB和△CEB中，
BA=BC∠ABD=∠CBEDB=EB，
∴△ADB≌△CEB(SAS)，
∴∠BCE=∠BAD=30°，
故点E的运动轨迹为与x轴夹角为30°的直线CE上滑动．
【解析】(1)根据等边三角形的性质得边相等，利用公共边即可证明三角形全等，进一步有角度相等，则有角平分线；
(2)根据等边三角形性质得∠EDB=60°，利用直角坐标系的垂直得OD=OE，∠DBO=30°，则有AD=BD，设OD=x，即可利用点A坐标求得点E的坐标；
(3)在x轴上取点C使得CB=AB，连接CE，则可证明△ADB≌△CEB，得对应角度相等即可求得答案．
本题主要考查坐标与图形，等边三角形性质、含30度直角三角形性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
25.【答案】2
【解析】解：(1)如图1所示，延长AB到M，使得AB=BM，连接PM，
由题意得，∠ABC=∠BAD=∠PBM=90°，AD//BC，AD=BC=6，
∵AB=MB，BP=BP，
∴△ABP≌△MBP(SAS)，
∴AP=MP，
∵点E是CD的中点，
∴AE的长是固定的，DE=CE，
∵△APE的周长=AE+PE+PA=AE+PM+PE，
∴当P、E、M三点共线时，PM+PE最小，即此时△APE的周长最小，
如图所示，延长PE交AD延长线于F，取FM中点H，连接BH，
∵AD/​/BC，
∴∠F=∠EPC，∠FDE=∠C，
∴△ECP≌△EFD(AAS)，
∴PC=DF，
∵B、H分别为AB，MF的中点，
∴BH是△AMF的中位线，
∴BH//AF,BH=12AF，
又∵BP//AF，
∴由平行线的唯一性可知BP，BH在同一直线上，即点P与点H重合，
∴AF=2BP，
∴6+DF=2BP，即6+PC=2(6−PC)，
∴PC=2，
∴CP=2时，△APE的周长最小，
故答案为：2；
(2)如图所示，把点A向右平移2个单位到M，连接MQ，延长DC到F，使得CF=CE，连接QF，
∵AM=PQ=2，AM/​/PQ，
∴线段MQ相当于线段AP沿着射线AD的方向平移2个单位得到的，
∴MQ=AP，
同理可证明PQ=EQ，
∴四边形APQE的周长=AP+PQ+AE+QE=AE+PQ+MQ+FQ，
∴当M、Q、F三点共线时，MQ+FQ最小，即此时四边形APQE的周长，
如图所示，取MQ中点G，过点G作GH⊥BC于H，过点M作MN⊥BC于N，
∵AD/​/BC，AB⊥BC，MN⊥BC，
∴MN=AB=4(平行线间间距相等)，
同理BN=AM=2，
同理可证明GH是△MNQ的中位线，点H为QN的中点，
∴GH=12MN=2，
∵E的CD的中点，
∴CF=CE=CD=12CD=12AB=2，
∴GH=FC，
又∵∠GHQ=∠FCQ=90°，∠GQH=∠FQC，
∴△GQH≌△FQC(AAS)，
∴MH=QH=CQ，
∴3CQ+BN=BC=8，
∴3CQ+2=8，
∴CQ=2，
∴BP=6−2−2=2；
(3)如图，作点P关于AB的对称点G，作点P关于AC的对称点H，连接GM，HN．
由轴对称的性质可得PM=GM，PN=HN，
∴△PMN的周长=PM+PN+MMN=GM+MN+HN，
∴当G、M、N、H四点共线时GM+MN+HN最小，即此时△PMN的周长最小，
由轴对称的性质可得AP=AG=AH=10米，∠GAM=∠PAM，∠HAN=∠PAN，S△APM=S△AGM，S△APN=S△ANH
∵△BAC是等边三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠PAM+∠PAN=60°，
∴∠GAH=120°，
∴∠AGH=∠AHG=30°，
如图所示，过点A作AO⊥GH于O，
∴AO=12AG=5米，HO=GO= 3AO=5 3米
∴GH=10 3米，
∴S△AGH=12GH⋅AO=25 3平方米，
∵S四边形AMPN=S△APM+S△APN=S△AGM+S△ANH=S△AGH−S△AMN，
∴当S△AMN的值最小时，S四边形AMPN的值最大；
如图所示，将△AGM绕点A逆时针旋转120度得到△AHE，过点E作EF⊥GH于H，连接EN，
由旋转的性质可得∠HAE=∠GAM，EH=GM，∠AHE=∠AGM=30°，AM=AE，
∵∠MAN=60°，∠GAH=120°，
∴∠GAM+∠HAN=60°，
∴∠HAE+∠HAN=60°，即∠EAN=60°，
∴∠EAN=∠MAN=60°，
又∵AN=AN，
∴△AMN≌△AEN(SAS)，
∴MN=EN，
设GM=EH=2x，MN=EN=t，HN=y，GH=a，
∵∠AHF=∠AHE=30°，
∴∠HEF=30°，
∴HF=12EH=x,EF= 3EF= 3x，
∴NF=NH−FH=y−x，
在Rt△EFN中，由勾股定理得EN2=EF2+NF2，
∴t2=( 3x)2+(y−x)2=4x2−2xy+y2，
又∵GM+MN+NH=GH，
∴t=a−2x−y，
∴4x2−2xy+y2=(a−2x−y)2，
∴4x2−2xy+y2=a2−4ax−2ay+4x2+4xy+y2，
∴a2+6xy+−4ax−2ay=0，
∴y=a2−4ax2a−6x，
∴t=a−2x−y=a−2x−a2−4ax2a−6x，
∴2a2−6ax−4ax+12x2−a2+4ax=2at−6tx，
∴12x2−6ax+6tx+a2−2at=0，
∴12x2+(6t−6a)x+a2−2at=0，
∴x2+12(t−a)x=−a2−2at12，
∴x2+12(t−a)x+116(t−a)2=−a2−2at12+116(t−a)2
∴[x+14(t−a)]2=−a2−2at12+116(t−a)2，
∵[x+14(t−a)]2≥0，
∴−a2−2at12+116(t−a)2≥0，
∴4(2at−a2)+3(t−a)2≥0，
∴8at−4a2+3t2−6at+3a2=0，
∴3t2+2at−a2≥0
∴(3t−a)(t+a)≥0，
∵两个数的乘法计算中，同号为正，异号为负，且t+a>0，
∴3t−a≥0，
∴t≥13a，
∴MN≥13GH=10 33米，
∴S△AMN的最小值为12×10 33×5=25 33平方米，
∴S四边形AMPN的最大值为25 3−25 33=50 33平方米．
(1)如图所示，延长AB到M，使得AB=BM，连接PM，先证明△ABP≌△MBP(SAS)，得到AP=MP，当P、E、M三点共线时，PM+PE最小，即此时△APE的周长最小；证明△ECP≌△EFD(AAS)，推导出BH//AF,BH=12AF，进而得到AF=2BP，由此可得6+PC=2(6−PC)，故当CP=2时，△APE的周长最小；
(2)如图所示，把点A向右平移2个单位到M，连接MQ，延长DC到F，使得CF=CE，连接QF，由平移的性质可得MQ=AP，同理可证明PQ=EQ，故当M、Q、F三点共线时，四边形APQE的周长，如图所示，取MQ中点G，过点G作GH⊥BC于H，过点M作MN⊥BC于N，则MN=AB=4(平行线间间距相等)，同理BN=AM=2，推导出GH=12MN=2，证明△GQH≌△FQC(AAS)，得到MH=QH=CQ，进而得解；
(3)如图，作点P关于AB的对称点G，作点P关于AC的对称点H，连接GM，HN.由轴对称的性质可得PM=GM，PN=HN，故当G、M、N、H四点共线时GM+MN+HN最小，即此时△PMN的周长最小，由轴对称的性质推导出∠AGH=∠AHG=30°，进而得到GH，S△AGH=12GH⋅AO=25 3平方米；证明△AMN≌△AEN(SAS)，得到MN=EN，HF=12EH=x,EF= 3EF= 3x，则NF=NH−FH=y−x，由勾股定理得EN2=EF2+NF2，得t2，推出y=a2−4ax2a−6x，得到t=a−2x−a2−4ax2a−6x，最后推出t≥13a，即MN≥13GH=10 33米，据此可得答案．
本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，因式分解的应用等等，通过作出辅助线把求图形的周长的最值问题转换成求线段和的最值问题是解题的关键．