陕西省咸阳市实验中学2022-2023学年高一下学期第二次月考试题数学试卷（Word版附解析）

这是一份陕西省咸阳市实验中学2022-2023学年高一下学期第二次月考试题数学试卷（Word版附解析），共25页。
1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 某市场监管局对所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了抽检，则（ ）
A. 该市场监管局的调查方法是普查
B. 样本的个体是每种冷冻饮品的质量
C. 样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品
D. 样本容量是该超市的20种冷冻饮品数
2. 已知复数，则（ ）
A. B. 8iC. D.
3. 已知复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 高一某班级有男生35人，女生15人，用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样本，抽出的男生平均体重为70kg，抽出的女生平均体重为50kg，估计该班的平均体重是（ ）
A. 54kgB. 60kgC. 64kgD. 65kg
5. 某科研所对实验室培育得到的A，B两种植株种子进行种植实验，记录了5次实验产量（千克/亩）的统计数据如下：
则平均产量较高与产量较稳定的分别是（ ）
A. A种子；A种子B. B种子；B种子
C. A种子；B种子D. B种子；A种子
6. 在四面体中，为正三角形，与平面不垂直，则下列说法正确是（ ）
A. 与可能垂直
B. 在平面内的射影可能是
C. 与不可能垂直
D 平面与平面不可能垂直
7. 已知中，是BC的中点，且，，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8. 在正方体中，平面经过点B、D，平面经过点A、，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面所成的锐二面角大小为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A. 若a∥b，b∥α，则a∥αB. 若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β
C. 若a⊥b，a⊥α，b∥β，则α⊥βD. 若a⊥α，b∥α，则a⊥b
10. 在日常生活中，我们会看到如图所示情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，下列结论中正确的是（ ）

A. 越小越省力，越大越费力B. 的范围为
C 当时，D. 当时，
11. 已知是等腰直角三角形， ， 用斜二测画法画出它的直观图 ， 则的长可能是（ ）
A. B. C. D.
12. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（ ）

A.
B.
C. 存在最大值
D. 的最大值为
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，且，则实数的值为_______________．
14. 福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______.
15. 在中，边上的高为2，则满足条件的的个数为__________.
16. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为，酒杯的容积，则其内壁表面积为_______________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知，其中是夹角为的单位向量．
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值．
18. 某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，该景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图：

（1）求抽取的样本中，老年、中青年、少年的人数各是多少；
（2）估计当天游客满意度分值的分位数．
19. 已知复数是方程的一个解.
（1）求、值；
（2）若复数满足，求的最小值.
20. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若，角C的平分线交AB于点D，点E满足，求．
21. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是与的交点，，平面是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
22. 如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，四边形为正方形，平面平面，为的中点，，垂足为．

（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的正切值；
（3）求三棱锥的体积．
咸阳市实验中学2022~2023学年度第二学期第二次月考
高一数学试题
注意事项：
1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 某市场监管局对所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了抽检，则（ ）
A. 该市场监管局的调查方法是普查
B. 样本的个体是每种冷冻饮品的质量
C. 样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品
D. 样本容量是该超市的20种冷冻饮品数
【答案】B
【解析】
【分析】根据抽样方法、样本、总体、个体的概念可得答案.
【详解】该市场监管局的调查方法是随机抽样，A错误；
样本的个体是每种冷冻饮品的质量，B正确；
样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品的质量，C错误；
样本容量是20，D错误，
故选：B
2. 已知复数，则（ ）
A. B. 8iC. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的运算，再结合共轭复数的意义求解作答.
【详解】因，有,则，
所以.
故选：A
3. 已知复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意列式解出m，再利用复数运算求得，结合复数的几何意义即可得出答案.
【详解】若复数为纯虚数，则，解得，
则，
故复数在复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：A.
4. 高一某班级有男生35人，女生15人，用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样本，抽出的男生平均体重为70kg，抽出的女生平均体重为50kg，估计该班的平均体重是（ ）
A. 54kgB. 60kgC. 64kgD. 65kg
【答案】C
【解析】
【详解】根据分层抽样的定义建立比例关系，再求平均数即可．
【解答】根据分层抽样的定义可得抽取男生7人，女生3人，
男生平均体重为，女生平均体重为，
该班的平均体重是，
故选：C．
5. 某科研所对实验室培育得到的A，B两种植株种子进行种植实验，记录了5次实验产量（千克/亩）的统计数据如下：
则平均产量较高与产量较稳定的分别是（ ）
A. A种子；A种子B. B种子；B种子
C A种子；B种子D. B种子；A种子
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算平均值和方差，比较得到答案.
【详解】，
；
，
；
，，故的平均产量高，的产量比较稳定.
故选：C
6. 在四面体中，为正三角形，与平面不垂直，则下列说法正确的是（ ）
A. 与可能垂直
B. 在平面内的射影可能是
C. 与不可能垂直
D. 平面与平面不可能垂直
【答案】A
【解析】
【分析】A选项只需满足即可，选项与题干矛盾，C选项与A选项矛盾，D选项只需满足平面即可.
【详解】如图所示：取的中点，连接，

假设，因为为等边三角形，所以，
又因为，所以平面，所以
又因为是中点，所以，只需满足，即可做到，故A正确C错误；
对于B：若在平面内的射影为，则有平面，与题干矛盾，故B错误；
对于D：过点可以做出一条直线，使得该直线垂直与平面，点只需在该直线上，
即满足平面即可达到要求，故D错误.
故选：A
7. 已知中，是BC的中点，且，，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据已知条件可知，从而推得为等边三角形，最后结合投影向量的定义即可求解.
【详解】因为，则，
所以，则，因为是BC的中点，
所以，
又因为，所以为等边三角形，
故点作交于点，则为中点，
所以向量在向量上的投影向量为．
故选：A.
8. 在正方体中，平面经过点B、D，平面经过点A、，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面所成的锐二面角大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设平面与面所成的二面角为，二面角为，分和两种情况讨论，证明平面经过点B、D且截正方体所得截面面积最大时，平面与面重合，从而可得出答案.
【详解】平面经过点B、D且截正方体所得截面面积最大时，平面与面重合，
证明：设平面与面所成的二面角为，二面角为，
当时，记平面截正方体所得截面为面，，
则，
令，
因为，所以，
当时，显然平面截正方体所得截面面积最大时，
截面为面，
当时，平面截正方体所得截面为，
所以平面截正方体所得截面面积最大时截面面，
同理平面过时，截正方体所得截面面积最大时截面为面，
连接，面与面所成锐二面角为，
因为面面，
所以的所成角大小为二面角大小，
因为，所以面与面所成锐二面角大小为.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于说明平面经过点B、D且截正方体所得截面面积最大时，平面与面重合，考查了分类讨论思想和极限思想.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A. 若a∥b，b∥α，则a∥αB. 若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β
C. 若a⊥b，a⊥α，b∥β，则α⊥βD. 若a⊥α，b∥α，则a⊥b
【答案】ABC
【解析】
【分析】A.利用直线与平面的位置关系判断；B. 利用平面与平面的位置关系判断；C. 利用平面与平面的位置关系判断；D.利用线面垂直的性质定理判断.
【详解】A. 若a∥b，b∥α，则a∥α或，故错误；
B. 若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β或α与β相交，故错误；
C. 若a⊥b，a⊥α，b∥β，则α与β平行或相交，故错误；
D.若a⊥α，b∥α，则a⊥b，故正确；
故选：ABC
10. 在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，下列结论中正确的是（ ）

A. 越小越省力，越大越费力B. 的范围为
C. 当时，D. 当时，
【答案】AC
【解析】
【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解即可得.
【详解】对A：根据题意，得，
所以，
解得，因为时，单调递减，
所以越小越省力，越大越费力，故A正确；
对B：由题意知的取值范围是，故B错误；
对C：因为，所以当时，，
所以，故C正确；
对D：因为，所以当时，，
所以，故D错误.
故选：AC.
11. 已知是等腰直角三角形， ， 用斜二测画法画出它的直观图 ， 则的长可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】通过斜二测画法的定义可知BC为轴时，为最大值，以BC为轴，则此时为最小值，故的长度范围是，C选项可以
以AB为轴进行求解出，从而求出正确结果.
【详解】以BC为轴，画出直观图，如图2，此时，
A正确，
以BC为轴，则此时，
则的长度范围是，
若以AB或AC为x轴，画出直观图，如图1，以AB为轴，则，此时过点作⊥于点D，则，
则，，
由勾股定理得：，C正确；
故选：AC
12. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（ ）

A.
B.
C. 存在最大值
D. 的最大值为
【答案】ABCD
【解析】
【分析】对于A、B，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于C、D，以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.
【详解】对A：因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以，
则，故A正确；
对B：，
则
，故B正确；
对C、D：如图，以点为原点建立平面直角坐标系，
则，
因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以点的轨迹方程为，且在轴的下半部分，
设，
则，
所以，
因为，所以，
所以当时，取得最大值，故C正确；
因为，
所以，
即，
所以，
所以，
因为，所以当时，取得最大值，故D正确.

故选：ABCD.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，且，则实数的值为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】借助向量垂直，则数量积为计算即可得.
【详解】，由，可得，
即有，解得.
故答案为：.
14. 福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______.
【答案】05
【解析】
【分析】根据给定的随机数表的读取规则，从第一行第6、7列开始，两个数字一组，从左向右读取，重复的或超出编号范围的跳过，即可.
【详解】根据随机数表，排除超过33及重复的编号，第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号05，故选出来的第3个红色球的编号为05.
【点睛】本题主要考查了简单随机抽样中的随机数表法，属于容易题.
15. 在中，边上的高为2，则满足条件的的个数为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据正弦定理计算出三角形外接圆半径，求得A到的距离的最大值，和边上的高为2比较，即可确定答案.
【详解】因为中，，
所以的外接圆半径为,
即A位于以2为半径的圆弧上，
如图，当为正三角形时，此时顶点A到的距离的最大值为,
如图当A位于处时，此时为外接圆直径，则,
则，满足边上的高为2，
故满足条件的的个数为2个，
故答案为：2
【点睛】方法点睛：解答本题判断符合条件的三角形个数问题，采用作图分析即数形结合，即可判断得出结论.
16. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为，酒杯的容积，则其内壁表面积为_______________．

【答案】
【解析】
【分析】先计算出圆柱的高，内壁的表面积等于圆柱的侧面积加半球的表面积.
【详解】设圆柱的高为，内壁的表面积为，由题意可知：，解得：.
内壁的表面积等于圆柱的侧面积加半球的表面积，即.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知，其中是夹角为的单位向量．
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入向量模的数量积公式，即可求解；
（2）代入向量夹角的数量积公式，即可求解.
【小问1详解】
是夹角为的单位向量，
．
【小问2详解】
是夹角为的单位向量，
，
，
．
18. 某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，该景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图：

（1）求抽取的样本中，老年、中青年、少年的人数各是多少；
（2）估计当天游客满意度分值的分位数．
【答案】（1）50人，40人，10人
（2）82.5
【解析】
【分析】（1）求出老年、中青年、少年的人数比例，从而求抽取样本中老年、中青年、少年的人数；
（2）利用百分位数的定义进行求解即可得.
【小问1详解】
老年625人，中青年500人，少年125人，
故老年、中青年、少年的人数比例为，
故抽取100人，样本中老年人数为人，
中青年人数为人，少年人数为人；
【小问2详解】
设当天游客满意度分值的分位数为，
因为，
，
所以位于区间内，
则，解得：，
所以估计当天游客满意度分值的分位数为.
19. 已知复数是方程的一个解.
（1）求、的值；
（2）若复数满足，求的最小值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）将代入方程，利用复数的四则运算结合复数相等可得出关于、的方程，结合可求得、的值；
（2）设，根据复数的模长公式结合已知条件可得出，再利用复数的模长公式结合二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】（1）依题意得，，即，
所以，解得，；
（2）由（1）可得，设，
则，，
因为，所以，整理得.
，
故当时，取得最小值.
20. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若，角C平分线交AB于点D，点E满足，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件和正弦定理边化角即可求得结果；
（2）根据正弦定理和余弦定理结合条件求解即可.
【小问1详解】
由条件和正弦定理得，
所以，
展开后整理得．
因为，所以，所以，
又，所以．
【小问2详解】
如图所示，因为，所以，
又因为CD为的平分线，所以．
因为，所以在中，，
又，所以为等边三角形，所以．
在中，由余弦定理可得，即，
在中，由正弦定理可得，
即，得．
21. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是与的交点，，平面是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）借助线面平行的判定定理即可得；
（2）找出直线与平面所成角，借助正切函数定义计算即可得.
【小问1详解】
连接，
在平行四边形中，
为与交点，为的中点，
又为的中点，，
又平面平面平面；
【小问2详解】
取的中点，连接，
为的中点，，且，
由平面，得平面，
是直线与平面所成的角，
，
在中，，
，从而，
在中，，
直线与平面所成角的正切值为．
22. 如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，四边形为正方形，平面平面，为的中点，，垂足为．

（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的正切值；
（3）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，，可证得平面，得，又，即可证得结论；
（2）设，为的中点，是中点，得，则是异面直线与所成角，即可求解；
（3）可证得平面，则三棱锥的体积：，计算即可．
【小问1详解】
四边形为正方形，，
四边形为平行四边形，，
，，，
，平面，平面，
平面，，
，，平面，平面．
【小问2详解】
四边形为平行四边形，，，，
，，
四边形为正方形，平面平面，平面平面， ，平面，
平面，平面，，
为的中点，，
设，为的中点，是中点，，
是异面直线与所成角，
，
，，
异面直线与所成角的正切值为．
【小问3详解】
平面平面，平面平面，，平面，
平面，，
三棱锥的体积：．
A种子
48
49
50
51
52
B种子
48
48
49
49
51
49 54 43 54 82 17 37 93 23 28 87 35 20 56 43 84 26 34 91 64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
A种子
48
49
50
51
52
B种子
48
48
49
49
51
49 54 43 54 82 17 37 93 23 28 87 35 20 56 43 84 26 34 91 64
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76