湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列四个数中，是负数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的有关计算，分别根据绝对值的性质、互为相反数的定义和乘方的意义，计算出各个选项中式子的结果，然后进行判断即可，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质、互为相反数的定义和乘方的意义．
【详解】、，结果为正，不符合题意；
、，结果为正，不符合题意；
、，结果为正，不符合题意；
、，结果为负，符合题意；
故选：．
2. 已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科学记数法表示31536000正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】将31536000用科学记数法表示为．
故选B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3. 下面运算正确的是（ ）
A. 7a2b-5a2b=2B. x8÷x4=x2C. (a-b)2=a2-b2D. (2x2)3=8x6
【答案】D
【解析】
【分析】根据整式加减法、整式乘法和幂运算的法则，逐个选项进行判断，即可得解．
【详解】A.7a2b-5a2b=2a2b，故该选项错误；
B.x8÷x4=x8-4=x4，故该选项错误；
C.(a-b)2=a2-2ab+b2，故该选项错误；
D.(2x2)3=23(x2)3=8x6，故该选项正确．
故选：D．
【点睛】本题关键是熟练掌握整式加减乘除运算及幂运算的法则，易错点是同底数幂的除法，底数不变，指数相减．
4. 如图所示物体的左视图是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据左视图是从左边得到的图形进行解答即可.
【详解】从左边看，为一个长方形，中间有两条横线，如下图所示：
，
故选B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从左边看到的视图，要注意长方形被横向分成三部分．
5. 已知点与点关于轴对称，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴与互为相反数，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，解题关键是明确关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数这一性质，准确求解．
6. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为( )
A. 10°B. 15°C. 18°D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°﹣30°=15°．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
7. 下列说法错误的是( )
A. 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
B. 矩形的对角线相等
C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D. 对角线相等的菱形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】根据有关的定理和定义找到错误的命题即可得到答案；
【详解】A、菱形的面积等于对角线乘积的一半，故正确，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，正确，不符合题意；
C、对角线平分且相等的平行四边形是矩形，错误，符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】考查了命题与定理的知识，在判断 一个命题正误的时候可以举出反例．
8. 已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积公式即扇形面积公式计算．
【详解】解：圆锥的侧面积是．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，圆锥的侧面积：，熟记圆锥的侧面积公式是解题的关键．
9. 我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子”，得到两个等量关系，即可列出方程组．
【详解】解：设1头牛两银子，1只羊两银子，
由题意可得：，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象初二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
10. 若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质．
【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上，
则图象上的点离对称轴越远则的值越大，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.）
11. 分解因式：______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解．
【详解】解：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12. 为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．6名选手投中篮圈的个数分别为2，3，3，4，3，5，则这组数据的众数是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数进行求解即可．
【详解】解：2，3，3，4，3，5这组数据中，3出现了3次，出现的次数最多，
∴2，3，3，4，3，5这组数据的众数为3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了求一组数据的众数，熟知众数的定义是解题的关键．
13. 已知关于的一元二次方程有一个根是，则另外一个根是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：设的两个实数根为，，其中，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
14. 一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为________．
【答案】10
【解析】
【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设这个多边形边数为，
则，
解得．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
15. 若正比例函数与反比例函数的图象交于，则另一个交点坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是比例函数与反比例函数的交点问题．反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此作答即可．
【详解】解：正比例函数与反比例函数图象均关于原点对称，
两函数的交点关于原点对称，
一个交点的坐标是，
另一个交点的坐标是．
故答案为：．
16. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝120°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为_____．
【答案】30°
【解析】
【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝180°−∠A＝60°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝60°，求出∠DOC＝60°，由直角三角形的性质即可得出结果．
【详解】如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝120°，
∴∠ODC＝180°−∠A＝60°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝60°，
∴∠DOC＝180°−2×60°＝60°，
∴∠P＝90°−∠DOC＝30°；
故填：30°．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23题每题9分，24、25题每题10分，共72分.）
17. 计算：﹣（2019﹣π）0﹣4cs45°+（﹣）﹣2
【答案】8
【解析】
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别代入得出答案．
【详解】解：原式＝2﹣1﹣2+9
＝8．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18. 先化简再求值：4（m+1)2－（2m+5）（2m-5），其中m=－3．
【答案】5
【解析】
【详解】试题分析：先根据完全平方公式、平方差公式去括号，再合并同类项，最后代入求值即可.
原式=
当m=-3时，原式.
考点：整式的化简求值
点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分.
19. 科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇，小明发现古镇恰好在地的正北方向．
（1）求点到的距离．
（2）求的长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查利用锐角三角比解直接三角形：
（1）点到的距离为线段的长度；
（2）利用锐角三角比解直接三角形，分别求得线段，的长度即可．
【小问1详解】
如图所示．
根据题意可知，点到的距离为线段的长度．
在中
．
【小问2详解】
在中
．
根据题意可知．
在中
．
．
20. 某校为组织代表队参加县知识竞赛，校级初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分），A组：75≤x＜80；B组：80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D组：90≤x＜95；E组：95≤x＜100．并绘制出如图两幅不完整的统计图：
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加初赛的选手共有 名，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角度数是 ，E组人数占参赛选手的百分比是 ；
（3）学校准备组成8人代表队参加县级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）40，频数分布直方图见详解；
（2）108°，15%；
（3）
【解析】
【分析】（1）用A组人数除以A组所占百分比得到参加初赛的选手总人数，用总人数乘以B组所占百分比得到B组人数，从而补全频数分布直方图；
（2）用360度乘以C组所占百分比得到C组对应的圆心角度数，用E组人数除以总人数得到E组人数占参赛选手的百分比；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到一男生和一女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【小问1详解】
参加初赛的选手共有：8÷20%=40（人），
B组有：40×25%=10（人）．
频数分布直方图补充如下：
故答案为40；
【小问2详解】
C组对应的圆心角度数是：360°×=108°，
E组人数占参赛选手的百分比是：×100%=15%；
【小问3详解】
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，
∴抽取两人恰好是一男生和一女生的概率为．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率以及频率分布直方图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 在中，是斜边上的高．

（1）证明：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
【小问2详解】
∵
∴，
又
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的2.5倍．
（1）求每套《古今数学思想》的价格；
（2）学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？
【答案】（1）125元
（2）20套
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式和分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系，列出不等式，准确计算．
（1）设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是元，根据5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，列出方程，解方程即可；
（2）设可以购进m套《古今数学思想》，则购进套《什么是数学》，根据用不超过4000元购进这两套书共70套，列出不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：每套《古今数学思想》的价格是125元；
【小问2详解】
解：设可以购进m套《古今数学思想》，则购进套《什么是数学》，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最大值为20．
答：《古今数学思想》最多能买20套．
23. 如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于点C，交⊙O于D．
（1）求证AE平分∠BAC；
（2）若OA＝5，EC＝4，求AD的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥PQ，根据平行线的性质得到∠OEA=∠EAC，根据等腰三角形的性质得到∠OEA=∠OAE，等量代换证明结论；
（2）过点O作OF⊥AC于F，根据勾股定理求出AF，根据垂径定理解答即可．
【小问1详解】
如图1，连接，
由题意知，
∴
∵
∴
∴
∴
∴AE平分∠BAC．
【小问2详解】
如图2，连接交于点
∴，
∵
∴
∴垂直平分
∴
∵
∴四边形是矩形
∴
∴
在中，由勾股定理得
∴AD的长为6．
【点睛】本题考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
24. 定义：若直线：与函数交于、两点，将叫做函数在直线上的弦长，且，其中叫做函数在直线上的截距．
（1）求出在轴上的截距；
（2）若直线过定点，抛物线在该直线上的弦长等于，求直线的解析式；
（3）若二次函数与反比例函数在第一象限交于点，在第三象限交于、两点．
若、两点的横纵坐标均为整数，请直接写出正整数的值；
若，求该二次函数在直线上的截距的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或；．
【解析】
【分析】（）令，解得或，即可求解；
（）联立直线和抛物线的表达式得，即则 ，，由弦长公式即可求解；
（）联立两个函数表达式并整理得两个函数在第三象限交于、两点，则即可求解；
由知，由截距的公式即可求解；
本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义、 一次函数、二次函数和反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
令，
解得：或，
则截距；
【小问2详解】
设直线的表达式为：，
联立直线和抛物线的表达式得：，即，
则，，
则弦长
解得：；
则直线表达式为：；
【小问3详解】
联立两个函数表达式得：，
整理得：，
∵两个函数在第三象限交于、两点，则，
若、两点的横纵坐标均为整数，则
或，则，解得：，
或，则，解得：，
或，则，解得：（舍去），
或，则，解得：（舍去），
综上可知：或；
由知，，，
设二次函数在直线上的截距 ，
∵，
则．
25. 已知直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）求的度数；
（2）如图，连接、、，点在直线上运动，若和相似，求点的坐标；
（3）点为线段上任意一点（不与、重合），经过三点的圆交直线于点，当面积最大时，求出面积的最大值及此时点的坐标．
【答案】（1）；
（2）或或；
（3）面积，的坐标．
【解析】
【分析】（）过作轴于点，则，由得，当时，，当时，，得，则，同理，从而求解；
（）由勾股定理得，，设，则，根据相似三角形的性质分三种情况讨论即可；
（）设经过三点的圆的圆心为，则为直径，当轴时，面积最大，即可求解；
本题考查了相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，一次函数的性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
如图，过作轴于点，则，
由得，当时，，当时，，
∴点，，
∴，
∴，
∵的坐标为，
∴，，
∴，
∴
∴；
【小问2详解】
如图，由（）得，点，，，
由勾股定理得，
，
设，则，
当，
∴，即，
∴，
解得：，，
∴,
∴，
同理，
当，
∴，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
∴，
综上可知：或或；
【小问3详解】
如图，设经过三点的圆的圆心为，由（）得，
∴为直径，
由面积为，要使面积最大则，
当轴时，面积最大，
∴，
∵，
∴，
∴的坐标，面积．