专题6.3 向量的数量积-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测（人教A版必修第二册）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19464" 【题型1 求投影向量】 PAGEREF _Tc19464 \h 3
\l "_Tc8748" 【题型2 向量数量积的计算】 PAGEREF _Tc8748 \h 4
\l "_Tc25688" 【题型3 求向量的夹角（夹角的余弦值）】 PAGEREF _Tc25688 \h 6
\l "_Tc16316" 【题型4 已知向量的夹角求参数】 PAGEREF _Tc16316 \h 7
\l "_Tc14538" 【题型5 求向量的模】 PAGEREF _Tc14538 \h 9
\l "_Tc6433" 【题型6 已知模求参数】 PAGEREF _Tc6433 \h 10
【知识点1 向量的数量积】
1．向量的数量积
(1)向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
(2)向量的夹角
已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤
π)叫做向量与的夹角，也常用表示.

(3)两个向量数量积的定义
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||.
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0.
(4)向量的投影
如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，
分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.

2．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
①==.
②=0.
③当与同向时，=；当与反向时，=-.
特别地，==或=.
④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.
⑤=.
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量，，和实数，有
①交换律：=；
②数乘结合律：()= ()=()；
③分配律：(+)=+.
3．向量数量积的常用结论
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等
号成立.
以上结论可作为公式使用.
【题型1 求投影向量】
【例1】（2023上·陕西西安·高二校考阶段练习）已知向量a,b不共线，满足|a+b|=|a−b|，则a−b在b方向上的投影向量为（ ）
A．aB．bC．−aD．−b
【解题思路】将已知条件平方求得a⋅b=0，然后根据投影向量公式可得.
【解答过程】因为|a+b|=|a−b|，
所以a+b2=a−b2，即a2+2a⋅b+b2=a2−2a⋅b+b2，得a⋅b=0，
则a−b在b方向上的投影向量为a−b⋅bb2⋅b=a⋅b−b2b2⋅b=−b2b2⋅b=−b.
故选：D.
【变式1-1】（2023上·贵州贵阳·高二校考阶段练习）已知|a|=2，e为单位向量，向量a与向量e的夹角为3π4，则向量a在向量e上的投影向量为（ ）
A．2eB．−2eC．2D．−2
【解题思路】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.
【解答过程】依题意，a⋅e=|a|cs3π4=−2，所以向量a在向量e上的投影向量为(a⋅e)e=−2e.
故选：B.
【变式1-2】（2023上·浙江·高二校联考期中）已知向量a与单位向量b的夹角为π3，且a=2，则b在a方向上的投影向量为（ ）
A．12B．12bC．12aD．14a
【解题思路】直接根据投影向量的定义即可得结果.
【解答过程】b在a方向上的投影向量为bcsa,b⋅aa=12×12a=14a，
故选：D.
【变式1-3】（2023上·河北石家庄·高三校联考期末）在等边△ABC中，AD=2AB+3AC，则向量AD在向量BC上的投影向量为（ ）
A．13BCB．12BCC．−13BCD．−12BC
【解题思路】根据投影向量的求法求得正确答案.
【解答过程】由题可知AD⋅BC=(2AB+3AC)⋅BC
=2AB⋅BC+3AC⋅BC
=2AB⋅BC⋅cs120°+3AC⋅BC⋅cs60°
=−|BC|2+32|BC|2=12|BC|2，
AD⋅BC|BC|2⋅BC=12BC，所以向量AD在向量BC上的投影向量为12BC．
故选：B.
【题型2 向量数量积的计算】
【例2】（2023上·四川南充·高三校考阶段练习）已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a,b=2π3，则a⋅(a+b)=（ ）
A．−2B．−1C．0D．2
【解题思路】根据数量积的定义及运算律计算即可.
【解答过程】因为|a|=1,|b|=2,a,b=2π3，
所以a⋅b=1×2×cs2π3=−1，
所以a⋅(a+b)=a2+a⋅b=1−1=0.
故选：C.
【变式2-1】（2023·安徽·校联考一模）在三角形ABC中，AC=3，AB=4，∠CAB=120°，则AB+AC⋅AB=（ ）
A．10B．12C．−10D．−12
【解题思路】根据向量的数量积公式求得结果.
【解答过程】记AC=a,AB=b，则a=3,b=4，a,b=120∘，
∵a⋅b=a⋅bcs120∘=12cs120∘=−6，
∴b+a⋅b=b2+a⋅b=16−6=10．
故选：A.
【变式2-2】（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）线段AB的长度为6，C，D为其三等分点（C靠近A，D靠近B），若P为线段AB外一点，且满足PC⋅PD=0，则PA⋅PB=（ ）
A．36B．－36C．－8D．8
【解题思路】根据向量数量积的定义和运算律即可得到答案.
【解答过程】PA=PC+CA，PB=PD+DB，
所以PA⋅PB=PC+CA⋅PD+DB=PC⋅PD+PC⋅DB+CA⋅PD+CA⋅DB
因为AB的长度为6，C，D为其三等分点（C靠近A，D靠近B），PC⋅PD=0，
所以PA⋅PB=PC⋅DB−DB⋅PD+CA⋅DB
=DBPC−PD−DB2=DB⋅DC−DB2=−2DB2=−2×22=−8，
故选：C.

【变式2-3】（2023上·天津东丽·高三校考阶段练习）如图，△ABC是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若AD=4，BD=2，点M为线段CE上的动点，则AM−BC⋅MD的最大值为（ ）

A．169B．214C．6D．10
【解题思路】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解.
【解答过程】根据题意可得，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60∘，
所以∠CFB=∠AEC=∠BDA=120∘，
又因为AD=4,BD=2，
所以BF=CE=AD=4,BD=DF=CF=EF=AE=DE=2，
设EM=λEC0≤λ≤1,则MC=1−λEC，
所以MD=ME+ED=ED−EM=ED−2λEF，
AM−BC=AC+CM−AC−AB=CM+AB =2λ−1EF+2ED−DF，
所以AM−BC⋅MD=2λ−1EF+2ED−DF⋅ED−2λEF
=−4λλ−1EF2+2λ−1ED⋅EF−4λEF⋅ED+2ED2+2λDF⋅EF−DF⋅ED
=−16λλ−1+4λ−1−8λ+8+4λ+2
=−16λ2+16λ+6=−16λ−122+10，
令fλ=−16λ−122+10，
当λ∈0,12单调递增，λ∈12,1单调递减，
当λ=12，AM−BC⋅MD取最大值为10.
故选：D.
【题型3 求向量的夹角（夹角的余弦值）】
【例3】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知非零向量a,b满足|a|=2|b|，且|a−2b|=|a+4b|，则a,b的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【解题思路】利用平面向量的数量积和模长求夹角即可.
【解答过程】由已知|a−2b|=|a+4b|可得a2−4⋅a⋅b+4b2=a2+8a⋅b+16b2，即a⋅b+b2=0，
又因为|a|=2|b|，所以csa,b=−b2a⋅b=−12，
所以夹角为2π3.
故选：C.
【变式3-1】（2023上·青海西宁·高三统考期中）已知向量a=1，b=2，|c|=5，且a+b+c=0，则cs〈c−a,c−b〉=（ ）
A．3434B．3417C．33434D．53434
【解题思路】根据模长公式，结合数量积的运算律，即可由夹角公式求解.
【解答过程】由a+b+c=0可得a+b=−c，所以a+b2=−c2⇒1+4+2a⋅b=5⇒a⋅b=0，
同理由a+c=−b和−a=b+c可得b⋅c=−4,a⋅c=−1，
所以c−a⋅c−b=c2−b⋅c−a⋅c+a⋅b=5+4+1+0=10，
c−a=c2+a2−2a⋅c=5+1+2=22,c−b=c2+b2−2b⋅c=5+4+8=17
故csc−a,c−b=c−a⋅c−bc−ac−b=1022×17=53434，
故选：D.
【变式3-2】（2023·四川甘孜·统考一模）已知平面向量a→,b→满足|b|=2|a|=2，若a⊥a−b，则a与b的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【解题思路】根据向量垂直及数量积运算律、定义可得1−2csa,b=0，即可求夹角.
【解答过程】由题设a⋅a−b=a2−a⋅b=0，而|a|=1,|b|=2，
所以1−2csa,b=0⇒csa,b=12，a,b∈[0,π]，
所以a,b=π3.
故选：B.
【变式3-3】（2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）已知向量a=b=1，且a与b的夹角为θ，a⋅b>0，向量2a−b与a+2b的夹角为π3，则csθ=（ ）
A．51326B．51352C．2626D．21313
【解题思路】由题意a=b=1，a⋅b=csθ>0，然后由模长公式、数量积的运算公式分别表示出2a−b⋅a+2b,2a−b,a+2b，最终列出方程求解即可.
【解答过程】由题意a⋅b=a⋅bcsθ=csθ>0，而2a−b⋅a+2b=2a2−3a⋅b−2b2=−3csθ，
2a−b=2a−b2=5−4csθ,a+2b=a+2b2=5+4csθ，
又向量2a−b与a+2b的夹角为π3，
所以csπ3=12=−3csθ5−4csθ⋅5+4csθ，即36cs2θ=25−16cs2θ,
又a⋅b=csθ>0，所以解得csθ=51326.
故选：A.
【题型4 已知向量的夹角求参数】
【例4】（2023·全国·高一专题练习）已知向量a,b满足a→·b→=0，|a+b|=m|a|，若a+b与a−b的夹角为2π3，则m的值为（ ）
A．2B．3C．1D．12
【解题思路】由题意，a⃑·b⃑=0，a+b=ma，a+b与a−b的夹角为2π3，可得(a+b)⋅(a−b)=|a+b||a−b∣×cs23π，代入可得关于m的方程，解方程可得答案.
【解答过程】解：∵|a+b|=m|a|>0,∴m>0,
又∵a⋅b=0,∴a⊥b,|a−b|=|a+b|=m|a|，
∴a2+2a⋅b+|b|2=m2|a|2，
|b|2=m2−1|a|2，
(a+b)⋅(a−b)=|a+b||a−b∣×cs23π，
⇒m|a→|×m|a→|×−12=1−m2−1|a→|2，
即−12m2=2−m2，
得m2=4,m=2或m=−2（舍去），
故m的值为2.
故选：A.
【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）已知单位向量e1，e2的夹角为60°，向量a=−2e1+3e2，b=2me1−2e2，m∈Z，向量a，b的夹角的余弦值为−217，则m=（ ）
A．1B．−4C．2D．−5
【解题思路】根据题意，由平面向量的夹角公式代入计算，列出方程，即可得到结果.
【解答过程】由题意，得e1⋅e2=12，
所以a2=−2e1+3e22=4e12−12e1⋅e2+9e22=7，
b2=2me1−2e22=4m2e12−8me1⋅e2+4e22=4m2−4m+4．
而a⋅b=−2e1+3e2⋅2me1−2e2=−4me12+6me1⋅e2+4e1⋅e2−6e22=−m−4，
所以cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=−m−47×4m2−4m+4=−217．
整理，得11m2−20m−4=0，解得m=2或m=−211（舍去）．
故选：C．
【变式4-2】（2023下·广东揭阳·高一校联考期中）已知向量a,b，若|a|=|b|=1,a与b的夹角为60∘；若a+b与ta−b的夹角为钝角，则t取值范围为（ ）
A．−∞,1B．1,+∞
C．−1,1∪1,+∞D．−∞,−1∪−1,1
【解题思路】根据a+b与ta−b的数量积小于0，且不共线可得.
【解答过程】∵a+b与ta−b的夹角为钝角，
∴a+b⋅ta−b=ta2−a⋅b+ta⋅b−b2<0，
又|a|=|b|=1,a与b的夹角为60∘，
所以ta2−a⋅b+ta⋅b−b2=t−12+12t−1<0，即32t−32<0，解得t<1，
又a+b与ta−b不共线，所以t≠−1，
所以t取值范围为−∞,−1∪−1,1.
故选：D.
【变式4-3】（2023·全国·高一专题练习）已知i,j分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，a=i−2j，b=i+λj，且a,b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）
A．−2,23∪23,+∞B．−∞,−2∪−2,12
C．−∞,12D．12,+∞
【解题思路】由向量夹角为锐角可知a⋅b>0且a,b不同向，由此可构造不等式组求得结果.
【解答过程】∵a,b的夹角为锐角，∴a⋅b>0且a,b不同向，
∴a⋅b=i−2j⋅i+λj=1−2λ>0−2≠λ，解得：λ<12且λ≠−2，
∴实数λ的取值范围为−∞,−2∪−2,12.
故选：B.
【题型5 求向量的模】
【例5】（2023上·广东珠海·高三校考期末）已知向量a,b满足|a|=2，|b|=3，a⋅(a+b)=−1，则a+2b=（ ）
A．5B．25C．5D．20
【解题思路】先根据a⋅(a+b)=−1，求出a⋅b=−5，再求a+2b2，即可求a+2b.
【解答过程】因为a⋅a+b=−1，所以a2+a⋅b=4+a⋅b=−1，所以a⋅b=−5，
所以a+2b=(a+2b)2=a2+4a⋅b+4b2=22+4×−5+4×32=25.
故选：B.
【变式5-1】（2023上·陕西榆林·高三校联考阶段练习）已知非零向量a，b满足a=2，且a,b=2π3，则a+2b的最小值为（ ）
A．2B．3C．2D．1
【解题思路】利用向量数量积与模长关系结合二次函数的性质计算即可.
【解答过程】因为a+2b2=a2+4b2+4a⋅b=4b2−4b+4=2b−12+3≥3，
所以a+2b≥3，当且仅当b=12时，等号成立.
故选：B.
【变式5-2】（2023下·湖南常德·高一校考阶段练习）若平面向量a,b,c两两夹角相等， 且|a|=1,|b|=1,|c|=3， 则|a+b+c|= （ ）
A．2B．5C．2或5D．2 或5
【解题思路】根据给定条件，分情况结合数量积定义求解即得.
【解答过程】平面向量a,b,c两两夹角相等，则〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,b〉=0或〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,b〉=2π3，
当〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,b〉=0时，即向量a,b,c同向共线，则|a+b+c|=5，
当〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,b〉=2π3时，|a+b+c|=a2+b2+c2+2a⋅b+2b⋅c+2c⋅a
=12+12+32−2×1×1×12−2×1×3×12−2×1×3×12=2.
故选：C.
【变式5-3】（2023·福建宁德·校考一模）已知向量a，b的夹角为60°，且b=2a=2，则ta+bt∈R的最小值是（ ）
A．3B．2C．3D．2
【解题思路】运用平面向量数量积的运算性质，结合配方法进行求解即可.
【解答过程】ta+b=ta+b2=t2a2+b2+2ta⋅b=t2+2t×1×2×12+4=t+12+3，
当t=−1时，ta+bt∈R有最小值3，
故选：C.
【题型6 已知模求参数】
【例6】（2023下·全国·高一专题练习）若单位向量e1，e2的夹角为π3，向量a=e1+λe2（λ∈R），且 a=32，则λ=（ ）
A．12B．－12
C．34D．－34
【解题思路】根据a2=e1+λe22=34，利用向量数量积的计算公式，展开计算求λ的值.
【解答过程】由题意可得：e1·e2=1×1×csπ3=12，
a2=e1+λe22=e12+2λe1e2+λ2e22=1+2λ×12+λ2=34，
化简得λ2+λ+14=0，解得λ=−12.
故选：B.
【变式6-1】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面向量|a|=2，|b|=1，a,b的夹角为60∘，a+tb=3t∈R，则实数t（ ）
A．−1B．1C．12D．±1
【解题思路】对a+tb=3两边平方，再由数量积公式计算可得答案.
【解答过程】因为a+tb=3，所以a2+2a⋅b⋅t+t2b2=3，
即4+2×2×cs60∘t+t2=3，解得t=−1.
故选：A.
【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）已知平面向量a，b满足a=2b=6，a+kb=37k>0，a⋅b=9，则实数k的值为（ ）
A．1B．3C．2D．2
【解题思路】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解即得.
【解答过程】将a+kb=37两边同时平方，得a2+2ka⋅b+k2b2=63，而a=6，b=3，a⋅b=9，
因此36+18k+9k2=63，即依题意k2+2k−3=0，又k>0，所以k=1.
故选：A.
【变式6-3】（2023·全国·高一专题练习）设非零向量a,b的夹角为θ，若a=2b，且不等式2a+b≥a+λb对任意θ恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）
A．−1,3B．−1,5C．−7,3D．5,7
【解题思路】根据题先利用平面向量的数量积的运算法则进行转化为(13−λ2)+(8−4λ)csθ≥0恒成立，然后结合函数的恒成立，列出不等式组，即可求解.
【解答过程】由题意，非零向量a,b的夹角为θ，且a=2b，
则a⋅b=a⋅bcsθ=2b2csθ，
不等式2a+b≥a+λb对任意θ恒成立，
所以(2a+b)2≥(a+λb)2，即4a⃑2+4a⃑⋅b⃑+b⃑2≥a⃑2+2λa⃑⋅b⃑+λ2b⃑2，
整理得(13−λ2)+(8−4λ)csθ≥0恒成立，
因为csθ∈−1,1，所以13−λ2+8−4λ≥013−λ2−8+4λ≥0，即−7≤λ≤3−1≤λ≤5，可得−1≤λ≤3，
即实数λ的取值范围为−1,3.
故选：A.