专题6.4 平面向量基本定理及坐标表示-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测（人教A版必修第二册）

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\l "_Tc3639" 【题型1 用基底表示向量】 PAGEREF _Tc3639 \h 1
\l "_Tc14700" 【题型2 利用平面向量基本定理求参数】 PAGEREF _Tc14700 \h 3
\l "_Tc16991" 【题型3 平面向量基本定理的应用】 PAGEREF _Tc16991 \h 5
\l "_Tc17089" 【题型4 平面向量线性运算的坐标表示】 PAGEREF _Tc17089 \h 11
\l "_Tc32540" 【题型5 平面向量数量积的坐标表示】 PAGEREF _Tc32540 \h 12
\l "_Tc9206" 【题型6 向量共线、垂直的坐标表示】 PAGEREF _Tc9206 \h 13
\l "_Tc12376" 【题型7 向量坐标运算的几何应用】 PAGEREF _Tc12376 \h 15
【知识点1 平面向量基本定理】
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，
，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
【题型1 用基底表示向量】
【例1】（2023·全国·模拟预测）在△ABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，记AE=a，CD=b，则AC=（ ）
A．13a−bB．12a−bC．12a−13bD．23a−b
【解题思路】根据题意，由平面向量的线性运算，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】由题意可知，a=12AB+AC，b=12AB+CA=12AB−AC．
两式相减，得a−b=32AC，所以AC=23a−b．
故选：D．
【变式1-1】（2023上·河北保定·高三校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，AE和BD相交于点F． 记 AB=a，AD=b，则（ ）

A．CF=−23a−13bB．CF=23a+13b
C．CF=−13a−23bD．CF=13a+23b
【解题思路】依题意可得△ABF∽△EDF，即可得到DFBF=12，再根据平面向量线性运算法则计算可得.
【解答过程】在平行四边形ABCD中AB//CD，AE和BD相交于点F，
所以△ABF∽△EDF，又E是CD的中点，
所以DFBF=DEAB=12，所以DF=13DB=13AB−AD，
所以CF=CD+DF=−AB+13AB−AD=−23AB−13AD=−23a−13b.
故选：A.
【变式1-2】（2023下·广东佛山·高一校考期中）如图，在△ABC中，AD=13AB，点E是CD的中点．设CA=a，CB=b，则EA=（ ）

A．23a−16bB．23a+16bC．16a−23bD．16a+23b
【解题思路】根据向量的线性运算即可求得答案.
【解答过程】由题意在△ABC中，AD=13AB，点E是CD的中点，
故EA=−AE=−12(AC+AD)=12CA−12AD
=12CA−16AB=12CA−16(CB−CA)
=23CA−16CB=23a−16b，
故选：A.
【变式1-3】（2023下·陕西·高一校联考期中）如图，在△ABC中，设AB=a，AC=b，BD=2DC，AE=4ED，则BE=（ ）

A．115a−815bB．23a−815b
C．−23a+815bD．−1115a+815b
【解题思路】根据向量的线性运算法则求解.
【解答过程】由题意BE=AE−AB=45AD−a=45(AB+BD)−a=45BD−15a =45×23BC−15a=815(b−a)−15a=−1115a+815b,
故选：D．
【题型2 利用平面向量基本定理求参数】
【例2】（2023下·广东广州·高一校考阶段练习）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP=xOA+yOB，且BA=4PA，则（ ）

A．x=13，y=23B．x=23，y=13
C．x=34，y=14D．x=14，y=34
【解题思路】由已知，点P是线段BA的一个四等分点，得出BP与BA的关系，再由向量的线性运算即可求得x，y的值．
【解答过程】由BA=4PA可得BP=34BA，
所以OP=OB+BP=OB+34BA =OB+34(OA−OB)=34OA+14OB，
∴x=34，y=14．
故选：C.
【变式2-1】（2023上·山东·高三校联考开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，E为AD的中点，F为CO的中点，若EF=xOC+yOD，则x−2y=（ ）

A．1B．2C．53D．32
【解题思路】利用平面向量的线性运算法则，求得EF=OC−12OD,进而求得x,y的值，进一步计算即可.
【解答过程】如图：

因为EF=OF−OE=12OC−12CD=12OC−12(OD−OC)
=OC−12OD,
所以x=1,y=−12,x−2y=2,
故选：B.
【变式2-2】（2023上·四川乐山·高二校考开学考试）如图，在△ABC中，AN=2NC，P是BN上一点，若AP=tAB+12AC，则实数t的值为（ ）

A．16B．13C．14D．12
【解题思路】由题意设BP=λBN，由向量的线性运算可得AP=1−λAB+23λAC，再根据已知列等式计算即可求出t.
【解答过程】由题意，P是BN上一点，设BP=λBN，
则AP=AB+BP=AB+λBN=AB+λAN−AB=1−λAB+λAN，
又AN=2NC，所以AN=23AC，
所以AP=1−λAB+23λAC=tAB+12AC，
所以1−λ=t23λ=12，解得t=14.
故选：C.
【变式2-3】（2023上·湖南益阳·高三统考阶段练习）如图，在△ABC中，D为AB上一点，AD=2DB，P为CD上一点，CP=3PD，且AP=mAC+nABm,n∈R，则m+n的值为（ ）

A．14B．13C．12D．34
【解题思路】根据平面向量基本定理得到AP=14AC+12AB，从而得到m=14,n=12，求出答案.
【解答过程】因为CP=3PD，AD=2DB，所以CP=34CD，AD=23AB，
AP=AC+CP=AC+34CD=AC+34AD−34AC=14AC+34AD
=14AC+34×23AB=14AC+12AB
又AP=mAC+nABm,n∈R，所以m=14,n=12，
故m+n=34.
故选：D.
【题型3 平面向量基本定理的应用】
【例3】（2023上·宁夏银川·高三校考期中）在△ABC中，D为BC上一点，若AD=λAB+μAC（λ>0，μ>0），当3μ+14λμ取得最小值时，三角形ABD与三角形ADC的面积比值为（ ）
A．13B．12C．3D．2
【解题思路】由三点共线的λ+μ=1，结合基本不等式可得λ=23,μ=13时，3μ+14λμ取得最小值，结合图形即可求ABD与三角形ADC的面积比.
【解答过程】由D为BC上一点，则λ+μ=1，则3μ+14λμ=3μ+(λ+μ)4λμ=14μ+1λ
=(14μ+1λ)(λ+μ)=54+λ4μ+μλ≥54+2λ4μ⋅μλ=94，
当且仅当λ4μ=μλ且λ+μ=1，即λ=23,μ=13，时等号成立，3μ+14λμ取得最小值.
则AD=23AB+13AC，则根据平面向量基本定理知，D为靠近B的三等分点，
则S△ABD=13S△ABC,S△ACD=23S△ABC，则S△ABDS△ACD=12.
故选：B.
【变式3-1】（2023上·广西玉林·高一校考开学考试）如图，在△ABC中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为△ABC的重心，那么AG:GD是（ ）

A．3∶2B．2∶1C．3∶1D．4∶3
【解题思路】设AG=mGD，得到AG=m2m+1AB+mm+1AE，结合向量共线定理的推论得到m2m+1+mm+1=1，求出m=2，求出答案.
【解答过程】因为AD为△ABC的中线，所以AD=12AB+12AC，
设AG=mGD，则AD=m+1mAG，
故m+1mAG=12AB+12AC，所以AG=m2m+1AB+m2m+1AC，
因为AC=2AE，所以AG=m2m+1AB+mm+1AE，
因为B,G,E三点共线，可设BG=nBE，则AG−AB=nAE−AB，
故AG=nAE+1−nAB，
故m2m+1=n,mm+1=1−n，相加得m2m+1+mm+1=1，
解得m=2，故AG:GD=2:1.
故选：B.
【变式3-2】（2023上·北京·高三101中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，M，N分别为AB，AC边上的中点，P是线段MN上的一个动点（不含端点），CP与AB交于点D，BP与AC交于点E，AD=λAB，AE=μAC，则1λ+1μ的最小值为（ ）

A．2B．4C．6D．8
【解题思路】设MP=tMN，则t∈0,1，利用三角形相似得到λ=1−t2−t，μ=t1+t，表达出1λ+1μ=2+1t1−t，利用基本不等式求出最值即可.
【解答过程】设MP=tMN，则t∈0,1，
因为M，N分别为AB，AC边上的中点，所以MN=12BC，AM=MB,AN=NC，
故MP=12tBC，
因为△DMP∽△DBC，所以DM=12tBD，
设BD=x，则DM=12tx,MB=x−12tx，AD=AM−DM=x−tx，
故ADAB=x−tx2x−tx=1−t2−t，故λ=1−t2−t，
同理可得NP=1−tMN，NP=121−tBC，
因为△ENP∽△ECB，所以EN=121−tEC，
设EC=y，则EN=121−ty,CN=y−121−ty=121+ty，
AC=1+ty，AE=1+ty−y=ty，
故AEAC=t1+t，μ=t1+t，
则1λ+1μ=2−t1−t+1+tt=1+11−t+1+1t=2+11−t+1t=2+1t1−t
因为t∈0,1，由基本不等式得t1−t≤t+1−t22=14，
当且仅当t=1−t，即t=12时，等号成立，
故1λ+1μ=2+1t1−t≥2+4=6.
故选：C.
【变式3-3】（2023下·江苏苏州·高一统考期中）点P是△ABC所在平面内一点且满足AP=xAB+yAC，则下列说法正确的个数有（ ）
①若x=y=12，则点P是边BC的中点；②若点P是BC边上靠近B点的三等分点，则x=13,y=23；③若点P在BC边的中线上且x+y=12，则点P是△ABC的重心；④若x+y=2，则△PBC与△ABC的面积相等.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解题思路】①转化为BP=PC，即可判断；②选项转化为2BP=PC，进而根据平面向量基本定理即可判断；③分析可得点P为BC边的中线的中点，即可判断；④可得点P在直线MN上，点P与点A到BC边的距离相等即可判断.
【解答过程】①若x=y=12，则AP=12AB+12AC，
即AP−AB=AC−AP，即BP=PC.
即点P是边BC的中点，故①正确；
②由点P是BC边上靠近B点的三等分点，
所以2BP=PC，即2AP−AB=AC−AP，
即AP=23AB+13AC，
所以x=23,y=13，故②错误；
③因为点P在BC边的中线上，设D为BC中点，
设AP=λAD，
又AD=12AB+AC，
所以AP=λ2AB+λ2AC，
又x+y=12，则λ2+λ2=12，
所以λ=12，即AP=12AD，
所以点P为BC边的中线的中点，故不是重心，故③错误；
④设AM=2AB，AN=2AC，则AP=x2AM+y2AN，x2+y2=1，
故点P在直线MN上，点P与点A到BC边的距离相等，
所以△PBC与△ABC的面积相等，故④正确.
故选：B.
【知识点2 平面向量的坐标表示】
1．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基
底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.
显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)点的坐标与向量的坐标的关系
2．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(
+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y).
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
3．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)=
+++.又=1，=1，==0，所以=+.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若=(x,y)，则或.
其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||=
.
4．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用
坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0.
②三点共线的坐标表示
若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=，
​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-).
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.
(2)夹角的坐标表示
设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==.
(3)垂直的坐标表示
设=(,)，=(,)，则+=0.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
【题型4 平面向量线性运算的坐标表示】
【例4】（2023上·新疆·高二学业考试）若向量a=3,−2，b=0,−1，则向量2b+a的坐标是（ ）
A．3,−4B．−3,4C．3,4D．−3,−4
【解题思路】根据平面向量的坐标运算可得答案.
【解答过程】向量a=3,−2，b=0,−1，
则向量2b+a=20,−1+3,−2=3,−4.
故选：A.
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知向量a=(5,2),b=(−4,−3),c=(x,y)，若3a−2b+c=0，则c=（ ）
A．(−23,−12)B．(23,12)
C．(7,0)D．(−7,0)
【解题思路】根据平面向量的坐标运算求解.
【解答过程】由题意可得3a−2b+c=3(5,2)−2(−4,−3)+(x,y)=(23+x,12+y)=(0,0),
所以23+x=012+y=0解得x=−23y=−12,
所以c=(−23,−12).
故选:A.
【变式4-2】（2023下·西藏林芝·高一校考期末）已知向量a=3,2，b=0,−1，则−2a+4b等于（ ）
A．6,0B．−6,0C．−6,−8D．6,8
【解题思路】直接利用平面向量的加法法则，直接计算可得答案.
【解答过程】向量a=3,2，b=0,−1，
则−2a+4b=(−6,−4)+(0,−4)=(−6,−8).
故选:C.
【变式4-3】（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知向量a ,b满足2a −b→=0,3，a→ −2b→=−3,0，λa→ +μb=−1,1，则λ+μ=（ ）
A．-1B．0C．1D．25
【解题思路】设出向量a，b的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出a，b的坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数λ，μ.
【解答过程】设a=x1,y1，b=x2,y2，又2a→−b→=0,3，a→−2b→=−3,0，
所以2x1−x2=02y1−y2=3，且x1−2x2=−3y1−2y2=0，
解得x1=1y1=2，x2=2y2=1，即a=1,2，b=2,1.所以λa+μb=λ1,2+μ2,1=λ+2μ,2λ+μ=−1,1，则λ+2μ=−12λ+μ=1，解得λ=1μ=−1，故λ+μ=0.
故选：B.
【题型5 平面向量数量积的坐标表示】
【例5】（2023·四川雅安·统考一模）已知向量a=1,3,b=−2,−1，则a+b⋅2a−b=（ ）
A．10B．18C．−7,8D．−4,14
【解题思路】根据平面向量的坐标运算法则进行运算即可.
【解答过程】因为向量a=1,3,b=−2,−1，
所以a+b⋅2a−b=−1,2⋅4,7=−1×4+2×7=10，
故选:A.
【变式5-1】（2023·四川内江·统考一模）设x∈R，向量a=(x,1)，b=(1,−2)，且a⊥b，则csa+b,b=（ ）
A．210B．22C．510D．25
【解题思路】根据条件，利用向量垂直的坐标运算，得出x=2，从而可得出a+b=(3,−1)，再利用向量数量积公式即可求出结果.
【解答过程】因为a=(x,1)，b=(1,−2)，又a⊥b，所以x−2=0，得到x=2，
所以a=(2,1)，得到a+b=(3,−1)，
所以csa+b,b=(a+b)⋅ba+bb=3+29+1⋅1+4=552=22，
故选：B.
【变式5-2】（2023·四川达州·统考一模）已知向量a=sinθ,csθ，b=22,2，a，b夹角为π6，则a+b为（ ）
A．19B．19C．32D．18
【解题思路】先分别求a=1，b=23，2a⋅b=6，再求a+b2，开方可得a+b.
【解答过程】a2=a2=sin2θ+cs2θ=1，a=1，
b2=b2=222+22=12，b=23，
2a⋅b=2a⋅bcsπ6=2×1×23×32=6，
a+b2=a2+b2+2a⋅b =1+12+6=19，a+b=19.
故选：A.
【变式5-3】（2023上·全国·高三校联考阶段练习）已知向量a=λ,2,b=3,1，若a与b的夹角的余弦值为31010，则实数λ的值为（ ）
A．83B．43C．3D．3
【解题思路】根据平面向量夹角的坐标公式计算即可.
【解答过程】依题意，csa,b=a⋅b|a||b|=3λ+2λ2+4⋅10=31010，解得λ=83.
故选：A.
【题型6 向量共线、垂直的坐标表示】
【例6】（2023上·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）已知平面向量a=1,x，b=2x+3,−x，x∈R．
(1)①若a∥b，求x；②若a⊥b，求x；
(2)若向量a与b的夹角为钝角，求x的取值范围．
【解题思路】（1）根据向量平行，垂直可构造方程求得x；
（2）根据向量夹角与数量积的关系可构造不等式求得结果.
【解答过程】（1）a=1,x，b=2x+3,−x，
①若a∥b，则1×−x−x2x+3=0，即x2+2x=0，解得x=0或x=−2；
②若a⊥b，则a⋅b=2x+3−x2=0，解得x=−1或x=3.
（2）由a⋅b=2x+3−x2