专题7.3 复数的三角表示-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测（人教A版必修第二册）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc2412" 【题型1 复数的三角表示】 PAGEREF _Tc2412 \h 2
\l "_Tc27275" 【题型2 求辅角主值】 PAGEREF _Tc27275 \h 4
\l "_Tc16058" 【题型3 三角表示下复数的乘方与开方】 PAGEREF _Tc16058 \h 5
\l "_Tc30391" 【题型4 复数的代数形式与三角形式的互化】 PAGEREF _Tc30391 \h 7
\l "_Tc10029" 【题型5 三角形式下的复数的乘、除运算】 PAGEREF _Tc10029 \h 11
\l "_Tc27587" 【题型6 复数乘、除运算的几何意义的应用】 PAGEREF _Tc27587 \h 12
【知识点1 复数的三角表示式】
1．复数的三角表示式
(1)复数的三角表示式
如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z.
一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式.
(2)辅角的主值
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是
+2kπ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0<2π范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π.
(3)三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
【题型1 复数的三角表示】
【例1】（2023下·江苏苏州·高一统考期中）欧拉公式eiθ=csθ+isinθe=2.71828⋯是由18世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知eiθ−π6=−12+32i，则csθ=（ ）
A．−32B．−12C．12D．32
【变式1-1】（2023上·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）欧拉公式exi=csx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，e−πi3的共轭复数为（ ）
A．12+32iB．12−32i
C．−12+32iD．−12−32i
【变式1-2】（2023下·广东广州·高一校考期中）欧拉公式exi=csx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ）
A．eπi=1B．eπi2为实数
C．exi3+i=12D．复数e2i对应的点位于第三象限
【变式1-3】（2023·四川成都·川大附中校考模拟预测）欧拉公式exi=csx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．eπi为虚数B．函数f(x)=exi不是周期函数
C．若exi=1−3i2，则x=2π3D．eπ4i⋅eπ3i的共轭复数是2−64−2+64i
【题型2 求辅角主值】
【例2】（2023下·福建厦门·高一校考期中）已知复数z=3−i，则argz=（ ）
A．5π3B．−π6C．11π6D．5π6
【变式2-1】（2023·高一课时练习）2的辐角主值为（ ）
A．π2B．3π2C．0D．2π
【变式2-2】（2023·高一单元测试）设复数z1=−1+i,z2=12+32i，则argz1z2=（ ）
A．1312πB．712πC．512πD．−512π
【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）设π<θ<5π4，则复数cs2θ+isin2θcsθ−isinθ的辐角主值为（ ）
A．2π−3θB．3θ−2πC．3θD．3θ−π
【题型3 三角表示下复数的乘方与开方】
【例3】（2023·全国·高一专题练习）计算csπ4+isinπ4−4=（ ）
A．1B．−1C．iD．−i
【变式3-1】（2023·高一课时练习）计算：−1+3i10=（ ）．
A．1024−10243i；B．−1024+10243i；
C．512−5123i；D．−512+5123i．
【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）在复平面内，复数z=a+bi(a,b∈R)对应向量为OZ（O为坐标原点），设|OZ|=r，以射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转所得的角为θ，则z=r(csθ+isinθ)，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1=r1csθ1+isinθ1，z2=r2csθ2+isinθ2，则z1z2=r1r2csθ1+θ2+isinθ1+θ2，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：zn=[r(csθ+isinθ)]n=rn(csnθ+isinnθ)n∈N∗，则(−1+3i)10=（ ）
A．1024−10243iB．−1024+10243i
C．512−5123i D．−512+5123i
【变式3-3】（2023下·全国·高一专题练习）棣莫弗公式(csx+isinx)n=csnx+isinnx（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数csπ6+isinπ67在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【题型4 复数的代数形式与三角形式的互化】
【例4】（2023下·全国·高一专题练习）将下列复数化为三角形式：
(1)−3+i；
(2)−1−3i；
(3)−2csπ5+isinπ5；
(4)2sinπ5+icsπ5．
【变式4-1】（2023·全国·高一随堂练习）把下列复数表示成代数形式：
(1)4csπ3+isinπ3；
(2)6cs11π6+isin11π6．
【变式4-2】（2023·全国·高一随堂练习）把下列复数表示成三角形式；
(1)−5+5i
(2)33−3i
(3)−4i
(4)13
【变式4-3】（2023·全国·高一随堂练习）在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）：
(1)6；
(2)1+i；
(3)1−3i；
(4)−6−2i．
【知识点2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义】
1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数乘法运算的三角表示
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到
=(+i)(+i)=[(+)+i(+)]，
即 (+i)(+i)=[(+)+i(+)].
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
(2)几何意义
两个复数，相乘时，可以像图那样，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量
绕点O按逆时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这是复数乘法的几何意义.
2．复数除法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数除法运算的三角表示
设=(+i)，=(+i)，且≠，因为(+i)[(-)+i
(-)]=(+i)，所以根据复数除法的定义，有=[(-)+i(-)].
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐
角减去除数的辐角所得的差.
(2)几何意义
如图，两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点O按
顺时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义.
【题型5 三角形式下的复数的乘、除运算】
【例5】（2023·高一课时练习）计算2cs75°+isin75°⋅12−12i的值是（ ）
A．−62+22iB．62+22i
C．22−62iD．22+62i
【变式5-1】（2004·湖北·高考真题）复数(−1+3i)51+3i的值是（ ）
A．−16B．16C．−14D．14−34i
【变式5-2】（2023·高一课时练习）已知i为虚数单位，z1=2cs60°+isin60°，z2=22sin30°−ics30°，则z1⋅z2等于（ ）
A．4cs90°+isin90°B．4cs90°+isin90°
C．4cs30°−isin30°D．4cs0°+isin0°
【变式5-3】（2023下·福建泉州·高一统考期末）已知i为虚数单位，若z1=r1(csθ1+isinθ1)，z2=r2(csθ2+isinθ2)， ⋅⋅⋅，zn=rn(csθn+isinθn)，则z1z2⋅⋅⋅zn=r1r2⋅⋅⋅rn[csθ1+θ2+⋅⋅⋅+θn+isinθ1+θ2+⋅⋅⋅+θn.特别地，如果z1=z2=⋅⋅⋅=zn=r(csθ+isinθ)，那么[r(csθ+isinθ)]n=rn(csnθ+isinnθ)，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（ ）
A．若z=csπ6+isinπ6，则z4=−12+32i
B．若z=csπ5+isinπ5，则z5=1+i
C．若z1=2(cs7π12+isin7π12)，z2=3(cs5π12+isin5π12)，则z1z2=−6+6i
D．若z1=3(csπ12−isinπ12)，z2=4(csπ4+isinπ4)，则z1z2=6+6i
【题型6 复数乘、除运算的几何意义的应用】
【例6】（2023·全国·高一专题练习）设复数z1=−1−i在复平面上对应向量OZ1，将OZ1按顺时针方向旋转56π后得到向量OZ2，令OZ2对应的复数为z2的辐角主值为θ，则tanθ=（ ）
A．2−3B．−2+3C．2+3D．−2−3
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）把复数z1与z2对应的向量OA,OB分别按逆时针方向旋转π4和5π3后，重合于向量OM且模相等，已知z2=−1−3i，则复数z1的代数形式和它的辐角分别是（ ）
A．−2−2i,3π4B．−2+2i,3π4
C．−2−2i,π4D．−2+2i,11π4
【变式6-2】（2023·高一课时练习）设z=3−i对应的向量为OZ，将OZ绕点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）
【变式6-3】（2023·全国·高一专题练习）在复平面内，点A对应的复数是3+i，向量OA绕着点O按逆时针方向旋转120°得到向量OC.
(1)求点C对应的复数z0；
(2)已知点B对应的复数z满足z−z0=1，且CB,OC=120°，求复数z.
概念名称
概念的说明
模r
r是复数z的模，)
辐角θ
θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且
三角形式
r(csθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连